期末压轴题必刷练03【解答60题 第1-6章】-2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略（北师大版2024）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新北师大版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末压轴题必刷练03 【解答60题 第1-6章】 目录 压轴考点一整式的乘除 2 压轴考点二相交线与平行线 9 压轴考点三概率初步（可能性及概率） 21 压轴考点四三角形的认识及全等三角形 29 压轴考点五图形的对称轴 39 压轴考点六变量之间的关系 48 压轴考点一整式的乘除 一、解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，绝对值，乘方，还考查幂的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值，乘方化简，再进行加减即可； （2）先利用积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法进行化简，再进行加减． 【正确解答】（1）解： ； （2）解： ． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题主要考查了同底幂的乘法法则，同底幂的除法法则和幂的乘方，解决此题的关键是要熟练运用各个法则． （1）根据同底幂除法法则的逆应用，即可得到答案； （2）根据同底幂的乘法法则先得到，再根据同底幂乘法以及幂的乘方的逆应用即可得到答案； 【正确解答】（1）解：． （2）解：． 3．计算：． 【答案】 【思路分析】首先计算零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，然后计算加减． 此题考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． 【正确解答】解： ． 4．若，求的值． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了同底数幂除法计算，单项式乘以单项式，幂的乘方的逆运算，把所求式子可变形为，进一步可变形，据此代值计算即可． 【正确解答】解：∵， ∴ ． 5．（1）已知，求代数式的值． （2）若中不含x的一次项，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【思路分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘法中的无关型问题，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据乘法公式把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再求出，据此利用整体代入法求解即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【正确解答】解：（1） ， ， ， 原式． （2） ， ∵中不含的一次项， ∴， 解得． 6．已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 【答案】 【思路分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的积不含某项，完全平方公式，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握多项式乘多项式的计算法则．先根据多项式乘多项式的计算法则计算出，然后根据不含某一项，即这一项的系数为0进行求解即可． 【正确解答】解： ， ∵既不含x的二次项，也不含x的一次项， ∴， 解得， ∴． 7．求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)5 (2)28 【思路分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，灵活运用完全平方公式是解题的关键． （1）设，，然后求出与的值，再根据配方法即可求出答案； （2）设正方形的边长为x，，根据正方形的面积公式即可求出答案． 【正确解答】（1）解：设，， 则，， ； （2）正方形的边长为x，， ，， ∵长方形的面积是48， ， 设，， 则，， ， ， ， 阴影部分的面积， ， 即阴影部分的面积是28． 8．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【思路分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【正确解答】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖。 9．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】(1)平方米； (2)29000元 【思路分析】本题考查整式的混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积即为绿化面积列代数式即可； （2）将代入（1）中代数式求得绿化面积，再乘以每平方米成本即可求解． 【正确解答】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积 平方米； （2）解：当时， （平方米）， ∴（元）， ∴成绿化共需要29000元． 10．定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【思路分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【正确解答】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 压轴考点二相交线与平行线 11．如图，直线，相交于点，在的内部． (1)图中的对顶角为______________，的补角为_________________； (2)若，且，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【思路分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的意义，解题关键是能读懂所给的图． （1）根据对顶角，补角的意义求解； （2）先根据对顶角的性质，求得，再结合，求出，然后求出其补角的大小． 【正确解答】解：（1），； 故答案为：，； （2）∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ， ． 12．如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由对顶角相等即可求解； （2）根据，由此即可得到结论． 【正确解答】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 13．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3)和 【思路分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键； （1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求； （2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案； （3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案． 【正确解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短； （3）解：∵， ∴， ∴的余角是和． 14．如图，平面上有三个点A、B、C，按照要求作答： (1)画直线； (2)利用尺规，过点A作直线（不写作法，但保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路分析】本题考查了作图—复杂作图，平行线的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直线的定义画图即可； （2）连接，在的右侧作，作直线即可得解． 【正确解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，连接，在的右侧作，作直线，则直线即为所求， ． 15．如图，C是的平分线上的任意一点． (1)在射线上找一点D，使； (2)猜想与的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)作图见解析 (2)平行，理由见解析 【思路分析】本题考查了尺规作图，做一个角等于已知角，平行线的判定，角平分线的定义，掌握平行线的判定是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的步骤作图即可； （2）根据角平分线的定义以及等量代换得到，即可证明平行． 【正确解答】（1）解：如图，点D即为所求： （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路分析】本题考查了作图的应用与设计，平行线的判定及垂线的定义，掌握网格线的特征、平行线的判定及垂线的定义是解题的关键． （1）根据网格线的特征及平行线的判定作图； （2）根据网格线的特征及垂线的定义作图． 【正确解答】（1）解：如图所示，即为所求； - （2）解：如图所示，即为所求； - 17．（1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 【答案】（1）画图见解析；，（2）画图见解析； 【思路分析】本题考查学生利用工具画图的能力及对垂线，平行线的理解． （1）如图，利用三角尺画，，则，即为所求，再利用点到直线的距离的含义可得点P到直线的距离； （2）如图，利用三角尺画交于，过点C画，与的延长线交于点F．则，即为所求； 【正确解答】解：如图， ，即为所求； ； 若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中线段的长度． （2）如图， ，即为所求； ； 18．如图，已知，于点H，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）先根据平行线的判定证明，根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定得出结论即可； （2）根据平行线的性质得出，求出，得出，根据平行线的性质求出即可． 【正确解答】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以． 所以； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 19．如图，，于点，于点． (1)如图，若，则__________； 与是否相等？为什么？ (2)如图，平分交于点，证明． 【答案】(1)；，见解析； (2)见解析． 【思路分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直定义，同角的余角相等，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由垂直定义可知，然后通过角度和差即可求解； 过点作，则，所以，然后通过同角的余角相等即可求解； （）过点作，由（）知，，又平分，则，得，然后通过平行线的性质即可求证． 【正确解答】（1）解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． ，理由： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， 由（）知，， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 20．已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，； （2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明，即可得出结论． 【正确解答】（1）解：结论 ：， 理由：如图1所示，过点M作， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论 ：， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 压轴考点三概率初步（可能性及概率） 21．掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 【答案】见解析 【思路分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【正确解答】解：（1）面朝上的点数大于0，是必然事件，故； （2）面朝上的点数是7，是不可能事件，故； （3）面朝上的点数是3的倍数有3，6两种情况，故； 按发生的可能性从大到小的顺序排列为． 22．将下列事件按照发生的可能性由小到大进行排列． （1）有一个分数的分子比分母小； （2）一名10岁儿童每小时可以跑10km； （3）正数大于负数． 【答案】按照发生的可能性由小到大排列为（2）（1）（3） 【思路分析】此题主要考查了可能性大小，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．据此回答即可． 【正确解答】解：（1）有一个分数的分子比分母小，为随机事件，发生的可能性在0至1之间； （2）一名10岁儿童每小时可以跑，为不可能事件，发生的可能性为0； （3）正数大于负数，为必然事件，发生的可能性为1． ∴按照发生的可能性由小到大排列为（2）（1）（3）． 23．某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． 你认为前来寻开心的人转动转盘1 次，是获奖的可能性大还是付费的可能性大？为什么？ 【答案】获奖的可能性和付费的可能性相等，理由见解析 【思路分析】本题主要考查了可能性，根据转盘八等份里面，字母“A”占4份，字母“B”和“C”占4分，根据概率公式计算然后比较即可得出答案． 【正确解答】解：获奖的可能性和付费的可能性相等理由如下， ∵转盘八等份里面，字母“A”占4份，字母“B”和“C”占4分， ∴前来寻开心的人转动转盘1 次，是获奖的可能性为： 前来寻开心的人转动转盘1 次，是付费的可能性为：， ∴获奖的可能性和付费的可能性相等． 24．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的投篮训练情况，制成表格如下： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)______，______； (2)估计该队员投篮命中的概率．（结果精确到） 【答案】(1)； (2) 【思路分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，得到的值越来越精确，还考查了频率的计算公式． （1）用对应的除以即可求解； （2）根据（1）的计算结论可估计这个运动员投篮3分球命中率的概率． 【正确解答】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）解：估计该运动员投篮命中率的概率是． 25．一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则______． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)4； (2)这个游戏对双方公平，原因见解析； 【思路分析】（1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 本题考查了概率公式和随机事件，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【正确解答】（1）根据题意，得， 解得， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； （2）这个游戏对双方公平， 原因如下：小颖任意摸一个球，所有可能的结果有10种，因为这些球除颜色外形状和大小完全一样，所以每种结果出现的可能性相同．小颖摸到红球的情况有5种，所以，， 因为． 所以这个游戏对双方公平． 26．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 【答案】(1) (2) 【思路分析】此题考查了频率和概率，根据频率和概率的定义进行解答即可． （1）根据频数除以总数即可得到频率； （2）用白球的个数除以球的总个数即可得到答案． 【正确解答】（1）解：由题意可得，， 即这50次摸球中，摸到白球的频率为； （2）因为加入5个白球后，袋中共有白球：（个）， 袋中一共有球：（个）， 所以随机摸出一个球，摸到白球的概率为． 27．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小兴和小庆都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字1，2，3，3，4，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小兴得到电影票；否则，小庆得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小兴、小庆公平吗？请说明理由． 【答案】这种方式得电影票对小兴、小庆不公平，理由见解析 【思路分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． 【正确解答】解：这种方式得电影票对小兴、小庆不公平，理由如下： 由题意知任意摸出一球共有9种等可能的结果，其中摸到一个球的球面数字为奇数有5种等可能的结果，摸到偶数有4种等可能的结果，所以P（小兴得到电影票），P（小明得到电影票）， ， （小兴得到电影票）（小明得到电影票） 这种方式不公平. 28．小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【思路分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可． 【正确解答】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平． （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去． 29．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为） 根据以上信息，回答下列问题： (1)①这次抽取的学生总人数是______________；②补全分布直方图． (2)学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 【答案】(1)①90；②见解析 (2) 【思路分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图以及利用频率估计概率等知识，熟练掌握统计和概率的相关知识是解题的关键； （1）①用A组的人数除以其占比即可求出总人数，②求出C组的人数，即可补全统计图； （2）先求出E组和F组的人数之和，再利用频率估计概率的思想即可求解. 【正确解答】（1）解：①这次抽取的学生总人数是人； 故答案为：90； ②C组的人数，补全统计图如下： （2）解：E组和F组的人数之和， 所以估计事件A的概率． 30．某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【思路分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【正确解答】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 压轴考点四三角形的认识及全等三角形 31．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2)7或8 【思路分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，正确求得m、n是解答的关键． （1）化简这个多项式，因为代数式的值与y无关，所以含y的项的系数等于0，列出方程组求出、的值； （2）根据、，分两种情况求出该等腰三角形的周长． 【正确解答】（1）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得：； （2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，2，此时周长； 当2是等腰三角形的腰时，三边为2，2，3，周长． ∴该等腰三角形的周长为7或8． 32．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【思路分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【正确解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 33．如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【思路分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答． （2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答． 【正确解答】（1）解：∵、分别是、两边上的高． ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是两边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 34．