精品解析：吉林省白城市第一中学2025届高三下学期模拟考试数学试题

吉林省白城市第一中学2025届高三下学期模拟考试 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，即可根据交运算求解. 【详解】，故， 故选：D 2. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 3. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的定义知点P到焦点的距离等于到准线的距离，即可得到答案. 【详解】设点P的坐标为，有，故的最小值为． 故选：C. 4. 若直线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点的横坐标为，以为参数写出切线方程，根据切线的纵截距为，求出，最后根据导数的几何意义求出 【详解】设切点坐标为， ∵，， 直线的斜率为， 所以，直线的方程为， 即， 所以， 因此． 故选：B． 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】切化弦后，结合二倍角正余弦公式可构造方程求得，由可求得结果. 【详解】由得：， ，，，解得：， . 故选：D. 6. 6个数字1，2，2，2，3，5排成一排构成一个六位数，则这个六位数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知6个数中只有3个不同的数，总事件为六位数选3个出来全排，剩下2个为2，若六位数为偶数，个位数必为2，则前面5位中选3位进行全排，然后计算概率即可. 【详解】6个数中只有3个不同的数，总事件为六位数选3个出来全排，剩下2个为2，则共有种， 若六位数为偶数，个位数必为2，则前面5位中选3位进行全排，共有种， 所以概率 故选：A. 7. 已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求出对称轴，再结合奇偶性求出的周期；求出，的范围以及的值，得出的关系式，再利用在上的单调性，即可得出答案. 【详解】因为， 所以关于对称， 又因为为偶函数， 所以， 所以为周期函数，， 因为，且， 所以，， 因为， 所以 又因为， 所以， 因为在上单调递减，为偶函数， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 故选：D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，渐近线方程为，由题意得，，由斜率相等及双曲线性质用表示出，再将点坐标代入双曲线方程，结合离心率公式即可求解. 【详解】设，渐近线方程为， 因为在以为直径的圆上，所以， 因为的中点在双曲线的渐近线上，设的中点为，则， 所以，且， 解得， 将代入双曲线的方程可得， 化简可得，即有，解得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 则块试验田的亩产量数据中（ ） A. 中位数低于 B. 极差不高于 C. 不低于的比例超过 D. 第百分位数介于至之间 【答案】BC 【解析】 【分析】根据中位数、极差和百分位数的定义直接判断即可. 【详解】由题知，共块，所以其中位数为第和第个数据的平均数， 由表格知，这两个数据均在内，故A错； 由表格知，极差最大为，故B正确； 由表格知，不低于的比例为，C正确； 因为， 所以第百分位数为排序后第个和第个数据的平均数， 由表格知，这两个数据均在内， 所以第百分位数介于至之间，D错. 故选：BC 10. 已知函数（其中），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的最小正周期为1 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由周期公式求解判断；对B，由，可得，所以的最小值为一个周期，求解判断；对C，由，可得，结合得解；对D，由当时，，有3个零点，可得，得解. 【详解】对于A，当时，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由的最大值为1，又由，有. 又由，可得函数的最小正周期为，可得的最小值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 又由所得函数为奇函数，有，可得， 又由，取，可得的最小值为，故C正确； 对于D，当时，， 由函数在区间上有3个零点，有，可得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 若，，，且平面平面，则三棱锥的体积为 D. 存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得平面，即可求解AB,根据面面垂直的性质可得平面，进而可得平面，即可利用体积公式求解C，根据线面平行的性质即可求解D. 【详解】对于A，∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B，由A知平面，又平面，∴平面平面，故B正确； 对于C，在中，，，∴，， ∴，∴， ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面， 又平面，∴，同理可证，平面,∴平面， 而，∴三棱锥的体积为，故C正确； 对于D，设平面平面，假设底面， ∵平面平面，平面平面， ∴，，∴，则与重合，则，显然不成立，则假设不成立，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量垂直时，数量积为0，再代入坐标计算即可得解. 【详解】解：由题意可知，，解得. 故答案为： 13. 英国数学家贝叶斯（1701－1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件，根据全概率公式即可求解. 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则， 故所求概率. 故答案为：. 14. 如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，结合已知条件可求，从而可求底面半径，从而可求侧面积. 【详解】连接AC． 设，则为锐角且， 又，所以圆锥的底面半径， 圆锥的高， 则该圆锥的体积为， 解得， 所以，，即母线长， 所以侧面积． 故答案为：. 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 16. 已知等差数列的前项和为，等差数列的公差为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用当时，，可求得，进而求得数列的公差为，再由，解得，从而求得数列和数列的通项公式（2）利用裂项相消法求和即得所求 【小问1详解】 由可得， 当时， 则 所以 即数列的公差为，又 所以，解得， 故数列的通项公式为，数列的通顶公式为； 【小问2详解】 由（1）可知，，所以. 17. 为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖． （1）小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差； （2）当小王选好一个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会从盒子里取出一个没有写着免门票的小球给小王看，此后小王选择是否重新从盒子里余下的球中摸出一个球换取开始选好的球，再看是否能免门票．