21.4 第1课时 利用二次函数解决最值问题-【木牍中考】2025-2026学年九年级上册数学同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 上册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级上册 第二十一章 第一课时 利用二次函数解决最值问题 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 21.4 二次函数的应用 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点) 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；（难点） 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（难点） 前 言 学习目标及重难点 课时A计划 问题2：问题1中哪种表达方式有利于求最值？一般式的顶 点坐标公式你还记得吗 问题1：二次函数关系式有哪几种表达方式？ 一般式： y＝ax2 ＋ bx＋c (a≠0) 顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0) 交点式：y ＝ a(x ＋ ) (x ＋ ) (a≠0) ? 导入新课 课时A计划 问题3 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 导入新课 课时A计划 在第21.1节的问题1，某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 解：设围成的矩形水面的一边长为xm，那么，矩形水面的另一边长应为（20-x）m.若它的面积是Sm2，则有 S=x(20-x) 将这个函数的表达式配方，得 S=- (x-10)2+100（0<x<20）. 导入新课 课时A计划 答：当围成的矩形水面边长都为10m时，它的面积最大为100m2. 如图，这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，它的顶点坐标是（10,100）.所以，当x=10时，函数取得最大值，即S最大值=100(m2). 此时，另一边长 =20-10=10(m). 25 O 5 10 15 20 x/m 50 75 100 S/m2 导入新课 课时A计划 课程讲授 新课推进 例1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 探索1：二次函数的最大（或最小）值 可以借助函数图象解决这个问题．画出函 数 的图象(如图)． 课时A计划 课程讲授 新课推进 分析：可以看出，这个函数的图象是抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值． 解：当 时，h有最大值 也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m. t＝ 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索2：几何图形面积的最值 利用二次函数求几何图形面积的最值问题，其步骤一般为： ①设图形的一边长为自变量，所求面积为因变量； ②利用题目中的已知条件和学过的有关数学公式建立二 次函数模型，并指明自变量的范围； ③利用函数的性质求最值． 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 · 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O 解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时， , S有最大值. 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 课时A计划 例3 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 问题1 该题与例2有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 设垂直于墙的边长为x米. 课程讲授 新课推进 课时A计划 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 例4 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x 问题1 例4与例3有什么异同？ 问题2 可否模仿例3设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？ 答：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S 有最大值是378. 不正确. 课时A计划 课程讲授 小结 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来决定最值.通过例3与例4的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才能求出符合实际情况的最值. 课时A计划 习题1 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和AD 分别在两直角边上．其中ED:CD=3：4. （1）设矩形的一边AB＝xm,那么AD边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 40m 30m A B C D E F 习题解析 当x=20时，y最大＝300. 解： （1） (2) 课时A计划 习题解析 习题2 如图，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 3 A B C P Q 课时A计划 习题解析 习题3 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各位于多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x＞0， 故0＜x＜2. 矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是： 课时A计划 习题解析 即 配方得 所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=. 另x=1满足0＜x＜2，这时 因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为 m时，它的透光面积最大，最大面积是 m2. 课时A计划 习题解析 习题4 已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 ， 依题意得 ∴ 当两直角边都为4时，这个三角形面积最大，最大值为8. ∴ 当=4时， 课时A计划 小结 课堂总结 （1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式； （2）研究自变量的取值范围； （3）研究所得的函数（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）； （4）检验x 的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求出相关的值； （5）解决提出的实际问题. 小结：解决关于函数实际问题的一般步骤 课时A计划 课后作业 课堂总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$