如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 【答案】且，理由见详解 【思路分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到对应角相等，根据垂直的定义得出互余的角，最后根据角即可得出结果． 【正确解答】解：且，理由如下： ， ， 设与交于点， ， ， ，， ， ， 即． 35．如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【思路分析】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键． （1）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出； （2）①由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出； ②由①得．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明． 【正确解答】（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）证明：①∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 36．某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【答案】可行，见解析 【思路分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，即，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【正确解答】解：可行．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴．即测得的长就是该段渭河的宽度． ∴这几名同学的测量方案可行． 37．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【正确解答】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 38．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．A,B,C,P四点都在格点上 (1)在下图中过点P做线段，且； (2)在下图中过点P做线段，且； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【思路分析】本题考查了网格作图，运用网格求三角形的面积，垂直的定义、平行的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征作线段，且，即可作答． （2）结合网格特征得，证明是全等三角形，得，通过角的等量代换得，作线段，且，即可作答． （3）运用割补法列式计算，即可作答． 【正确解答】（1）解：线段，如图所示： （2）解：线段如图所示： （3）解： ∴的面积为． 39．在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)全等，理由见详解 (2)，理由见详解 【思路分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据为的中线，得出，根据，得出，根据即可证明． （2）在 上截取 ，连接，如图，证明，得出，再证明，得出，结合，即可得． 【正确解答】（1）解：全等， 理由如下： ∵为的中线， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：． 理由：在 上截取 ，连接，如图， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 40．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【思路分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【正确解答】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 压轴考点五图形的对称轴 41．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 【答案】见解析 【思路分析】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【正确解答】解：如图，（答案不唯一） 42．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，的面积为___________ (2)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形； (3)在图2中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路分析】本题考查作图－轴对称变换，网格中的面积计算，无刻度直尺作图，轴对称－最短路径问题，掌握轴对称图形的性质，线段垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）利用割补法计算的面积； （2）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，顺次连接即可； （3）作点关于直线的对称点，连接交直线于，于是得到结论． 【正确解答】（1）解： （2）如图，即为所求； （3）如图所示，点即为所求． 43．与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作格点，且与成轴对称． (2)在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路分析】此题主要考查了作图--轴对称，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点． （1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可； （2）利用全等三角形的定义进行画图即可． 【正确解答】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示为所求： 44．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【思路分析】本题主要考查了格点作图、轴对称作图等知识点，掌握轴对称图形的定义成为解题的关键． 根据轴对称的性质可直接画出图①图②；在图③中，先取点A关于直线l的对称点C，连接BC交直线l于点O，连接AO并延长与网格线交于点D，连接CD即可． 【正确解答】解：分别如图①②③所示． 45．如图，，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点的位置，交于点，若，求的度数． 【答案】 【思路分析】本题主要考查折叠的性质和平行线的性质，由折叠得，再根据平行线的性质得即可求解． 【正确解答】解：∵， ∴， 由折叠得， ∵长方形纸片中，， ∴， ∴． 