请问小王作出哪种选择更容易免门票？请说明理由． 【答案】（1）分布列见解析， （2）小王重新摸球后更容易免门票，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，求出数学期望； （2）计算两种选择下获取免门票的概率并比较即可解答. 【小问1详解】 的取值可能为0，1，2，3，4，由， 有，， ，， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 有； 【小问2详解】 小王不重新摸球免门票的概率为， 设这5个球分别记为，小球上面写有免门票， 若小王开始摸到小球，小王换球免门票的概率为0；若小王开始摸到小球或或或，小王换球免门票的概率为．可得小王换球后免门票的概率为， 又由，可知小王重新摸球后更容易免门票． 18. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，可得，证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明； （2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，妨设，求出平面的一个法向量和的坐标，利用夹角公式求解. 【小问1详解】 连接，设与相交于点，连接. ∵，分别为，的中点，∴， 在正四棱锥中，平面， 又∵平面，∴， 又底面为正方形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 由（1）以及题意可知，在中，，. 在中，，，∴. 又∵，，， ∴以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则，，，. ∵在棱上，∴不妨设， 则，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，则. 设与平面所成的角为， 则，当且仅当时等号成立. ∴当与平面所成角取得最大值时，. 19. 已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点. （1）求C的方程； （2）作曲线在处的切线l. （ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值； （ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）切线l：即， 代入中有，， 由题意只需证明，即， 即证：，令，， ， 令，， ，所以在上单调递减，因为， 所以当时，，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）由题意，C经过点，再结合椭圆几何性质求解； （2）（ⅰ）先求出切线l：，联立方程组，得，设，则点P到l的距离，求出的最大值得解；（ⅱ）切线l：，带入中有，由题意只需证明，即证：，令，利用导数证明不等式成立. 【小问1详解】 由题意，C经过点，则，又，， 可得，， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）由求导得，当时，切线l：，联立消去y， 得，则有或，所以， 设，则点P到l的距离， 因为，令，则， 从而， 令，得，故，. 所以面积的最大值为，当且仅当，即，时取最大. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省白城市第一中学2025届高三下学期模拟考试 数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知抛物线的焦点为F，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. C. D. 4. 若直线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 6个数字1，2，2，2，3，5排成一排构成一个六位数，则这个六位数为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与在第一象限交于点，若在以为直径的圆上，且的中点在的渐近线上，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位：），并整理得下表： 亩产量 频数 则块试验田的亩产量数据中（ ） A. 中位数低于 B. 极差不高于 C. 不低于的比例超过 D. 第百分位数介于至之间 10. 已知函数（其中），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数的最小正周期为1 B. 若，，且，则的最小值为 C. 若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 11. 如图，已知底面为矩形的四棱锥的顶点的位置不确定，点在棱上，且，平面平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面平面 C. 若，，，且平面平面，则三棱锥的体积为 D. 存在某个位置，使平面与平面的交线与底面平行 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若，则_________. 13. 英国数学家贝叶斯（1701－1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为___________. 14. 如图，已知球C与圆锥VO的侧面和底面均相切，且球的体积为圆锥体积的一半．若球的半径为1，则该圆锥的侧面积为__________． 四、解答题：本题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积. 16. 已知等差数列的前项和为，等差数列的公差为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 为庆祝新中国成立75周年，国庆长假期间，某小型景区对游客开展抽奖免门票活动．活动规则如下：盒子里有5个一模一样的小球，只有一个小球上写着免门票．游客从盒子里摸出一个小球，若该小球上写有免门票，则景区免掉该游客的门票．然后游客把球放回盒子，等待下一位游客抽奖． （1）小王家一共有4口人来到该景区旅游，记这4人中免门票的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差； （2）当小王选好一个小球后（此时小王还不知道小球上是否写着免门票），景区工作人员（他知道小球上是否写着免门票）会从盒子里取出一个没有写着免门票的小球给小王看，此后小王选择是否重新从盒子里余下的球中摸出一个球换取开始选好的球，再看是否能免门票．请问小王作出哪种选择更容易免门票？请说明理由． 18. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 19. 已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点. （1）求C的方程； （2）作曲线在处的切线l. （ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值； （ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $