21.4 第3课时 利用二次函数解决其他实际问题-【木牍中考】2025-2026学年九年级上册数学同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级上册 第二十一章 第三课时 利用二次函数解决其他实际问题 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 21.4 二次函数的应用 1.掌握如何将实际问题转化为数学问题；（重点） 2.进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；（重点） 3.进一步体会数形结合的数学思想方法.（难点） 前 言 学习目标及重难点 课时A计划 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，在此运动中存在着许多与数学知识有关的实际问题.那么何时急刹车，才能避免追尾呢？ 导入新课 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1)问排球上升的最大高度是多少? (2)已知某运动员在2.5 m高度时扣球效果最佳,如果她要打快攻,问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳?（精确到0.1 s) 例1 上抛物体在不计空气阻力的情况下,有如下的表达式.其中是物体上升的高度,是物体被上抛时竖直向上的初始速度,g是重力加速度(取g=10m/) ,是物体抛出后经过的时间.在一次排球比赛中,排球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s. 课时A计划 课程讲授 新课推进 解:(1）根据题意,得 抛物线开口向下,顶点坐标为(1，5). 答:排球上升的最大高度是5m. h= 10-×10=-5(-1)2 +5(≥ 0). (2)当h = 2.5 m时,得 解方程,得t1 0.3(s),t2 1.7(s).排球在上升和下落中,各有一次经过2.5m高度,但第一次经过时离排球被垫起仅有0.3 s ,要打快攻,选择此时扣球,可令对方措手不及,易获成功. 答:该运动员应在排球被垫起后0.3s时扣球最佳. 10t - 5 = 2.5. ≈ ≈ 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m，试问交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路限速为110km/m）行驶导致了交通事故？ 0 10 20 30 40 50 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 制动时车速/km•h-1 制动距离/m 课时A计划 课程讲授 新课推进 【分析】 要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速.题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数表达式是解答本题的关键. 解： 以制动时车速的数据为横坐标（x值）、制动距离的数据为纵坐标（y值），在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，如图. 10 O 3 6 9 x y 50 40 30 20 课时A计划 课程讲授 新课推进 观察图中描出的这些点的整体分步，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y与x之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，即设 y=ax²+bx+c 任选三组数据，代入函数表达式，得 解方程组得 即所求二次函数表达式为 y=0.002x²+0.01x（x≥0）. 10 O 3 6 9 x y 50 40 30 20 课时A计划 课程讲授 新课推进 把y=46.5m代入上式，得 答：制动时车速为150km/h(＞110km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶. 解方程，得 46.5=0.002x²+0.01x x1=150（km/h）, x2=-155（km/h）(舍去）. 课时A计划 (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. 课程讲授 新课推进 例3 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) 变量有果园橙子的总产量，果园里增种的橙子树的棵树，自变量是果园增种的橙子数的棵树，因变量是果园橙子的总产量； 解： （2）果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子； （3）如果果园橙子的总产量为y个，果园橙子的总产量 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) 利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. （2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上? 由 何时橙子总产量最大 ? 课时A计划 思考：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元. 18000 6000 数量关系 （1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价. 课程讲授 新课推进 课时A计划 解函数应用题的步骤: 设未知数(确定自变量和函数); 找等量关系,列出函数关系式; 化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等); 求自变量取值范围； 利用函数知识，求解（通常是最值问题）； 写出结论. 课程讲授 小结 课时A计划 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 习题解析 　 习题1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ （1）涨价销售 ①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 20 300 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式 y=(20+x)(300-10x), 即 y=-10x2+100x+6000. 6000 课时A计划 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. 习题解析 课时A计划 （2）降价销售 ①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空： 建立函数关系式 y=(20-x)(300+18x)， 即 y=-18x2+60x+6000. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 习题解析 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 降价销售 20 300 20-x 300+18x y=(20-x)(300+18x) 6000 课时A计划 ②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤ x ≤20. ③降价多少元时，利润最大，是多少？ 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. 当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元. 即 y=-18x2+60x+6000， 习题解析 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 课时A计划 单件利润（元） 销售量（件） 月利润（元） 正常销售 涨价销售 习题解析 习题2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空： 10 180 10+x 180-10x y=(10+x)(180-10x) 1800 建立函数关系式 y=(10+x)(180-10x), 即 y=-10x2+80x+1800. 课时A计划 习题解析 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x ≥0，因此自变量的取值范围是x ≤18. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960. 当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元. 答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元. ②自变量x的取值范围如何确定？ 课时A计划 习题3 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克.在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利为y元. （1）求y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； （2）将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标， 并指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ 习题解析 课时A计划 【分析】（1）日利润=每千克的利润×日销售量﹣杂支，根据物价部门规定，x的取值范围是30≤x≤70； （2）用配方法变形，根据对称性画草图解答．                                            解：（1）y=（x﹣30）﹣500 =﹣2x2+260x﹣6500（30≤x≤70）； 顶点是（65，1950），单价定为65元时，日均获利最多是1950元． （2）y=﹣2（x﹣65）2+1950 习题解析 课时A计划 求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 小结 课堂总结 课时A计划 小结 课堂总结 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 转化 回归 （二次函数的图象和性质） （营销问题，运动学问题） 实际问题 数学模型 转化的关键 营销中的抛物线问题 实际数据分析问题 建立恰当的直角坐标系 课时A计划 课后作业 课堂总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$