有关圆的综合题高频考点冲刺练-2025年中考数学复习备考

有关圆的综合题 1．如图，是的外接圆，垂足为，交于点，点在的延长线上，连接，，． (1)求证：与相切； (2)若，，，求的长． 2．如图，是的内接三角形，，点P在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 3．如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)，求图中阴影部分面积． 5．如图，是的外接圆，是的直径，． (1)求证：是的切线； (2)过点D作，垂足为E，交于点F． ①求证：； ②若，，求的长． 6．如图，在中，，，，点是斜边上一个动点，以为直径作，交于点，与的另一个交点为，连接，，． (1)当点为的中点时，求的长度； (2)点在上移动时，探究：当为何值时，是等腰三角形？ 7．如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)求证：为的切线． (3)若，求的长． 8．如图所示，在中，，平分，交于点O．以O为圆心，为半径作，分别交，于点E，F． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点D，连接，，若，，求的值． 9．如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 10．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．如图，内接于是的直径，是的切线交的延长线于点于点是上的动点（不与点，重合），连接并延长到点，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，求四边形面积的最大值． 12．如图1，已知点为外一点，、为的切线，切点分别为点、点，连接，点在优弧上运动，连接与交于另一点，与弦于点． (1)判断，对的打“√”，错的打“×” ①（    ） ②（    ） ③（    ） (2)如图2，若点为优弧的中点，且，求的值． (3)如图1，设，，求关于的函数解析式． 参考答案 1．(1)见解析 (2) （1）连接交于点，根据等边对等角结合三角形外角的性质得到，由已知可推出，根据三角形内角和定理可得，即可得出结论； （2）连接，，由三角形内角和定理易证，进而推出，得到，由勾股定理求出，再根据圆周角定理得到，即可求解． （1）证明：如图1，连接交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； （2）解：如图2，连接，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ，， ， ，， ， ， ． 本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，综合运用以上知识点是解题的关键． 2．(1)是的切线 (2)1 （1）先利用圆周角定理证得，再根据平行线的性质，求得，然后利用切线的判定得出结论； （2）先证明，再根据相似三角形的性质，列出比例式，设，接着用表示出，然后利用勾股定理求得，代入比例式中，求得，再利用线段的和求得，得到关于的方程，求出，最后求出． （1）证明：如图，连接． ， ． ， ． ∵是半径， 是的切线． （2）设与相交于点D． ， ． ∵， ． ， ， ． ， ． 设，则． ∴在中，． ． ． ． ， ， ． ． 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长． 3．(1)详见解析 (2) （1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等． （2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长． （1）证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：延长交于，则， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题． 4．(1)证明见详解 (2) （1）根据题意得到，，，则，即，结合切线的判定即可求解； （2）根据切线的性质得到是等边三角形，设，则，运用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合阴影部分的面积为即可求解． （1）证明：如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是圆的半径，点在圆上， ∴是的切线； （2）解：∵是切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是是中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 本题主要考查垂径定理的判定和性质，切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 5．(1)见解析 (2)①见解析，②24 此题考查了切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质， （1）连接，由半径相等得到，由此推出，即可推出是的切线； （2）①过点D作于点M，则，证明，推出，根据推出，证得是等腰三角形，由三线合一得到，即可证得结论； ②由，得到，求出，由此得到． （1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）①证明：如图，过点D作于点M，则， ， ， ， （对顶角相等）， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ； ②解：， ， ， ， ， ． 6．(1) (2)或或是等腰三角形． 本题考查了解直角三角形、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，从而可得，求出的长，即可得解； （2）分三种情况：①当时．②当时，③当时，分别求解即可得解． （1）解：∵中，，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴． ∴． ∵点P为的中点，为直径， ∴， ∴． ∴． （2）解：①当时． 由（1）知，，则， ∵是直径， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ②当时，，连接， ∵是直径， ∴， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ③当时，如图所示，连接，过点E作于点F． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或或时，是等腰三角形． 7．(1) (2)见解析 (3) （1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后得到，即可证明； （2）连接，根据角平分线的概念和等边对等角得到，得到，即可证明出为的切线； （3）首先根据题意证明出，得到，然后代数表示出，然后在中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可． （1）∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，连接 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点P是上的点 ∴为的切线； （3）∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴ ∴． 此题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线以及掌握以上知识点． 8．(1)见解析 (2) （1）作于点，根据角平分线和垂直即可得，结合是的半径，点在上，且即可证明切线； （2）根据直径所对的圆周角为直角得，即可证明，则有，即可得到． （1）证明：作于点，如图， ∴， 平分， ， 是的半径， 点在上， 是的半径，且于点， 是的切线． （2）解：是的直径， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， 则的值为． 本题主要考查圆和三角形的综合，涉及角平分线的性质、证明切线、直径所对的圆周角为直角、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质． 9．(1)见解析 (2) (3) 本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． （1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径， ∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 10．(1)见解析 (2) 本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． （1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． （1）证明：连接，如图， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：连接 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．(1) (2)见解析 (3) （1）根据圆内接四边形的性质可得，即可； （2）连接，根据切线的性质可得，再由是等边三角形，可得，可证得是等腰三角形，即可； （3）根据直角三角形的性质可得，，从而得到．过点作于点．在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大，此时，，从而得到，进而得到，即可求解． （1）解：四边形是内接四边形， ∴， ∵， ． （2）证明：如图，连接． 是的切线， ∴， ． 又在中，， 是等边三角形， ∴． ， ， ， ∴， 是等腰三角形． ， 平分． （3）解：由（2）得在中，，， ． 是直径， 是直角三角形，且． ∴， ∴， ． 如图，过点作于点． 在中，为动点，为底边，当垂直平分时，的值最大， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12．(1)①√；②√；③√ (2) (3) （1）连接并延长交于点，连接，由切线长定理即可判断①，由圆的切线的性质结合圆周角定理证明，即可判断②，证明，即可判断③； （2）连接，是的垂直平分线，且经过圆心，则，那么，设，，则，则，由勾股定理得，则，解得∵，再由，代入化简计算即可； （3）先证明，则，由（1）得，则，可得，证明，则，同理可证明：，，然后对这几个式子进行适当的变形处理求解即可． （1）解：连接并延长交于点，连接， ∵点为外一点，、为的切线，切点分别为点、点， ∴，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴①②③均正确， 故：①√；②√；③√； （2）解：如图，连接， ∵是为优弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，且经过圆心， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同除以得，， 解得：或（舍）， ∵ ∴ ∴， ； （3）解：如图： 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴由得：， ∵，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$