第十讲：二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十讲：二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质 知识点02：二次函数y=ax2与y=a(x - h)2(a≠0)的图象的关系 当 h > 0： 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 知识点03：知识总结 考点1：二次函数y=a(x-h)²的增减性问题 【典型例题】 已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为抛物线，则函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即可作答． 【详解】解：∵抛物线， ∴函数的开口方向向上，对称轴是，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵、和都在抛物线上，且， ∴， 故选：A． 【变式训练1】 已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断． 【详解】解：， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 和， ， ， 故选：C． 【变式训练2】 已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 考点2：二次函数y=a(x-h)²根据范围求未知参数 【典型例题】 已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【答案】1或6 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，分，，三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当时，函数有最大值， ①当时，则：当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ②当时，则当时，函数有最大值为：，解得：（舍去）或； ③当时，则：当时，函数有最大值为：，不符合题意； 故答案为：1或6． 【变式训练1】 已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 考点3：二次函数y=a(x-h)²的图象和性质问题 【典型例题】 如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象及其性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，即最高点为， 故选：D． 【变式训练1】 关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小； 二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大； 故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意． 故选：A． 考点4：二次函数y=a(x-h)²的左右平移问题 【典型例题】 将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的函数图像表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“上加下减、左减右加”进行作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移3个单位长度， ∴得到的函数图像表达式是， 故答案为：． 【变式训练1】 若把抛物线向右平移个单位长度，则得到的新的抛物线对应的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：若把抛物线向右平移个单位长度，则得到的新的抛物线对应的函数关系式为，即， 故答案为：． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标为，掌握顶点坐标是解答本题的关键． 根据的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 2．与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数解析式中的二次项系数的符号控制二次函数的开口方向，二次项系数的绝对值控制二次函数图象的形状和大小，则与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为，据此可得答案． 【详解】解：与开口大小，方向，形状完全相同的二次函数的解析式中二次项系数要为， ∴四个选项中只有D选项符合题意； 故选：D． 3．若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 故选项A符合题意， 故选：A ． 4．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 5．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 6．设，，是抛物线上的三点，则的大小关系为（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，正确根据抛物线解析式得到开口向上和对称轴是解题的关键． 先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，根据距离对称轴越近函数值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ， 故选：D． 7．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点为，有最低点， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点是，有最高点， ∴抛物线与抛物线的相同点是顶点都在x轴上． 故选：D． 8．抛物线与坐标轴交点的个数（    ）． A．必定是1个 B．必定是2 个 C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，正确利用函数解析式分析是解题关键． 直接利用抛物线解析式进而得出与坐标轴的交点个数． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，即与x轴有1个交点． 当时，与y轴的正半轴相交，当时，与y轴的负半轴相交，即与y轴有1个交点， ∴与坐标轴交点的个数必定是2 个． 故选B． 二、填空题 9．已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数开口向下二次项系数即可求出答案． 【详解】解：由 题意可知：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． 10．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键．先求出平移后的解析式，再求顶点坐标即可． 【详解】解：函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数解析式为， ∴顶点为：， 故答案为：． 11．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的开口方向确定的取值范围即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的开口方向向下， ∴， 故答案为：． 12．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由当时，随着的增大而减小，可得的取值范围． 【详解】解：二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 当时，随的增大而减小， ∵当时，随的增大而减小， ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一）． 13．抛物线顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像性质，直接根据的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：抛物线顶点的坐标为． 故答案为： 14．抛物线，当时，y随着x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线,即可求解． 【详解】解：抛物线，开口向下，对称轴为直线, ∴当时，y随着x的增大而减小， 故答案为：减小． 15．已知二次函数的图象经过点．当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，注意数形结合．首先求得的值，再求得对称轴，根据开口方向及对称轴即可完成． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 16．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 三、解答题 17．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 18．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 19．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握描点法画图． 先列表分别得到两个函数图像上的一些点的坐标，然后描点画出函数图像即可． 【详解】先列表：            描点、连线，画出这两个函数的图象： 20．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 21．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版九年级数学上册 第十讲：二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：二次函数 y = a(x - h)2 (a ≠ 0) 的图象和性质 知识点02：二次函数y=ax2与y=a(x - h)2(a≠0)的图象的关系 当 h > 0： 左右平移规律： 自变量左加右减，括号外不变. 知识点03：知识总结 考点1：二次函数y=a(x-h)²的增减性问题 【典型例题】 已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点2：二次函数y=a(x-h)²根据范围求未知参数 【典型例题】 已知关于的二次函数，当时，函数有最大值，则的值为 ． 【变式训练1】 已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 考点3：二次函数y=a(x-h)²的图象和性质问题 【典型例题】 如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．是中心对称图形 B．开口向上 C．对称轴是直线 D．最高点是 【变式训练1】 关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 考点4：二次函数y=a(x-h)²的左右平移问题 【典型例题】 将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的函数图像表达式是 ． 【变式训练1】 若把抛物线向右平移个单位长度，则得到的新的抛物线对应的函数关系式为 ． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．与开口大小，方向，形状完全相同的是（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线的开口下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 5．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．设，，是抛物线上的三点，则的大小关系为（　  ） A． B． C． D． 7．抛物线与抛物线的相同点是（    ） A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在轴上 8．抛物线与坐标轴交点的个数（    ）． A．必定是1个 B．必定是2 个 C．必定是3个 D．可以是1个也可以是2个 二、填空题 9．已知抛物线，开口向下， 则k的取值范围是 ． 10．在同一平面直角坐标系中，函数的图象向左平移4个单位长度得到的函数图象的顶点坐标为 ． 11．如果二次函数的开口方向向下，那么a的取值范围是 ． 12．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的值可以是 （写出一个符合要求的值即可）． 13．抛物线顶点的坐标为 ． 14．抛物线，当时，y随着x的增大而 ． 15．已知二次函数的图象经过点．当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 16．已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 三、解答题 17．写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 18．已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 19．在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 20．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 21．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$