专题11 平行四边形的性质与判定期末复习(八大题型+过关检测)-2024-2025学年八年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版）

专题11平行线的性质与判定期末复习 （八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 利用平行四边形的性质求解 1 题型二 利用平行四边形的性质证明 2 题型三 判断能否构成平行四边形 2 题型四 添一个条件成为平行四边形 3 题型五 数图形中平行四边形的个数 4 题型六 证明四边形是平行四边形 4 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 5 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 6 过关检测 7 题型一 利用平行四边形的性质求解 例1：如图，在中，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式训练一 1．在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　） A．11 B．11.5 C．12 D．12.5 2．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型二 利用平行四边形的性质证明 例2：如图，在中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式训练二 1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，是平行四边形的边的中点，延长交的延长线于点．求证：． 题型三 判断能否构成平行四边形 例3： 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C． ， D． ， 变式训练三 1．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 2．下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 故选：D 题型四 添一个条件成为平行四边形 例4：如图，已知，那么添加一个条件 后，可判定四边形是平行四边形． 变式训练四 1．如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，动点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，当点F运动到点C时，两个点均停止运动．当运动时间 时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 题型五 数图形中平行四边形的个数 例5：如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 变式训练五 1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 题型六 证明四边形是平行四边形 例6：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，，垂足为点F，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 变式训练六 1．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 2．如图，是的角平分线，点分别在边上，且,．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的度数． 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 例7：如图，的对角线，相交于点，，若，，则四边形的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 变式训练七 1．如图，F是平行四边形的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，连接，若阴影部分的面积为18，，则平行四边形的面积为 ． 2．如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为 ，的长为 ． 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 例8：如图，等边的边长为a，D为上的一个动点，延长至点E，使，连接交于点P． (1)求证：； (2)若D为的中点，求的长． 变式训练八 1．如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且．求证：四边形为平行四边形． 2．已知：如图，的对角线，相交于点O，E，F是直线上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 一、单选题 1．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 2．如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 3．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行四边形的中心可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在中，，，，分别平分和．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： ． 8．如图，在四边形中，若，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形是平行四边形． 9．如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形 个． 10．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 11．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 三、解答题 12．如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 13．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 14．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 15．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点且与、分别交于点、．求证：． 16．【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11平行线的性质与判定期末复习 （八大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 利用平行四边形的性质求解 1 题型二 利用平行四边形的性质证明 4 题型三 判断能否构成平行四边形 5 题型四 添一个条件成为平行四边形 7 题型五 数图形中平行四边形的个数 9 题型六 证明四边形是平行四边形 11 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 14 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 17 过关检测 20 题型一 利用平行四边形的性质求解 例1：如图，在中，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数，继而求得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：D ． 变式训练一 1．在中，过对角线的交点O，，则四边形的周长是（　　） A．11 B．11.5 C．12 D．12.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．结合平行四边形的性质证明，，即可证明，由全等三角形的性质可得，，然后计算四边形的周长即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的周长． 故选：C． 2．如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系． 连接、两点，过点作于点，根据平行四边形的面积与三角形的面积公式推出，由三角形的面积公式推出，，进一步推出，，根据、阴影部分的面积得出答案即可． 【详解】解：连接、两点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的边上的高与的边上的高相等，的边上的高与的边上的高相等， ∴，， ∴，即， ，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 题型二 利用平行四边形的性质证明 例2：如图，在中，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立， 故选：A． 变式训练二 1．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角线互相平分是解决问题的关键．由平行四边形的性质容易得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ， 故选：D． 2．如图，是平行四边形的边的中点，延长交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质及判定，牢记全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形对边平行的性质，可求得，进而可证得，得到，根据平行四边形的性质即可证明． 【详解】∵是的中点， ∴． ∵在中，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴ 题型三 判断能否构成平行四边形 例3： 下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C． ， D． ， 【答案】C 【详解】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【分析】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； C．