46．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质． （1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题; （2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明． 【正确解答】（1）证明：∵，， ∴点A和D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴． 47． 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 【答案】见解析 【思路分析】本题考查尺规作图：作角的平分线；角平分线的性质；理解角平分线的性质是解题的关键． 作的平分线，交直线于点P，即为所求． 【正确解答】解：如图，点P即为所求． 48．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 【答案】见解析 【思路分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 任务1：根据定义画出图形即可； 任务2：写出性质，利用全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定证明即可； 【正确解答】解：【任务1】如图，筝形即为所求．（答案不唯一，只要符合定义都得分） 【任务2】 1、角的性质：筝形有一组对角相等． 2、对角线的性质：筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线． 角的性质证明如下：连接， 在和中， ∵， ∴ ∴． 故筝形有一组对角相等得证． 对角线的性质证明如下：连接，交点为O 在和中， ∵， ∴ ∴，即是的角平分线． 又∵， ∴是的垂直平分线，即 49．如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 【答案】小明的思路有道理，见解析 【思路分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由操作可知，由等边对等角得，根据得，所以，即可得解． 【正确解答】解：小明的思路有道理，理由如下： 由操作可知， ， ， ， ， 平分． 50．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路分析】此题考查了格点作图，三线合一性质，三角形角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取中点E，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （2）连接，取中点F，连接，根据三线合一可得即为的角平分线； （3）取中点H，连接与交于点M，连接并延长交于点G，由三角形角平分线交于一点可得即为的角平分线； 【正确解答】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； 压轴考点六变量之间的关系 51．写出下列各个过程中的变量与常量： (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，； (2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为． 【答案】(1)N和t是变量，114是常量 (2)S和a是变量，2是常量 【思路分析】本题主要考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键． （1）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解； （2）根据在这一变化过程中，是保持不变的量；和是可以取不同数值的量分析判断即可得解． 【正确解答】（1）解：和是变量，是常量； （2）解：和是变量，是常量． 52．下面的图象记录了某地1月份某一天的温度情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)你能描述气温随时间的变化而变化的情况吗？ 【答案】(1)图象反映的是温度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，温度是因变量 (2)在时，气温不断上升；在时或时，气温不断下降 【思路分析】本题考查了变量，掌握相关定义是解题关键．在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量．若一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化，那么我们称前一个变量为因变量，后一个变量为自变量，据此即可作答． （1）根据变量的定义作答即可； （2）根据图象进行描述即可． 【正确解答】（1）解：图象反映的是温度和时间两个变量之间的关系，时间是自变量，温度是因变量； （2）解：在时，气温不断上升；在时或时，气温不断下降． 53．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫作潮，黄昏海水上涨叫作汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深． 上述问题中，字母T、h表示的是变量还是常量，简述你的理由． T（时） 0 3 6 9 12 h（米） 5 4 1 6 5 【答案】变量，见解析 【思路分析】此题主要考查了常量和变量的定义．根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，可得T，h是变量． 【正确解答】解：字母T，h表示的是变量．因为水深h随着时间T的变化而变化． 54．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 … 12 13 14 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)不挂物体时弹簧的长度是多少？挂质量为的物体时弹簧的长度是多少？ (3)弹簧的长度是时，所挂物体的质量是多少？ 【答案】(1)表中反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧长度 (2)根据表格中的数据可知：不挂物体时弹簧的长度是；挂质量为的物体时弹簧的长度是 (3)弹簧的长度是时，所挂物体的质量是 【思路分析】本题考查一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图表，然后根据图表信息找到所需要的数量关系，利用数量关系即可解决问题． （1）根据表中的数据特征即可确定表示了哪两个变量的关系； （2）直接根据表中的数据特征回答即可； （3）根据表中的数据可知质量每增加，弹簧伸长，即可得到与的关系式，把代入关系式求解即可． 【正确解答】（1）解：表中反映了弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧长度； （2）解：根据表格中的数据可知：不挂物体时弹簧的长度是；挂质量为的物体时弹簧的长度是； （3）解：根据表格中的数据可知：质量每增加，弹簧伸长，则与的关系式为， 把代入得：， 解得：； 答：弹簧的长度是时，所挂物体的质量是． 55．