第06讲 圆的方程（3个知识点8大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第06讲 圆的方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 题型一：求圆的标准方程 【典例1-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 【典例1-2】已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：C 【变式1-1】（2025·高二·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意设圆的标准方程是， 因为圆经过两点， 所以，解得， 所以圆的标准方程是， 故选：A 【变式1-2】已知点，，线段为圆的直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为点，， 所以线段的中点坐标为，即圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为. 故选：D 题型二：求圆的一般方程 【典例2-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则，且中点为， 所以以为直径的两个端点的圆的标准方程为，展开得， 故选：A. 【典例2-2】（2025·高二·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，在圆上，圆心为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为， 则一般方程为：， 故选：B. 【变式2-1】过，，三点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求的圆的方程为，因为，，三点在圆上，所以解得于是所求圆的一般方程是. 故选：D. 【变式2-2】当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线，当时，，故直线恒过点， 所以以为圆心，为半径的圆的标准方程为， 化简得圆的一般方程为：. 故选：C. 题型三：判断点与圆的关系 【典例3-1】若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【答案】C 【解析】因为， 当且仅当时取等号，所以点在圆内或圆上． 故选：C 【典例3-2】（2025·高二·浙江台州·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点在圆的内部， 所以，即，解得， 实数的取值范围是， 故选：A. 【变式3-1】点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】因为 所以点在圆内. 故选：B. 【变式3-2】（2025·高二·北京顺义·期中）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【答案】C 【解析】圆心为，半径为， 因为， 所以在圆外， 故选：C 题型四：直译法求轨迹方程 【典例4-1】在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程． 【解析】设点的坐标为， 为等腰三角形，且为顶点，． 又， ， ． 又点不能与点重合，也不能使，，三点共线． 且， 点的轨迹方程为（且）． 【典例4-2】设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 【解析】（1）如图取中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有、． 设点到、两点的距离的平方差为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程为，其轨迹是两条垂直于轴的直线． （2）设点到、两点的距离的平方和为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程，其轨迹是以为直径的圆． 【变式4-1】（2025·安徽滁州·二模）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 【变式4-2】（2025·高二·北京·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆C：过点，则， 所以圆心的轨迹方程是， 故选：D． 题型五：相关点法求轨迹方程 【典例5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 【典例5-2】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ． 【答案】 【解析】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 故答案为： 【变式5-1】（2025·高二·广西南宁·期中）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意可知：圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离， 可得，解得. （2）设， 因为点，且为的中点，则， 又因为点在圆上，则，整理得， 所以点的轨迹方程为. 【变式5-2】已知圆O：，直线的方程为.若直线过定点P，点M，N在圆O上，且⊥，Q为线段的中点，求点Q的轨迹方程． 【解析】直线的方程为，即， 则有，解得，即点P的坐标为． 因为点M，N在圆O上，且⊥，Q为线段MN的中点， 则，设的中点， 由垂径定理得， 即， 化简可得，即为点Q的轨迹方程． 题型六：圆与二元二次方程表示的曲线的关系 【典例6-1】若方程表示圆，则的取值范围为 . 【答案】或， 【解析】由可得， 故，解得或， 故答案为：或， 【典例6-2】（2025·高二·福建·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-1】（2025·高二·河北沧州·期中）已知圆，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意，，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式6-2】（2025·高一·陕西宝鸡·期末）已知，方程表示圆，则 ． 【答案】 【解析】依题意，解得或2， 当时，方程为，即表示圆，符合题意； 当时，方程为，即， 得，不表示圆，不符合题意， 综上，. 故答案为：. 题型七：圆过定点问题 【典例7-1】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【解析】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 【典例7-2】（2025·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 【变式7-1】（2025·高二·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【答案】 【解析】①当时， 二次函数的图象与两坐标轴交于点，，， 的外接圆为圆E， 设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得， 此方程有一个根为，代入此方程得出， 所以圆E的一般方程为； ②设所求圆的一般方程为，， 令，得，由题意可得，这与是同一个方程， 故， 令，得，由题意可得，此方程有一个根为， 代入此方程得出，所以圆E的一般方程为， 当时，或， 故圆E恒过定点. 故答案为：； 【变式7-2】（2025·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 题型八：圆对称性的应用 【典例8-1】（2025·高二·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【答案】 【解析】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 【典例8-2】（2025·高二·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】圆，即，圆心为，半径为， 因为圆（，）被直线平分， 则直线过圆心，即， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 【变式8-1】已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【答案】 【解析】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 【变式8-2】（2025·高二·湖北十堰·期中）点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的半径是 . 【答案】 【解析】由，该圆的圆心坐标为， 因为点在圆上，且点关于直线对称， 所以圆心在上，即， 所以该圆的半径为， 故答案为： 1．（2025·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由圆的性质可知， 当时，直线斜率不存在， 此时直线斜率为，所以，，， 当时，有，即， 整理得：， 经检验在直线上， 所以的轨迹方程为：. 故选：B. 2．（2025·高二·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 3．（2025·高二·河南·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 4．（2025·高二·湖南·期中）曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故选：C. 5．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若关于，的方程：表示圆，则，解得或， 因为真包含于， 所以“关于，的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．（2025·高二·江西南昌·期中）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【解析】圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为. 故选：B. 7．圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 8．圆的半径为 . 【答案】1 【解析】由，则，可得半径为1. 故答案为：. 9．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解析】圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径， 而圆与圆关于轴对称，即圆心与圆心关于轴对称，而两圆半径相等， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为：. 故答案为： 10．（2025·高二·上海杨浦·期中）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为 . 【答案】 【解析】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为. 故答案为：. 11．（2025·高二·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为 ； 【答案】 【解析】圆的半径， 依题意，解得，经验证，符合题意， 所以的值为. 故答案为： 12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆心坐标为， 则圆的半径， 当时，，圆心坐标为． 故所求圆的方程为． 故答案为：. 13．（2025·高二·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 【答案】（且） 【解析】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且） 14．（2025·高二·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 . 【答案】 【解析】设点，依题意，, 代入点的坐标，可得：， 化简得：. 即点的轨迹方程为. 故答案为：. 15．的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【解析】（1）设线段的中点为，则， 因为，则边上的中线的方程为，即直线的方程为， 又因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为. （2）（ⅰ）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得， 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （ⅱ）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆． 16．在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【解析】设圆的方程为， 则有， 解得，即圆的方程为． 17．（2025·高二·河北石家庄·期末）已知圆C过点，，且圆心在上， (1)求圆C的方程； (2)已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值. 【解析】（1），，由中点坐标公式得MN的中点坐标为， ， 的中垂线方程为：，即， ， ，， 圆的方程为 （2）设， ， 即点P到原点O的距离的平方， ， ， 18．（2025·高二·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 【解析】（1）因为圆心C是直线与轴的交点， 所以圆心C的坐标为， 又因为圆C经过，所以圆C的半径为， 所以圆C的方程为. （2）因为四边形CAMB为菱形， 所以AB垂直平分CM， 因为，所以 又因为CM的中点坐标为 所以直线AB的方程为，即. 19．（2025·高二·天津·期末）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状. 【解析】设，由， 得，化简得， 即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； 20．已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【解析】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即； （2）仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即， 由解得：， 即圆心为，圆的半径为：, 故圆的方程为：. 21．已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 【解析】设该圆的一般方程为， 令，得，所以； 令，得，所以. 所以，所以.① 又，两点在圆上， 所以，② .③ 由①②③，得，，，经验证符合题意， 故所求圆的方程为. 22．已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程． 【解析】设圆的方程为，则圆心是， 因为圆关于直线对称，则直线经过圆心，即圆心在直线上， 可得，即． 又圆过点，由此可得， 解得， 故的一般方程是． 23．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线，与交于点点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. 【解析】（1），故， 因为，所以中点坐标为且. 所以的垂直平分线方程为，即. （2），故圆心坐标为，半径为. 所以圆的标准方程为. 24．（2025·高二·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【解析】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 25．（2025·高二·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 【解析】易知圆的圆心为， 设圆心关于直线对称的点坐标为， 可得，解得， 即圆的圆心坐标为，对称后半径不变， 所以圆的方程为. 26．（2025·高二·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 【解析】（1）由题意可知该直线与直线平行， 所以设该直线方程为， 依题意，解得或， 故该直线方程为或. （2）圆的圆心为， 设圆心关于直线的对称点为， 则且的中点在直线上． ，解得， ， 圆关于直线的对称圆半径不变， 该对称圆方程为：． 27．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 【解析】（1）由题直线的斜率为,故边上高的斜率为，又边上的高过点，由点斜式方程得：，即； （2）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. 