24.1.3 弧 弦 圆心角 课件 2025—2026学年人教版九年级数学上册

24．1.3　弧、弦、圆心角 1．顶点在圆心 的角叫做圆心角． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也 相 等；两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么其余各组量也相 等． 圆心 相等 相等 相等 如图，在⊙O中，AB＝CD.求证：AD＝BC. 【思路分析】由弦相等可以推得弧相等，进而推得另外一组弦相等． 感悟新知 知1－讲 特别提醒 圆心角的条件： 1.顶点在圆心上； 2.两条边和圆相交. 其中“顶点在圆心上” 是圆心角的必备条件. 知1－练 感悟新知 如图，以⊙O的圆心O为顶点作等腰直角三角形OMN， ∠N=90 °，MN=ON，OM，ON分别与⊙O相交于A，B两点，将△OMN绕点O顺时针旋转60° 得到△OM′N′，OM′，ON′分别与⊙O 相交于C，D两点，则劣弧所对 的圆心角为______°. 例1 105 知1－练 感悟新知 思路导引： 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 · O B A 探究： 疑问：这三个量之间会有什么关系呢？ 7 www.czsx.com.cn 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ · O A B A1 B1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . ⌒ ⌒ 8 www.czsx.com.cn 如图，⊙O与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=600，请问上述结论还成立吗？为什么? · O1 · O A B A1 B1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 . ⌒ ⌒ 9 www.czsx.com.cn O α A B A1 B1 α 同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。 延伸： 10 www.czsx.com.cn 如图，AB、CD是⊙O的两条弦。 （1）如果AB=CD， 那么 ， 。 （2）如果 ，那么 ， 。 （3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， 。 巩固： · C A B D O AB=CD ( ( AB=CD ( ( · C A B D E F O ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD ( ( AB=CD 11 www.czsx.com.cn 1．如果两个圆心角相等，那么 （ ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　. D 60 ° 当堂练习 3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ） ⌒ ⌒ A A. AB=2CD ⌒ ⌒ B. AB>CD ⌒ ⌒ C. AB<CD ⌒ ⌒ D. 不能确定 6．(渑池期中)如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB＝BC，∠OAB＝72°，求∠AOC的度数． 解：∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB＝72°， ∴∠AOB＝180°－72°－72°＝36°， ∵AB＝BC，∴∠BOC＝∠AOB＝36°， ∴∠AOC＝2∠AOB＝72°. 7．(召陵区期中)如图，AB，CD是⊙O的直径，AE＝BD，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数为( ) A．32° B．60° C．68° D．64° D 证明： ∵AB=AC ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形　　 又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC 例1 如图1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,　　　　 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 例题： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ O B C A 16 www.czsx.com.cn 2、如图4，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。 O A B E D C 证明： ∵ BC=CD=DE ∴∠COB=∠COD=∠DOE=35° ∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE =750 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 17 www.czsx.com.cn 3、如图6，AD=BC，那么比较AB与CD的大小. O D C A B ⌒ ⌒ 18 www.czsx.com.cn 2.如图，A,B 是⊙O 上两点，∠AOB=120°,C 是AB 的中点. 求证：四边形 OACB 是菱形. 证明：连接 OC, ∵C 是AB 的中点，∠AOB=120°, ∴∠AOC=∠BOC=60°, ∴△AOC,△BOC 都是等边三角形， ∴OA=AC=CB=OB， ∴四边形 OACB 是菱形 如图，AB是⊙O 的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是 的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC＋PD的最小值是___________. 思路点拨：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P1,根据垂径定理得：E在⊙O上，练几天EC交AB于P1，则若P在P1时，DP+CP最小，最小长度为EC. 选做题： E P1 弦、弧、 圆心角的关系定理 应用 圆心角的定义 弧、弦、 圆心角 ①顶点在圆心的角 ②两条边和圆相交 在同圆或等圆中： 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧也相等. ①要注意前提条件； ②一条弦对应两条弧； ③要灵活转化. 课堂小结 $$