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D．∵，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意； 故选：C． 变式训练三 1．观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边的判定，熟知判定平行四边形的条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定条件逐一判定即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形； ③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形； 根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③， 故选：A． 2．下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D 题型四 添一个条件成为平行四边形 例4：如图，已知，那么添加一个条件 后，可判定四边形是平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的判定定理．解题关键在于熟悉各种平行四边形的判定方法，并结合已知条件，从判定定理中选择合适的方式来添加条件，使四边形满足平行四边形的判定要求．本题已知，要使四边形成为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理添加合适条件．平行四边形有多种判定方法，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等，我们要结合已知条件来选择合适的判定方式添加条件． 【详解】解：已知，又添加了，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”， ∵这里和这组对边既相等（ ）又平行（ ）， ∴四边形是平行四边形， 已知，再添加，此时四边形的两组对边分别相等，依据平行四边形的判定定理“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：或 变式训练四 1．如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定．当添加时，可证得，进而推出，，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】解：当添加时，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 而添加，，均无法证明四边形是平行四边形． 故选：D 2．如图，在四边形中，，，，动点E从点A出发沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发沿射线以的速度运动，当点F运动到点C时，两个点均停止运动．当运动时间 时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】考查了平行四边形的判定，根据题意得：，，则，当时，四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 故答案为：3． 题型五 数图形中平行四边形的个数 例5：如图，的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 个． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，， 为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故答案为：5． 变式训练五 1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 题型六 证明四边形是平行四边形 例6：如图，分别以的直角边及斜边向外作等边、等边．已知，，垂足为点F，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是关键． （1）由三线合一得到，等量代换得到，然后证明出，即可得到； （2）由等边三角形得到，，然后求出，证明出，，即可得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 变式训练六 1．如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点是上的两点且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．如图，是的角平分线，点分别在边上，且,．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义以及平行线的性质可得，再根据等腰三角形的判定以及平行四边形的判定可得结论； （2）由角平分线的定义以及三角形内角和定理可得，然后根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：是的角平分线，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型七 利用平行四边形的判定与性质求解 例7：如图，的对角线，相交于点，，若，，则四边形的周长为（    ） A．10 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：D． 变式训练七 1．如图，F是平行四边形的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，连接，若阴影部分的面积为18，，则平行四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，证明，得出，，求出，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵Q是中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：40． 2．如图，已知四边形和四边形都是平行四边形，，连接并延长交于，若，，，，连接，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和勾股定理，过点D作，交的延长线于点H，连接，先根据平行四边形的性质得出，在中求出和，再用勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质求出且，然后用勾股定理求即可． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点H，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1；． 题型八 利用平行四边形性质和判定证明 例8：如图，等边的边长为a，D为上的一个动点，延长至点E，使，连接交于点P． (1)求证：； (2)若D为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是关键． （1）过点D作，交于点F．根据平行线的性质及等边三角形的性质证明，证明即可得到结论； （2）由（1）知，则．过点D作交于点G，证明四边形是平行四边形，，则，证明，得到，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：过点D作，交于点F． ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵D为的中点， ∴， 过点D作交于点G， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴． 变式训练八 1．如图，在平行四边形中，点、分别在、延长线上，且．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩了平行四边形的判定与性质．根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ，， 四边形为平行四边形． 2．已知：如图，的对角线，相交于点O，E，F是直线上的两点，并且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，则可由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 一、单选题 1．为了保证东兴市站至防城港北站的高铁铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间互相平行的枕木长相等就可以了，其中的数学原理为（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定方法．根据平行四边形的判定定理可得答案． 【详解】解：这其中的数学道理是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故选：A． 2．如图1，平行四边形中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；方案甲，连接，由平行四边形的性质得，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确；方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确． 【详解】解：方案甲，连接，如图所示： ∵四边形是平行四边形，O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故方案乙正确； 故选：C． 3．如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 4．如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不正确，D正确； 与不一定相等，故B不正确； ，故C不正确； 故选D． 5．