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过立方米时，按元立方米计费月用水量超过立方米时，其中立方米仍按元立方米计费，超过部分按元立方米计费，设每户家庭月用水量为立方米时，应缴水费元． (1)分别写出和时，与的函数表达式 (2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下： 月份 四 五 六 缴费金额 元 元 元 小明家第二季度共用水多少立方米 【答案】(1)；； (2)98立方米； 【思路分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确列出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意分别列出函数表达式即可； （2）分别求出每个月的用水量，再相加即可得到答案． 【正确解答】（1）解：当时，与的函数表达式是 当时， 与的函数表达式是 （2）解：当时，（元） 当时， 解得： 当时， 解得： 当时， 解得： (立方米) 答：小明家第二季度共用水立方米． 56．（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 【答案】（1）．其中变量是S，x，常量是30；（2）．当时，t的值为100 【思路分析】本题主要考查利用关系式表示变量之间的关系，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意矩形周长与面积的计算公式得到关系式； （2）根据路程时间速度写出关系式即可． 【正确解答】解：（1）长方形场地总长为， 另一边为， ．其中变量是S，x，常量是30； （2）由题意可得：， 当时，t的值为100． 57．为增强班级团队凝聚力和班级融合度，让同学们在紧张的学习中得到放松，更好的完成学习任务．达州市某中学组织七年级部分学生到某农场参加劳动教育研学活动，该农场活动场地费用（包括讲解费、物料工具等）收费标准为：200人以内（含200人），每人30元；超过200人，超过的部分每人10元． (1)写出活动场地费y（元）与学生人数x（人）之间的关系式（）； (2)利用（1）中的关系式计算：若该校本次参加劳动教育研学活动的学生有350人，则他们的活动场地费用是多少？ 【答案】(1) (2)他们的活动场地费用是元 【思路分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值： 1）根据集体门票的收费标准，即可列出函数关系式； （2）把代入（1）中关系式，求出y的值即可求解． 【正确解答】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， 答：他们的活动场地费用是元。 58．周末张华与李明相约，两人分别骑自行车与摩托车从家到寺口子游玩．如图，与分别表示它们与家距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则： (1)摩托车每小时走_____千米，自行车每小时走______千米； (2)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【答案】(1)40；10 (2)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米 【思路分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键． （1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可； （2）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可. 【正确解答】（1）解：根据图象可知，表示物体运动的速度小于表示物体运动的速度， ∴表示自行车运动的路程与时间关系，表示摩托车运动的路程和时间的关系， ∴摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． （2）解：设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：， 解得； ②相遇后：， 解得：； ③摩托车到达终点后，， 解得：； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米． 59．甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟； (2)甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米； (3)甲同学两次休息地相距________千米； (4)甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？ 【答案】(1)； (2)； (3) (4)甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时． 【思路分析】本题考查了变量与图象的关系，从图象获取信息是解题的关键． （1）（2）（3）观察图象即可得出结论； （4）根据速度等于路程除以时间，即可求得出甲在路段内的跑步速度 【正确解答】（1）解：甲同学第一次休息时距离图书馆千米，停留的时间为分钟； 故答案为：；； （2）解：甲同学离图书馆的最远距离是千米，他在120分钟内共跑了千米； 故答案为：；； （3）解：甲同学两次休息地相距千米； 故答案为：； （4）解：路段内的路程为千米， 所用的时间为小时， 所以甲同学在路段内的跑步速度是千米/每小时． 60．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 【答案】（1）t，h；（2）108，3；（3）所走的路径的长度是米 【思路分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确识别函数图象中的信息是解题的关键． （1）根据自变量和因变量求解； （2）根据图象求解； （3）根据用圆的周长除以分钟，得出每分钟走过的路径长，再乘以分钟即可求解． 【正确解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是t，因变量是h； 故答案为：t，h； （2）摩天轮最高点距地面108（米），摩天轮最低点距地面3（米）； 故答案为：108，3； （3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米， ∴摩天轮的直径是105米， ∴（米） 答：所走的路径的长度是米． 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新北师大版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末压轴题必刷练03 【解答60题 第1-6章】 目录 压轴考点一整式的乘除 2 压轴考点二相交线与平行线 6 压轴考点三概率初步（可能性及概率） 10 压轴考点四三角形的认识及全等三角形 15 压轴考点五图形的对称轴 20 压轴考点六变量之间的关系 25 压轴考点一整式的乘除 一、解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 3．计算：． 4．若，求的值． 5．（1）已知，求代数式的值． （2）若中不含x的一次项，求的值． 6．已知、均为常数，若的乘积既不含有二次项又不含有一次项，则的值是多少？ 7．求解下面问题： (1)若x满足，求的值； (2)已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是48，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积． 8．某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 9．某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)求该小区绿化的总面积S； (2)若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 10．定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 压轴考点二相交线与平行线 11．如图，直线，相交于点，在的内部． (1)图中的对顶角为______________，的补角为_________________； (2)若，且，求的大小． 12．如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 14．如图，平面上有三个点A、B、C，按照要求作答： (1)画直线； (2)利用尺规，过点A作直线（不写作法，但保留作图痕迹）． 15．如图，C是的平分线上的任意一点． (1)在射线上找一点D，使； (2)猜想与的位置关系，并证明你的猜想． 16．如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线． (2)过C点作线段的垂线，交于H． 17．（1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 18．如图，已知，于点H，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 19．如图，，于点，于点． (1)如图，若，则__________； 与是否相等？为什么？ (2)如图，平分交于点，证明． 20．已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 压轴考点三概率初步（可能性及概率） 21．掷一枚质地均匀的骰子，估计下列事件发生的概率，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列． （1）面朝上的点数大于0； （2）面朝上的点数是7； （3）面朝上的点数是3的倍数． 22．将下列事件按照发生的可能性由小到大进行排列． （1）有一个分数的分子比分母小； （2）一名10岁儿童每小时可以跑10km； （3）正数大于负数． 23．某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． 你认为前来寻开心的人转动转盘1 次，是获奖的可能性大还是付费的可能性大？为什么？ 24．某校组织篮球队，在一次定点3分投篮训练中，教练记录了一个队员的投篮训练情况，制成表格如下： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)______，______； (2)估计该队员投篮命中的概率．（结果精确到） 25．一个不透明的盒子中装有3个白球，2个黄球，1个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则______． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 26．在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球和1个白球，它们除颜色外都相同． (1)从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，不断重复这个过程，共摸球50次，其中摸到白球6次，则这50次摸球中，摸到白球的频率为____________； (2)现在袋中加入5个白球，并将袋子充分摇匀后，随机摸出一个球，求摸到白球的概率． 27．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小兴和小庆都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字1，2，3，3，4，4，5，6，7的9个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字为奇数，则小兴得到电影票；否则，小庆得到电影票．你认为用这种方式获得电影票对小兴、小庆公平吗？请说明理由． 28．小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 29．劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观，为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，我校学生会在寒假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取一些学生，对他们的每日平均家务劳动时长（单位：min）进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述．如图1、2是其中的部分信息：（其中A组为，B组为，C组为，D组为，E组为，F组为） 根据以上信息，回答下列问题： (1)①这次抽取的学生总人数是______________；②补全分布直方图． (2)学生会准备将每日平均家务劳动时长不少于50min的学生评为“家务小能手”，在校学生中随机抽取一名学生，记事件A：该学生为“家务小能手”．请估计事件A的概率． 30．某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 压轴考点四三角形的认识及全等三角形 31．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 32．如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 33．如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 34．如图，已知，，与交于点，试探究与有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由． 35．如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 36．某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 37．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 38．画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点．A,B,C,P四点都在格点上 (1)在下图中过点P做线段，且； (2)在下图中过点P做线段，且； (3)连接，求的面积． 39．