专题15图形的旋转（8大类型精准练+过关检测）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

专题15图形的旋转（8大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.旋转 1. 旋转及旋转的三要素： 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 确定旋转中心、旋转角、对应线段以及对应角的方法 (1)确定旋转中心：在旋转过程中不动的点 (2)确定旋转角：各组对应点与旋转中心所连线段的夹角； (3)确定对应线段以及对应角：找出旋转前后能重合的点（对应，点），即可找到对应线段和对应角 【课前热身】 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据平移和旋转的定义对各小题分析判断后求解． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带上的物品的移动，是平移现象； ③钟摆的运动，是旋转现象； ④荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④共2个． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期末）图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴绕着它的中心旋转，旋转角至少，旋转后的风车能与自身重合， 故答案为： ． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合． (1)写出它的旋转中心； (2)旋转角至少是多少度？ (3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由点旋转后的对应点是其本身，从而可得旋转中心； （2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以，的夹角为旋转角，从而可得答案，掌握旋转角的定义是解本题的关键； （3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得，从而可得答案；熟记旋转的性质是解本题的关键． 【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点． （2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是； （3）∵正方形， ∴， 由旋转可得：， ∴． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 知识点2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 方法归纳： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【课前热身】 5．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，，将绕点旋转得到，且点落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是旋转性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握旋转性质．由旋转性质得，，结合等边对等角、三角形内角和定理的应用求出和后，根据即可得解． 【详解】解：由旋转性质可得，，， ， ， ， ． 故选：． 6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转性质得到，然后由求解即可． 【详解】解：由旋转性质得， ∴， 故答案为：3． 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键． 由旋转的性质得到，，进而推出，根据三角形内角和定理证得，即可求得的度数． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵，且， ∴． 8．（19-20九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 知识点3.旋转作图（重点） 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 方法归纳：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 【课前热身】 9．（2022九年级上·全国·专题练习）作图：如图，边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转．画出旋转后的． 【答案】见解析 【分析】按照旋转的性质画图即可． 【详解】解：如图所示． 【点睛】本题考查了旋转作图，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 10．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画旋转图形，连接并延长到使得，同理作出，再顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，， 【分析】本题主要考查了旋转的作图，先画出点A、B、C绕点顺时针旋转后的对应点，再依次连接即可，根据图形即可写出点的坐标． 【详解】解：如图，即为所求，. 题型一、生活中的旋转现象 1．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解． 【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转； 故选：B． 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【详解】解：根据题意，其中一条“鱼”经过1次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， ∴经过①③的变换即可， 故选：A ． 3．（2025·江苏泰州·二模）在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（   ） A．一次轴对称和一次平移 B．两次轴对称 C．一次旋转 D．一次轴对称 【答案】D 【分析】本题考查图形的轴对称，平移和旋转的性质，根据题意结合轴对称，平移和旋转的性质即可求解． 【详解】解：A. 先以为对称轴作一次轴对称，再沿方向一次平移，可以得到，故该选项不符合题意     B. 分别以大正方形的对角线为对称轴作两次轴对称，可以得到，故该选项不符合题意 C. 绕点作旋转，作一次旋转，可以得到，故该选项不符合题意     D. 一次轴对称不能得到，故该选项符合题意； 故选：D． 题型二、旋转的三要素 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的旋转，牢记图形旋转的性质（对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点，等于旋转角． 【详解】解：∵点的对应点为点，点的对应点为点，且对应点到旋转中心的距离相等， ∴旋转中心为线段和线段的垂直平分线的交点． 如图，作线段和线段的垂直平分线，其交点为旋转中心．    连接，． 根据旋转的性质，得 ． 故选：C． 5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 7．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：    (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 【答案】(1)     (2) (3) 【分析】（1）根据旋转中心的定义、旋转的性质即可求得答案． （2）根据旋转前后的图形全等，即可直接求得答案． （3）根据旋转前后的图形全等，即可求得答案． 【详解】（1）观察图形可知，旋转中心为． ∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为： ，； （2）∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为：． （3）∵旋转前后的图形全等，即， ∴，，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，即旋转前后的图形全等，牢记旋转的性质是解题的关键． 题型三、旋转的性质 8．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转变换，熟练掌握旋转性质，是解决此题的关键，根据旋转变换的性质得出,根据，求出，进而计算即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∵， ， 故选：A． 9．（2025·天津和平·三模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和，根据旋转得到，，，，再逐个判断即可． 【详解】解：∵将以点为中心顺时针旋转得到， ∴， ∴，，，， 当时， 才成立，故选项A不一定正确； 现有条件无法证明，，故选项B，C不一定正确； 如图，与交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选项D一定正确； 故选：D． 10．（2025·福建福州·三模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键；连接；由旋转的性质得是等边三角形，则；在，利用含30度角直角三角形的性质及勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； 在，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 题型四、旋转的有关计算与证明 11．