第十一讲：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十一讲：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数 y=a(x - h)2 + k 的图象和性质 知识点02：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 知识点03：知识总结 考点1：二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题 【典型例题】 二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 【变式训练1】 二次函数的最大值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知：当时，函数有最大值． 【详解】解：∵中；， ∴此函数的顶点坐标是，有最大值， 即当时，函数有最大值． 故选C． 【变式训练2】 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 考点2：二次函数y=a(x-h)²+k的平移问题 【典型例题】 将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象平移后所得函数图象的顶点坐标，二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即，即可得出答案． 【详解】解：二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的函数解析式为即， 故顶点坐标为， 故选：C． 【变式训练1】 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 考点3：二次函数y=a(x-h)²+k的增减性问题 【典型例题】 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得对称轴和在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 故选：B． 【变式训练1】 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得到离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵都在抛物线的图象上，且， ∴， 故选：D． 【变式训练2】 已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴关于的对称点为：， ∵， ∴； 故选C 考点4：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典型例题】 关于二次函数及其图象的说法，下列错误的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．它有最大值为7 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据解析式可得图象的开口方向、顶点坐标、最值、对称轴及增减性，从而可作出判断． 【详解】解：对于二次函数， 由于，故图象开口向上， 抛物线顶点坐标为，有最小值，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大； 故选项C错误，符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 关于抛物线，下列说法中正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案． 【详解】A．在抛物线中，由于，所以该抛物线开口向下，故该选项错误，不符合题意； B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，故该选项错误，不符合题意； C．令，即，解得．这表明抛物线与轴有两个交点，故该选项错误，不符合题意； D．因为抛物线中，所以抛物线开口向下，函数有最大值．当时，函数的最大值是，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 2．已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，首先把二次函数的解析式整理成顶点坐标式，从而可得抛物线开口向上，对称轴是，根据二次函数的性质可知当时，函数的最大值为. 【详解】解：整理：， 可得：， 抛物线开口向上，对称轴是， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 当时，函数的最大值为. 故选：A． 3．在下列抛物线中，其顶点是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据“二次函数，其顶点坐标为”进行求解即可． 【详解】解：A、顶点坐标为，故不符合题意； B、顶点坐标为，故不符合题意； C、顶点坐标为，故符合题意； D、顶点坐标为，故不符合题意； 故选C． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线先向右平移2个单位长度，解析式为：， 再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为， 故选：C 5．已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 6．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，分别求出各选项中抛物线的对称轴，进行判断即可． 【详解】解：A、的对称轴为直线，不符合题意； B、的对称轴为直线，不符合题意； C、的对称轴为直线，不符合题意； D、的对称轴为直线，符合题意； 故选D． 7．已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则，根据抛物线在对称轴右侧的增减性可得即可得到结果． 【详解】解：设点关于抛物线对称轴的点坐标为，则， 二次函数， 抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ， 故选：． 二、填空题 8．写出一个图象开口向上，顶点为的二次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标为，当时开口向上，当时开口向下是解题的关键．根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵图象开口向上， ∴a可以取1， ∵顶点坐标为 ∴满足题意的二次函数解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 9．抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的顶点坐标式解析式，可知的对称轴是． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线的对称轴是． 故答案为： ． 10．二次函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值3， 故答案为：3． 11．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，依据题意，求出抛物线的对称轴，根据抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而减小，进而判断得解． 【详解】解：由题意得抛物线的对称轴， 又∵， ∴抛物线开口向上． ∴当时y随x的增大而减小． ∴对于A、B当时，． 故答案为：． 12．已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 13．把抛物线向下平移个单位，得到的抛物线与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的平移，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键．先利用二次函数的平移得到新解析式，再令时求出值即可解决． 【详解】解：抛物线向下平移个单位， 得到的抛物线解析式为， 当时，， ∴得到的抛物线与轴交点坐标为， 故答案为：． 14．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，即可得出，再利用图象上对称两点的坐标，即可求出的值，从而得出抛物线的解析式，然后把代入，即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴只有一个公共点， 该抛物线的顶点坐标为，且， ， 抛物线过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 即：， ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得的值是解题的关键． 15．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解答的关键．先得到抛物线的开口方向和对称轴，进而根据二次函数的增减性可得答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 16．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答．根据二次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得a的值． 【详解】解：二次函数， 当时，该函数取得最小值1， 当时，y的最小值为， 当时，时取得最小值，此时，该方程无解； 当时，时取得最小值，此时，得； 当时，当时取得最小值，此时，得； 故答案为：0或4． 三、解答题 17．在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】(1)填表、作图见详解 (2)填表见详解 【分析】本题主要考查二次函数作图， （1）把的值代入解析式求解，可得表格数据，在平面直角坐标系中根据的值描点，连线即可求解； （2）根据图示信息即可求解． 【详解】（1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 18．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键． （1）根据函数图像平移的性质，得到，即可得到答案； （2）根据顶点式解析式直接回答即可． 【详解】（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即， 又， 解得， ，． （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． 19．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法和步骤． （1）根据对称轴得出，则，把代入求出k的值，即可得出抛物线解析式； （2）根据二次函数的性质得出当时，y有最大值9，再求出当时，x的值， 结合当时，该二次函数值y取得的最小值为，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最大值9， 当时，， 解得：， ∵当时，该二次函数值y取得的最小值为， ∴． 20．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十一讲：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数 y=a(x - h)2 + k 的图象和性质 知识点02：二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移，常数项上加下减； 左右平移，自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 知识点03：知识总结 考点1：二次函数y=a(x-h)²+k的最值问题 【典型例题】 二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练1】 二次函数的最大值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式训练2】 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 考点2：二次函数y=a(x-h)²+k的平移问题 【典型例题】 将二次函数图象水平向左平移2个单位长度后的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A．B．C． D． 考点3：二次函数y=a(x-h)²+k的增减性问题 【典型例题】 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知抛物线上有三点，则的大小关系为（   ）． A． B． C． D． 【变式训练2】 已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 考点4：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典型例题】 关于二次函数及其图象的说法，下列错误的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．它有最大值为7 D．当时，随的增大而增大 【变式训练1】 关于抛物线，下列说法中正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．已知抛物线，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在下列抛物线中，其顶点是的是（   ） A． B． C． D． 4．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数图象经过、两点，的值在下列数字中可能为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 8．写出一个图象开口向上，顶点为的二次函数的表达式 ． 9．抛物线的对称轴为直线 ． 10．二次函数的最小值是 ． 11．已知点在抛物线上，且，则 ．（填“”或“”或“”） 12．已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 13．把抛物线向下平移个单位，得到的抛物线与轴交点坐标为 ． 14．若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则 ． 15．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 16．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为 ． 三、解答题 17．在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 18．已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． (1)求、的值； (2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 19．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，该二次函数值y取得的最小值为，求a的值． 20．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． (1)求点，，的坐标， (2)在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$