精品解析：广东省两校2024-2025学年高三下学期高考临门一脚考试数学试题

2024-2025学年度下学期 广东省两校高考临门一脚考试 数学试卷 参加学校：诺德安达学校、金石实验中学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】复数的运算，分子分母同乘分母的共轭. 【详解】. 故选：C. 2. 设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ） A. 0 B. 0， C. 0， D. ，0， 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得集合中的元素个数为1个或3个，分集合中的元素个数为1和集合中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可. 【详解】解：由可得或， 又因为，， 所以集合中的元素个数为1个或3个， 当集合中的元素个数为1时，则有两相等的实数根，且无解， 所以，解得； 当集合中的元素个数为3时，则有两不相等的实数根，且有两个相等且异于方程的根的解， 所以，解得或， 综上所述，或或. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合中的元素个数为1个或3个. 3. 如图，在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则计算出结果. 【详解】. 故选：D 4. 《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出等边圆柱、正方体、球的体积，再利用公式求解出、、，即可求得答案. 【详解】设等边圆柱、正方体、球的体积分别为， 所以， 所以，，， 因为，所以， 故选：A 5. 双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程求出，，即可得顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由双曲线：可知：，， 所以顶点坐标为，渐近线方程为，即， 所以顶点到其渐近线的距离等于， 故选：C. 6. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合表示的意义，联立即可解出． 【详解】因为集合都表示点集，所以由解得，即． 故选：C． 7. 已知函数，则函数的最大值和周期分别是（ ） A. ， B. ， C. 2， D. 2， 【答案】A 【解析】 【分析】 由三角函数辅助角公式可得，再结合三角函数最值与周期的求法求解即可. 【详解】解：由函数， 所以， 又，即， 所以， 又， 即函数的最大值和周期分别是， 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数辅助角公式，重点考查了三角函数最值与周期的求法，属基础题. 8. 下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（ ） A. 平均数 B. 标准差 C 平均数且极差小于或等于 D. 众数等于且极差小于或等于 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和标准差不能确保每天的新增病例数不超过5，可判断A，B错误；再根据平均数及极差综合判断C，D中数据的可能取值，分析是否符合条件. 【详解】对于A选项，若平均数，不能保证每天新增病例数不超过人，不符合题意； 对于B选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为，标准差是，显然不符合题意； 对于C选项，若极差等于或，在的条件下，显然符合指标；若极差等于，假设最大值为6，最小值为4，则，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C正确； 对于D选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标. 故选：CD. 【点睛】本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影响，其中C、D选项的判断是难点，可采用假设法判断. 10. 已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（ ） A. 函数的图像关于对称 B. C. 函数在上单调递增 D. 若函数的最大值与最小值之和为2，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件和得出函数得对称中心及对称轴，算出函数得周期,得，判断A；根据函数关于中心对称，判断B；根据已知条件，没有证据证明C成立，所以C错误；有函数关于中心对称，所以函数为奇函数判断D. 【详解】解析：因为，所以函数关于中心对称， 因为，所以函数关于轴对称， 所以函数为周期函数，其周期为， 故，所以A正确； 由于函数关于中心对称，所以关于对称， 所以，选项B正确； 由于没有明确的解析式，所以C错误； 因为函数关于中心对称，所以函数为奇函数， 函数的最大值与最小值之和为0，所以的最大值与最小值之和为， 所以函数的最大值与最小值之和为，，选项D正确； 故选：ABD 11. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A. 是钝角 B. 是第二象限角 C. D. 点在第四象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点的坐标、象限角、三角函数的定义等知识确定正确答案. 【详解】由点在第二象限，可得第二象限角，但不一定是钝角，B正确， A错误； ，C正确； 由，，则点在第二象限，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设中的奇函数和偶函数求出，根据导数的几何意义得切线斜率，根据互为倒数得的关系式，化简后可得. 【详解】函数是偶函数， 可得， 即有 ，① 是奇函数， 可得， ， 即为，② 由①②可得，， ，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数， 可得， 可得， 即为， 即为，即有， 可得，，. 故答案为：. 13. 名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有______种不同排法.用数字作答 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法可求不同的排法总数. 【详解】根据题意，分步进行， 先将名女生排在一起，看成做一个元素，考虑其顺序，有种情况， 再将其与其他名男生全排列，有种情况， 则其不同的排列方法为种， 故答案为：. 14. 如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则为______. 【答案】##. 【解析】 【分析】根据正三棱柱的性质可知，正三棱柱中，点在平面上的射影为线段的中点，则可知点D到平面的距离等于点B1到平面的距离，再求出的长，由，可求角的大小． 