如图，平行四边形的中心可能是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的中心，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．连接，，看与的交点，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵与交于点Q， ∴平行四边形的中心可能是点Q， 故选：B． 6．如图，在中，，，，分别平分和．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作交与点，设与交于点，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由平行线的性质可求，由平行线的性质和角平分线的性质可证，由勾股定理可求的长，由“”可证 ，可得，通过证明四边形是平行四边形，可得． 【详解】解：过点作交与点，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：． 二、填空题 7．请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： ． 【答案】对角线互相平分（答案不唯一） 【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可． 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形， ∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等； 故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 8．如图，在四边形中，若，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：添加条件，可得四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 9．如图，每一幅图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形；第2幅图中有3个平行四边形；第3幅图中有5个平行四边形，…，按此规律排列下去，第6幅图中有平行四边形 个． 【答案】11 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据每一个图案比前一个多2个平行四边形可得，第n幅图中共有个平行四边形，由此可计算此题的结果． 【详解】解：第1幅图中有1个； 第2幅图中有 (个) 第3幅图中有 (个)； …… 可以发现，每个图形都比前一个图形多2个平行四边形， 所以第n幅图有个平行四边形， 所以第6幅图中有平行四边形有个平行四边形． 故答案为：11． 10．如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，中，，，点从点出发以秒速度向点运动，点从点出发以秒的速度向点A运动，连接，作线段的垂直平分线，交边和于、两点，设点的运动时间为（单位：秒，），当时，点的运动时间值是 秒． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形性质、全等三角形判定及等边三角形判定与性质，解题关键是分类讨论与的位置关系，利用全等三角形建立含t的方程。 当时，可证，从而，解得；当不平行时，证明，可得是等边三角形，四边形是平行四边形，即有，解得． 【详解】解：当时，如图： 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 由得：， ； 当不平行时，如图： ， 四边形是等腰梯形， ，， 是的垂直平分线， ，， ， ，， 在中，， ， 是等边三角形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， 综上所述，为或． 三、解答题 12．如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 连接，与交于点O，根据平行四边形的性质可得，，从而得，进而即可得到结论． 【详解】证明：连接，与交于点O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ， 即， ∴四边形是平行四边形． 13．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意的即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 14．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形． (1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：　 　（填一个序号即可） (2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)①或②或④（填一个即可）； (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定解答即可； （2）添加①BE＝DF时，证明△ABE≌△CDF（SAS），求出AE＝CF，∠AEF＝∠CFE，可得AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加②AFCE时，证明△ADF≌△CBE（AAS），可得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④∠BAE＝∠DCF时，证明△ABE≌△CDF（ASA），求出AE＝CF，AECF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论． 【详解】（1）解：添加①，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加④，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论； 添加③不能得出四边形AECF为平行四边形． 故答案为：①或②或④（填一个即可）； （2）证明：如图， 添加①BE＝DF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加②AFCE时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴∠ADF＝∠CBE， ∵AFCE， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AF＝CE， ∵AFCE， ∴四边形AECF是平行四边形； 添加④∠BAE＝∠DCF时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，ABCD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠BAE＝∠DCF， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴∠AEF＝∠CFE， ∴AECF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形． 15．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点且与、分别交于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及三角形的全等证明，根据平行四边形的性质，证明，即可得到．掌握平行四边形的性质得到全等三角形是解题的关键． 【详解】证明：四边形为平行四边形， ，， ， 在和中 ， ． 16．【问题提出】 （1）如图①，为等腰直角三角形，，D为上一点，将绕点A逆时针旋转，D的对应点为，则_______． 【问题探究】 （2）如图②，为等边三角形，D，E为边上的点，已知，，求的边长． 【问题解决】 （3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地，用来种植花卉，如图③，其中，D为边上一点，E为边上一点，是规划过程中修建的两条小路，要求，，，且．现计划在四边形区域内种植三色堇，在区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）90；（2）；（3）15930元 【分析】（1）根据等腰直角三角形以及旋转的性质解答，即可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，，先证明，可得，再证明，可得，然后根据垂直平分，可得，由勾股定理可得，从而得到的长度，即可； （3）把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P，可得点N，M，A，D四点共线，再证明，可得，分别在和中，利用勾股定理可得，，可得，可求出四边形的面积，取的中点Q，连接，则，证明四边形，均是平行四边形，可得四边形是平行四边形，可求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； 故答案为：90 （2）如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，交于点G，则，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的边长为； （3）如图，把绕点B逆时针旋转得到，连接，过点B作于点P， 由旋转的性质得：， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点N，M，A，D四点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 取的中点Q，连接，则， ∵， ∴， ∴四边形，均是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵种植三色堇的费用为30元/，种植石竹的费用为40元/， ∴这块生物基地种植花卉的总费用为元． 【点睛】本题主要查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，利用类比思想解答是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$