在中，，点在的延长线上． (1)如图1，过点作，连接，与交于点，若为的中线，连接与全等吗？请说明理由； (2)如图2，点在的延长线上，，点在的延长线上，连接，若，，，试判断之间的关系，并说明理由． 40．通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 压轴考点五图形的对称轴 41．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 42．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，的面积为___________ (2)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形； (3)在图2中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 43．与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作格点，且与成轴对称． (2)在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称． 44．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．图①、图②中点A、B均为格点，图③中点A为格点、点B在网格线上且不是格点．只用无刻度的直尺，分别在图①、图②、图③中画出线段AB关于直线l的对称图形，保留作图痕迹． 45．如图，，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点的位置，交于点，若，求的度数． 46．如图，已知：，，点E在的延长线上． (1)求证：垂直平分； (2)求证： 47． 如图，在垂线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程） 48．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】：两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． 【任务1】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务2】探究筝形的性质：结合图1请对筝形的角、对角线分别写出一条性质，并选其中一条性质进行证明． 49．如图，已知，刘老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出，的平分线？小明的思路是先将刻度尺如图所示摆放确定点，利用刻度尺在射线上量得，再使边与边重合，使确定点，连接，则如图所示射线即为的平分线．请你说明小明的思路有没有道理？说明理由． 50．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为，三点均在格点上． (1)在图①中，作的角平分线； (2)在图②中，作的角平分线； (3)在图③中，是的角平分线，作的角平分线． 压轴考点六变量之间的关系 51．写出下列各个过程中的变量与常量： (1)我国第一颗人造地球卫星绕地球1周需内卫星绕地球的周数为N，； (2)长方形的长为2，它的面积S与宽a的关系式为． 52．下面的图象记录了某地1月份某一天的温度情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)你能描述气温随时间的变化而变化的情况吗？ 53．海水受日月的引力而产生潮汐现象．早晨海水上涨叫作潮，黄昏海水上涨叫作汐，合称潮汐．潮汐与人类的生活有着密切的联系．某港口某天从0时到12时的水深情况如下表，其中T表示时刻，h表示水深． 上述问题中，字母T、h表示的是变量还是常量，简述你的理由． T（时） 0 3 6 9 12 h（米） 5 4 1 6 5 54．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： 0 1 2 3 4 5 … 12 13 14 … (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)不挂物体时弹簧的长度是多少？挂质量为的物体时弹簧的长度是多少？ (3)弹簧的长度是时，所挂物体的质量是多少？ 55．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超过立方米时，按元立方米计费月用水量超过立方米时，其中立方米仍按元立方米计费，超过部分按元立方米计费，设每户家庭月用水量为立方米时，应缴水费元． (1)分别写出和时，与的函数表达式 (2)小明家第二季度缴纳水费的情况如下： 月份 四 五 六 缴费金额 元 元 元 小明家第二季度共用水多少立方米 56．（1）用总长为的篱笆围成长方形场地，求长方形的面积S（单位：）与一边长x（单位：）之间的关系式，并指出关系式中的变量和常量； （2）运动员在一圈的跑道上训练，求他跑一圈所用的时间t（单位：s）与跑步的平均速度（单位：）之间的关系式，及当时，t的值． 57．为增强班级团队凝聚力和班级融合度，让同学们在紧张的学习中得到放松，更好的完成学习任务．达州市某中学组织七年级部分学生到某农场参加劳动教育研学活动，该农场活动场地费用（包括讲解费、物料工具等）收费标准为：200人以内（含200人），每人30元；超过200人，超过的部分每人10元． (1)写出活动场地费y（元）与学生人数x（人）之间的关系式（）； (2)利用（1）中的关系式计算：若该校本次参加劳动教育研学活动的学生有350人，则他们的活动场地费用是多少？ 58．周末张华与李明相约，两人分别骑自行车与摩托车从家到寺口子游玩．如图，与分别表示它们与家距离s（千米）与时间t（小时）的关系，则： (1)摩托车每小时走_____千米，自行车每小时走______千米； (2)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 59．甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆．已知他离图书馆的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆________千米，停留的时间为________分钟； (2)甲同学离图书馆的最远距离是________千米，他在120分钟内共跑了________千米； (3)甲同学两次休息地相距________千米； (4)甲同学在路段内的跑步平均速度是每小时多少千米？ 60．【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对摩天轮进行实地调研．摩天轮位于儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．    【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度和所用的时间的数据，并绘制图像如图1． 【问题研究】请根据图1中信息回答： （1）在这个变化过程中，自变量是______，因变量是______； （2）摩天轮最高点距地面______（米），摩天轮最低点距地面______（米）； 【问题解决】 （3）如图2，摩天轮某个吊舱从点A旋转到点B需6分钟，那么请你求出这个吊舱从点顺时针旋转到点所走的路径的长度．（结果保留） 学科网（北京）股份有限公司 $$