【详解】正三棱柱中，取的中点，连接与，则平面， 过作，交于，则平面， 连接，则， ，， 由，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知． （1）求角 的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】(1)利用，化简题目给定的已知条件，得到，故；(2)用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求得面积为． 【详解】(1)由已知得 即 因为，所以 因为 所以 (2)因为 所以，即或(舍) 所以 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. （1）证明平面； （2）求平面与平面的夹角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合线面平行判定定理可得； （2）建立空间直角坐标系，由向量法可解. 小问1详解】 ∵，，∴， 又平面，平面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵平面且、平面 ，∴，，又∵， 故分别以所在直线为轴，轴、轴，建立如图空间直角坐标系， 如图所示： 由，， 可得：，，，，， 由已知平面，平面，，， ，，平面， 所以平面， 为平面的一个法向量，且； 设为平面的一个法向量， 则，， ，， ，， ， 令，则，， ， 设平面与平面的夹角大小为， ， 由得：平面与平面的夹角大小为 17. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由递推关系化简求得数列通项公式. （2）先用错位相减法求得bn的通项公式，然后求最大值，即可求得参数的取值范围. 【详解】（1）由， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，①， 两边同乘得，②， ①-②得，， 故，， 取， 当时，恒成立，则恒成立， 即数列从第二项开始是单减的，又， 故数列的最大项为， 若恒成立，则. 【点睛】方法点睛：（1）递推关系构造新数列，从而求得待求数列通项； （2）错位相减法求等差数列与等比数列乘积的前n项和，作比法求数列单调性，从而求得数列最值，解得参数取值范围. 18. 若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在实数集上恒成立，由此得到，从而求解出的取值范围. 【详解】由条件可知：函数定义域为，即对恒成立， 所以，解得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，曲线在处切线也与曲线相切. （1）求实数的值； （2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程，再与抛物线方程联立，结合，即可求解； （2）利用极值点的定义，结合零点存在性定理，求得极值点的范围，再代入函数值，即可求解. 【小问1详解】 ∵，∴， 又，所以在处的切线方程为， 因为切线与相切，联立得， 由及，解得； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 当时，，所以在无极大值点. 当时，令，则在上单调递增， 又，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又 所以当时，，即， 所以是的最大的极小值点，且. ∵，， 所以存在，使得，即， 当时，；当时，， 所以是的极大值点，也是的最大的极大值点. 因为在上单调递减，所以， . 所以. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，双变量问题，以及不等式在证明，第二问的关键是分区间讨论函数的单调性，从而确定函数的极值点，以及极值，在结合不等式的放缩，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期 广东省两校高考临门一脚考试 数学试卷 参加学校：诺德安达学校、金石实验中学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，请2B用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 设表示非空集合中元素的个数，已知非空集合.定义，若，且，则实数的所有取值为（ ） A. 0 B. 0， C. 0， D. ，0， 3. 如图，平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 4. 《几何原本》里提出：“球的体积（）与它的直径（）的立方成正比”，即，其中常数称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式求体积（在等边圆柱中，表示底面圆的直径；在正方体中，表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为）、正方体（棱长为）、球（直径为）的“立圆率”分别为、、，则（ ） A. B. C. D. 5. 双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于（ ）. A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数的最大值和周期分别是（ ） A ， B. ， C. 2， D. 2， 8. 下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（ ） A. 平均数 B. 标准差 C. 平均数且极差小于或等于 D. 众数等于且极差小于或等于 10. 已知定义在R上的函数满足．且，若，则下面说法正确的是（ ） A. 函数的图像关于对称 B. C. 函数在上单调递增 D. 若函数的最大值与最小值之和为2，则 11. 若角的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A. 是钝角 B. 是第二象限角 C. D. 点在第四象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处切线斜率互为倒数，那么______. 13. 名男生和名女生排成一排，若女生必须相邻，则有______种不同排法.用数字作答 14. 如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成角为，则为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知． （1）求角 大小； （2）若，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，. （1）证明平面； （2）求平面与平面的夹角. 17. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 18. 若函数对于一切恒成立，则求实数的取值范围. 19. 已知函数，曲线在处的切线也与曲线相切. （1）求实数的值； （2）若是的最大的极小值点，是的最大的极大值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $