2025年中考数学复习专题训练 圆中线段之间关系探究

圆中线段之间关系探究 1.如图，AD是的外角的平分线，与的外接圆交于点D， 连OB，OC，求； 连DB，DC，求证：； 探究线段AD，AB，AC之间的数量关系，并证明你的结论． 2.阅读材料，回答问题． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 如图①，四边形ABCD内接于求证： 证明：如图②，作，交BD于点，，∽，，……   将上述证明过程补充完成． 当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们熟知的          定理． 如图③，四边形ABCD内接于，，，，点C是的中点，求AC的长． 如图④，四边形ABCD内接于，BD平分，，求证： 3.如图，BE为的直径，点A为上一点，的平分线AD交于点D，交BE于点F，C是BE延长线上一点，且 试判断AC与的位置关系，并说明理由； 若，，求AC的长； 连接CD交于点G，请探究线段DB、DC、DG的数量关系并证明． 4.已知等边内接于点P为弧AB上的一个动点，连结PA、PB、 如图1，当线段PC经过点 O时，写出线段PA，PB，PC满足的等量关系，并说明理由． 如图2，点 P为弧AB的任意一点点 P不与点 A、点 B重合，试探究线段PA，PB，PC之间满足的等量关系，并证明你的结论． 如图3，在中，，，的外角平分线交的外接圆于点 P，于 E，求AE的长． 5.如图，AB为的直径，点C、D都在上，且CD平分，交AB于点 求证：； 若，，求的半径； 于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由． 6.如图，点C在以AB为直径的上.将沿直径AB对折，点C落在上的点D处，分别连接AC，CD，AD，AB与CD交于点另有一动点F在上运动，连接CF交AB于点G，交AD于点 当CF平分时. ①连结BC，求证： ②若，求的值. 当时，探究线段AF与OE的长度关系. 如图2，若点F运动到上，AF交CD于点I，求证： 7.问题背景：如图①，AB是的直径，点C、点D在圆上在直径AB的异侧，且D为弧AB的中点，连接AD、BD、CD、AC、 探究思路：如图②，将绕点D顺时针旋转得到，证明C、B、E三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出 请你根据探究思路，写出完整的推理过程；问题解决： 若点C、点D在直径AB的同侧，如图③所示，且点D为弧AB的中点，连接CD，，，直接写出线段CD的长为          ；用含有m、n的式子表示 拓展探究：将沿BD翻折得到，如图④所示，试探究：MA、MB、MD之间的数量关系，并说明理由． 8.在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，，是的外接圆，点D在上，连接AD、BD、 【特殊化感知】如图1，若，点D在AO延长线上，则与CD的数量关系为          ； 【一般化探究】如图2，若，点C、D在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】若，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．用含的式子表示 9.如图，四边形ABCD是内正方形，P是圆上一点点P与点A，B，C，D不重合，连接PA，PB， 若点P是上一点， ①度数为______； ②求证：； 小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程也可按自己的想法给出证明 证明：在PC的延长线上截取点使，连接 探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明． 10.在中，点C是弧AB上的一个动点不与点A、重合，，点I是的内心，CI的延长线交于点D，连接、 求证：； 猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由； 若的半径为2，点E、是弧AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长. 11.如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点，作的外接圆交AB于点点E是圆上一点，且，连接DE交BP于点 求证： 当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． 探究线段BF、CE、EF之间的数量关系，并证明． 12.【阅读材料】 教材习题 如图，AB、CD相交于点O，O是AB中点， ，求证：O是CD中点． 问题分析 由条件易证≌，从而得到，即点O是CD的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点 如图1，若，，求证：点D是EF的中点； 如图2，若，，探究CD与BE之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，，，，当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为_______，CF扫过的面积为______. 1.【答案】【小题1】 解：连接， ， ， ， ， 【小题2】 证明：是的外角的平分线， ， ， 由得，， ， 是等边三角形， 【小题3】 解：，理由如下： 延长AD至F，使，连接CF， 四边形ABCD是圆内接四边形， ， ， ， 由得，是等边三角形， ，， 又 ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ，   【解析】  本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由得到，根据圆周角定理得，再利用等腰三角形的性质即可求出；   证明是等边三角形，即可得出结论；   延长AD至F，使，连接CF，通过SAS证明≌，得出，，进而证明是等边三角形，即可得出结论． 2.【答案】【小题1】 ，，，∽，，，，即 【小题2】 勾股 【小题3】 如图①，连接BD，作于四边形ABCD是圆内接四边形，，，，，，，，由托勒密定理得，即， 【小题4】 如图②，连接AC，，平分，，，是等边三角形，四边形ABCD是圆内接四边形，，   【解析】 略  略  略  略 3.【答案】【小问1详解】 解：AC与相切，理由如下， 如图，连接AO、DO， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， 平分， ， ， ， ， 又点A在上， 是的切线， 与相切； 【小问2详解】 解：，，， ，设，则， 过程已证， ， ， ， ， 解得；， ； 【小问3详解】 解：，证明如下， 如图，连接BG， 为的直径， ， 平分， ， ， 又， ， ，   【解析】略 4.【答案】【小题1】 解：，理由如下： 线段PC经过点O， 是的直径， ， 是等边三角形， ， ， ，， ； 【小题2】 ，理由如下： 在PC上截取，连接AD，如图2所示： 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ； 【小题3】 在AC上截取连接PD并延长交圆O于连接CG，如图3所示： ，， ， ， ， 又平分， ， ，即，   【解析】  由圆周角定理得出，由等边三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，，即可得出结论；   在PC上截取，连接AD，证明是等边三角形，得出，，证出，证明≌，得出，即可得出结论；   在AC上截取连接PD并延长交圆O于连接CG，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形的性质和圆周角定理得出得出，证出，证出得出，得出，证出即可得出答案． 5.【答案】【小题1】 证明：平分， ， ， ； 【小题2】 解：如图1，过点E作于点M， 为的直径， ，， ， ， ， ， ， ； 【小题3】 理由如下： 如图2，过点D作，交CB的延长线于点N， 四边形DACB内接于圆， ， ，，CD平分， ，， ≌， ，， ， ， 即   【解析】  由CD平分，根据圆周角定理，可得；   过点E作于点M，求出AD长，则，可求出AB，则答案得出；   过点D作，交CB的延长线于点N，可证明≌，则，则结论可得出． 6.【答案】①证明：为的平分线， 由折叠可知， ， ， ， 即， ②解：点和D点关于AB对称， ，， ，， 由①得， ， ， 为直径， ， ， ， ， ，， 解：线段AF与OE的长度关系是 理由：如图，连结并延长 DO，交于点M，连结 ， ， 为直径， ， 又， ， ， ， ， 点O，E分别是MD，CD的中点， 证明：由折叠可知， ， ， ∽， ， ， 又，， ∽， ，即， ， 即  【解析】本题为圆的综合题目，涉及到的知识点有：折叠的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质等. ①根据折叠的性质结合圆周角定理得出，即可证得结论； ②先证明BGC是等边三角形，得出，在中由锐角三角函数定义得出，即，然后根据，，即可求解； 线段AF与OE的长度关系是 连结并延长DO，交于点M，连结先证明得出，再根据三角形中位线的性质得出，即可证明结论； 利用折叠的性质和相似三角形的判定与性质先证明∽得出，进而可得，再证明∽，得出，即，即可证得结论. 7.【答案】【小题1】 绕点D顺时针旋转得到， ≌，，， ，，， ，， ， 【小题2】   【小题3】 如图②，将绕点D点逆时针得到，点A在上，≌沿BD翻折得到， ≌， ≌≌， ，， ，， 是圆的直径， ，， ，，，， ，在和中， ≌，，   【解析】 见答案   如图①，将绕点D点顺时针得到， ≌，，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，  见答案 8.【答案】【小题1】 【小题2】 如图所示，在AD上截取， 是等边三角形， ，则 四边形ACDB是圆内接四边形， ； ，， 是等边三角形，则 ， 又 在中 ≌ ， 即； 【小题3】 解：①如图所示，当D在上时， 在AD上截取， 又 ，则 即 又 如图所示，作于点F， 在中，， ，即 ②当D在上时，如图所示，延长BD至G，使得，连接AG， 四边形ACDB是圆内接四边形， 又 ，则 即， 又 ， 同①可得 综上所述，当D在上时，；当D在上时，   【解析】  根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形ACDB是圆内接四边形，设交于点E，则，设，则，分别求得，即可求解； 解：，， 是等边三角形，则 是的外接圆， 是的角平分线，则 四边形ACDB是圆内接四边形， 设交于点E，则， 设，则 在中， ， 是直径，则， 在中，   在AD上截取，证明≌，根据全等三角形的性质即得出结论；   分两种情况讨论，①当D在上时，在AD上截取，证明，，得出，作于点F，得出，进而即可得出结论；②当D在上时，延长BD至G，使得，连接AG，证明，，同①可得，即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 9.