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：∵绕点旋转到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． (1)求的度数； (2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定， （1）根据旋转的性质及三角形内角和定理可得答案； （2）根据旋转的性质可知，再结合已知条件说明，然后根据等角对等边得出答案． 【详解】（1）解：根据旋转可得， ∴． （2）解：． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ，， ， 即， ． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由旋转的性质可求得，的长和的大小，由勾股定理可求得的长，进而可求得的长，再次利用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由旋转的性质可知： ，，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知 是 绕点 顺时针方向旋转后所得的图形，点 恰好在 上，． (1)求 的度数； (2)求证：平分 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转后对应边相等，旋转角相等，是解题的关键． （1）根据，求出的度数，利用旋转的性质，得到，再利用，求出的度数， （2）利用旋转的性质得到，利用等边对等角求出，利用旋转的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ，， ， ， （2）∵， ∴， 又∵， ． 分 题型五、旋转与坐标 15．（2025·海南·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，先根据平移方式确定的坐标，再根据旋转方式确定的位置，结合坐标系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，和所在位置如下： ∴， 故选：C． 16．（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点的坐标是， 故答案为：． 17．（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，确定的位置，连线画出； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如上图，即为所求． 题型六、旋转与基本作图 18．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是绕着点P旋转得到的，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请用尺规作图找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心到对应点的距离相等，得到旋转中心在对应点所连线段的中垂线上，连接，尺规作两条线段的中垂线，交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求； 19．（2025·安徽合肥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． (3)仅用无刻度直尺作高． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质画出点A、B、C的对应点分别为、、，即可画出； （2）根据旋转的性质绕点逆时针旋转得到； （3）在图中找到格点E，连接，有图可知，则为等腰三角形，然后画出的中点H，根据等腰三角形的三线合一的性质，连接即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图所示，即为所作； （3）解：如图所示，线段即为所作； ． 20．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出； (2)将向上平移1个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到，请画出； (3)连接，仅用无刻度直尺标出线段的中点．（保留画图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了旋转的作图、平移的作图等知识，熟练掌握作图方法和网格的特点是解题的关键． （1）找出以点为中心将旋转，得到B、C的对应点，顺次连接即可； （2）将向上平移1个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到的对应点，顺次连接即可； （3）利用网格的特点找到到点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： （3）解：如图，点即为所求．（作图方法不唯一）： 题型七、旋转与变化规律问题 21．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 22．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 23．（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据图形的翻转，分别得出、、的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标，进一步得出答案即可． 【详解】解：由题意可知、的横坐标是1，的横坐标是2.5，、的横坐标是4，的横坐标是 依此类推下去，、的横坐标是2017，的横坐标是2018.5，的横坐标是2020， 的坐标是， 故答案为． 【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的性质及坐标与图形性质，根据题意得出、、的横坐标，得出规律是解答此题的关键． 题型八、旋转与几何综合问题 24．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)平行，理由见详解 【分析】（1）通过旋转的性质得，和，证明四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求出． （2）过点作交于点，由旋转的性质和平行线的性质可得，易证，因为，所以四边形为平行四边形，故可得出． 【详解】（1）解：根据旋转性质可得当时，， ∴四边形为矩形， ∵旋转的性质可得， ∴四边形为正方形， ∴． ∴的长为． （2）与的位置关系是平行． 理由：如图，过点作交于点，    则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴与的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质的判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【答案】(1)，见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：与的位置关系为． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴, ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． （3）解：①经过点B时，题（2）已求； ②经过点A时，如图所示， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； ③再次经过点B时，如下图： 同理可证：，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 26．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 27．（22-23九年级下·甘肃武威·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）如图1，    ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，    ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，．    ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会． 一、单选题 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：， 则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，以为旋转中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，，由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵将顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由旋转得，；再证明，得；再计算出，即可求得的长． 【详解】解：由旋转得，； ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形性质及勾股定理． 4．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长．熟悉以上性质是解题关键． 【详解】解：由旋转性质可知，，， 则为等腰直角三角形， ． 故选：B． 5．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，，点在边上，与关于所在的直线对称，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质、轴对称的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的性质可得的边上的高等于4，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵与关于所在的直线对称， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴的边上的高等于， ∴， ∴， 故选：D． 6．