由可得外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 圆的方程 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 知识点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点三：圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 题型一：求圆的标准方程 【典例1-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点，，线段为圆的直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：求圆的一般方程 【典例2-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）以为直径的两个端点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2025·高二·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】过，，三点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，为半径的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 题型三：判断点与圆的关系 【典例3-1】若点的坐标是，圆的方程为，则（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆内或圆上 D．点在圆上或圆外 【典例3-2】（2025·高二·浙江台州·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【变式3-2】（2025·高二·北京顺义·期中）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 题型四：直译法求轨迹方程 【典例4-1】在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程． 【典例4-2】设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 【变式4-1】（2025·安徽滁州·二模）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·北京·期中）已知圆C：过点，则圆C的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 题型五：相关点法求轨迹方程 【典例5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【典例5-2】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是 ． 【变式5-1】（2025·高二·广西南宁·期中）已知直线与圆交于两点，点在圆上运动． (1)当时，求； (2)已知点，求的中点的轨迹方程． 【变式5-2】已知圆O：，直线的方程为.若直线过定点P，点M，N在圆O上，且⊥，Q为线段的中点，求点Q的轨迹方程． 题型六：圆与二元二次方程表示的曲线的关系 【典例6-1】若方程表示圆，则的取值范围为 . 【典例6-2】（2025·高二·福建·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【变式6-1】（2025·高二·河北沧州·期中）已知圆，则的取值范围为 . 【变式6-2】（2025·高一·陕西宝鸡·期末）已知，方程表示圆，则 ． 题型七：圆过定点问题 【典例7-1】点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【典例7-2】（2025·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【变式7-1】（2025·高二·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B，C，记的外接圆为圆①当时，圆E的一般式方程是 ;②圆E恒过的两个定点是 . 【变式7-2】（2025·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 题型八：圆对称性的应用 【典例8-1】（2025·高二·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【典例8-2】（2025·高二·宁夏银川·期末）若圆（，）被直线平分，则的最大值为 . 【变式8-1】已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【变式8-2】（2025·高二·湖北十堰·期中）点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的半径是 . 1．（2025·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 2．（2025·高二·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025·高二·河南·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·湖南·期中）曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州黔南·三模）“关于，的方程：表示圆”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·高二·江西南昌·期中）圆的圆心到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 7．圆心是且过点的圆的方程为 . 8．圆的半径为 . 9．（2025·高二·上海浦东新·期中）已知圆与圆关于轴对称．则圆的标准方程为 ． 10．（2025·高二·上海杨浦·期中）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为 . 11．（2025·高二·上海普陀·期中）设，若圆的半径为2，则的值为 ； 12．若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 ． 13．（2025·高二·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 14．（2025·高二·广东佛山·期中）已知动点到点和点的距离的平方和为定值6，那么点的轨迹方程为 . 15．的三个顶点分别是，，. (1)求边上的中线所在直线的方程，求边上的高所在直线的方程； (2)（ⅰ）求的外接圆（为圆心）的标准方程； （ⅱ）若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 16．在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 17．（2025·高二·河北石家庄·期末）已知圆C过点，，且圆心在上， (1)求圆C的方程； (2)已知平面内两点，，P为圆C上的动点，求的最小值. 18．（2025·高二·北京丰台·期末）已知圆C经过点，且圆心C是直线与轴的交点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且四边形为菱形，求直线l的方程. 19．（2025·高二·天津·期末）已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状. 20．已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 21．已知一个圆过点，，它与轴的交点为，，与轴的交点为，，且，求此圆的方程. 22．已知圆过两点且圆关于直线对称，求的的方程． 23．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，直线，与交于点点. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程. 24．（2025·高二·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 25．（2025·高二·上海徐汇·期中）已知圆关于直线对称的图形为圆，求圆的方程． 26．（2025·高二·北京·期中）设直线 (1)求与直线的距离为的直线的方程； (2)求圆关于直线的对称圆的方程. 27．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求AB边上的高所在的直线方程 (2)求外接圆的方程 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$