【答案】【小题1】 解：① ②证明：如图所示，在PC的延长线上截取点E，使连接BE， 四边形ABCD是内接正方形， ， 又点P在上， 四边形ABCP为内接四边形， 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 【小题2】 当点P在上时，； 当点P在上时， 当点P在上时，    【解析】  ①解：，理由： 四边形ABCD是正方形， ， 的度数为， ， 故答案为：； ②见答案； ①由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可； ②在PC的延长线上截取点使，连接BE，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可.   当点P在上时，； 在PC上取点E，使，连接BE，如图， 四边形ABCD是内接正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 当点P在上时，， 在PA上取点E，使，连接BE，如图， 四边形ABCD是内接正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 当点P在上时，，理由：  在PA的延长线上截取点E，使，连接BE，如图， 四边形ABCD是内接正方形， ， 又点P在上， 四边形ABCP为内接四边形， 在和中， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 综上，当点P在上时，； 当点P在上时， 当点P在上时， 利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可． 本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键． 10.【答案】证明：点I是的内心， 平分， ， ，， 为等边三角形， ； 解： 理由如下：连接AI， 点I是的内心， 平分， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ； 由得， 点I在以D点为圆心，DA为半径，圆心角为的弧上， 连接DE、DF交此弧于点、，如图， 当点C从点E运动到点F时，点I随之运动形成的路径长为弧的长， 点E，F是的三等分点 ， 连接OA，作于H，则， 为等边三角形， ， ，， ， 的长度， 即点I随之运动形成的路径长为  【解析】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、圆周角定理、三角形的内心、等腰三角形的判定、等边三角形的判定和性质、弧长公式；通过证明角相等得到线段相等是解决的关键． 利用三角形内心性质得到，再关键圆周角定理得到，，然后判断为等边三角形即可得到结论； 连接AI，利用三角形内心性质得到，再证明得到，加上，从而得到； 由得，则可判断点I在以D点为圆心，DA为半径，圆心角为的弧上运动，连接DE、DF交此弧于点、，所以当点C从点E运动到点F时，点I随之运动形成的路径长为弧的长，利用圆周角定理得到，连接OA，作于H，则，接着计算出AD的长，然后利用弧长公式计算弧的长即可． 11.【答案】【小问1详解】 证明：连接PE， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ≌， ， ； 【小问2详解】 解：当点P运动时，的度数不会变化， ， ， ， ， 的度数为； 【小问3详解】 ，理由如下： 延长交于点J， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， 连接PD， 四边形CPDB是圆的内接四边形， ， ， ， ，  是 等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ≌， ， ， 即   【解析】【分析】连接PE，根据等边三角形的性质可得，，再利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等可得，从而利用AAS证明≌，进而可得，最后利用等量代换可得； 根据等弧所对的圆周角相等可得，然后利用三角形的外角性质可得，即可解答； 延长交于点J，先证明是等边三角形，然后证明≌即可得出结论． 本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12.【答案】解：证明：，， ， 过点E作，则，， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 又， ≌， ， 点D是EF的中点； 过点E作，则∽， ， ，，则， ， ， ，， ， 又， ≌， ， ， ， ，则 ， ， 【灵活应用】；  【解析】【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轨迹等有关知识. 过点E作，证≌，即可得点D是EF的中点; 过点E作，可证∽，得，由，，得，再证≌， 可得，由平行线分线段成比例得，由，可得，即可得 【灵活应用】由题意可得，过点E作，则∽，可得，进而可得，易证≌，可知，过点D作，则，，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作，则，，易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案. 【解答】 解：见答案； 见答案； 是半圆O的直径，点C是半圆上一点， ， 过点E作，则∽， ， ， ， ， ， ， 又， ≌， ， 过点D作，则，， ， ，， ，则， ， 点D在以AM为直径的半圆上运动， 运动的路径长为：， 过点F作，则，， ， ， ， 点F在以BH为直径的半圆上运动， 则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差， 即：CF扫过的面积为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$