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是边的中点，连接，，分别交，于点，，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．下列结论：；；若三角形的面积为，则正方形的面积为；．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转变换，四点共圆等知识，解题的关键是掌握正方形性质并能灵活运用． 连接，由将绕点逆时针旋转交的延长线于点，可得，即知四点共圆， 有，故，，判断正确；设 ，可得，，判断正确；根据三角形的面积为，得，从而正方形的面积为，判断错误；又， 由对称性可得，又即可得，判断正确． 【详解】解：连接，如图： ∵将绕点逆时针旋转交的延长线于点，四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴，故正确； 设，可得，， ∴， ∴，故正确； ∵三角形的面积为， ∴， ∴，即， ∴， ∴正方形的面积为，故错误； ∵， 由对称性可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即，故正确； ∴正确的有：，共个， 故选：． 二、填空题 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可． 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上， ， ， ， 的长是：． 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明，根据全等三角形的性质和点A的坐标可得，则． 【详解】解：如图所示，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∵点的坐标是， ∴， 由旋转的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将抛物线绕顶点旋转后，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的旋转与平移；先求出旋转后的函数式，此时函数图像的开口向上，顶点不变；再求出平移后的函数式即可． 【详解】解：抛物线绕顶点旋转后，解析式为，再向上平移3个单位长度后为； 故答案为：． 10．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，三角形中，，，，，，若，，则线段的长度为 ． 【答案】4 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，根据等腰三角形的性质和旋转的性质可得，从而可得，证明，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到． ∴ ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为4． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 11．（24-25九年级上·湖北·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则 °，的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判断与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作交的延长线于点E，由旋转的性质可得是等腰直角三角形，则；再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于点E， ∵将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D， ∴，，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴．． 故答案为∶ 45，． 12．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、两点之间线段最短，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 连接，首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出，然后再依据两点之间线段最短可得到，即可得的最大值为． 【详解】解：如图连接． 在中， ∵，， ∴， 根据旋转不变性可知，，， ∵P是的中点， ∴， ∵M是的中点， ∴ 又∵，即， ∴的最大值为6（此时P、C、M共线）． 故答案为：6． 13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； 点与的距离为；； 四边形的面积为；其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据正三角形性质，得；根据旋转的性质，得，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明，即可判断①；根据勾股定理逆定理，得，结合等边三角形，可判断 ③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性质，可计算得，从而判断④． 【详解】解：如图，连接； 为等边三角形， ，； 由题意得：，， 为等边三角形，， ，选项错误； 在与中， ， ， ， 可以由绕点逆时针方向旋转得到，选项正确； 在中，， 为直角三角形， ，，选项正确； ，选项正确． 综上所述，正确选项为， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 14．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由旋转的性质得，，证明，进而可证，从而，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：3． 三、解答题 15．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，且． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、等边三角形，解题的关键是利用旋转的性质进行求解； （1）由旋转的性质得：，，易证是等边三角形，推出，结合，即可求解； （2）取的交点为，通过证明，得出． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）证明：根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， 取的交点为， ， ， ． 16．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）证明即可． （2）连接，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴； ∴； ∵， ∴ ∴． （2）连接， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴； ∴是等边三角形， ∴； ∵，，， ∴，； ∴； ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【问题背景】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，，将正方形绕点顺时针旋转，连接，． 【问题解决】 (1)如图，求证：； (2)如图，在旋转过程中，当，，三点共线时，试求的长； (3)在旋转过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）根据正方形的性质可得，，，然后证明，由全等三角形的性质即可求证； （）连接交于点，由四边形是正方形，，则，，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解； （）过点作，交的延长线于点，由，则，所以，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形和均为正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接交于点， ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴，， ∵，，三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：存在，，如图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中由勾股定理得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的特殊直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15图形的旋转（8大类型精准练+过关检测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1.旋转 1. 旋转及旋转的三要素： 在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．这个定点叫做旋转中心（如点O），转动的角度叫做旋转角(如∠AO A′)． 确定旋转中心、旋转角、对应线段以及对应角的方法 (1)确定旋转中心：在旋转过程中不动的点 (2)确定旋转角：各组对应点与旋转中心所连线段的夹角； (3)确定对应线段以及对应角：找出旋转前后能重合的点（对应，点），即可找到对应线段和对应角 【课前热身】 1．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带上的物品的移动；③钟摆的运动；④荡秋千运动．属于旋转的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·广西南宁·期末）图中的风车图案，绕着它的中心旋转，旋转角至少为 度，旋转后的风车能与自身重合． 3．（23-24九年级上·河北唐山·期中）如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合． (1)写出它的旋转中心； (2)旋转角至少是多少度？ (3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 (1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____； (2)当旋转角为时，求的度数． 知识点2.旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 (2)对应线段的长度相等（ＡＢ＝ＡB′）； (3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（∠ＡＯA′）； 方法归纳： １、图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转． ２、旋转前后图形的大小和形状没有改变． 【课前热身】 5．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，，将绕点旋转得到，且点落在上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为 ． 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，交于点，若，求的度数． 8．（九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 知识点3.旋转作图（重点） 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 方法归纳：　 作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　(4)连接所得到的各对应点． 【课前热身】 9．（2022九年级上·全国·专题练习）作图：如图，边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转．画出旋转后的． 10．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），以边的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出． 11．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上．画出绕点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 题型一、生活中的旋转现象 1．（2025·广东东莞·三模）2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①1次旋转；②2次平移；③2次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 3．（2025·江苏泰州·二模）在一次数学活动课上，老师在如图所示的正方形网格中，以格点、为圆心绘制两段全等的、，并提问：通过哪种图形变换得到．以下是同学们给出的操作方式，其中无法实现这一变换的是（   ） A．一次轴对称和一次平移 B．两次轴对称 C．一次旋转 D．一次轴对称 题型二、旋转的三要素 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与点A对应，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 7．（22-23七年级下·湖南株洲·期末）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中： (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 题型三、旋转的性质 8．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到位置，则等于（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津和平·三模）如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·福建福州·三模）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为 ． 题型四、旋转的有关计算与证明 11．（24-25九年级上·青海海东·期末）如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：． 12．（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，绕点按逆时针方向旋转90°得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，连接，交于点． (1)求的度数； (2)是延长线上一点，当时，判断和的数量关系，并证明． 13．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，连接．求的长． 14．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知 是 绕点 顺时针方向旋转后所得的图形，点 恰好在 上，． (1)求 的度数； (2)求证：平分 题型五、旋转与坐标 15．（2025·海南·模拟预测）如图，的顶点坐标分别为．先将向右平移4个单位，得到，再将绕点顺时针旋转，得到，则的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山东淄博·一模）如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是 ． 17．（2025·安徽滁州·三模）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为． (1)将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，请画出； (2)以点 O 为旋转中心将逆时针旋转，得到，请画出． 题型六、旋转与基本作图 18．（23-24九年级上·广西河池·期中）如图，是绕着点P旋转得到的，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请用尺规作图找出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（2025·安徽合肥·三模）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)将（1）中的绕点逆时针旋转得到，画出． (3)仅用无刻度直尺作高． 20．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出； (2)将向上平移1个单位长度，再向右平移7个单位长度，得到，请画出； (3)连接，仅用无刻度直尺标出线段的中点．（保留画图痕迹） 题型七、旋转与变化规律问题 21．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 22．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 23．（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向作无滑动的连续反转，点依次落在点，，的位置，则点的坐标为 ． 题型八、旋转与几何综合问题 24．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结， (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由．    25．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 26．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 27．（22-23九年级下·甘肃武威·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    一、单选题 1．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则旋转角度不可能为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，以为旋转中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过作于，若，则长为（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（  ） A．1 B． C． D． 5．（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，，点在边上，与关于所在的直线对称，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为（   ） A． B．4 C． D．8 6．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是边的中点，连接，，分别交，于点，，将绕点逆时针旋转交的延长线于点．下列结论：；；若三角形的面积为，则正方形的面积为；．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 7．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上，已知，则的长是 ． 8．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将抛物线绕顶点旋转后，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为 ． 10．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图，三角形中，，，，，，若，，则线段的长度为 ． 11．（24-25九年级上·湖北·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转．得到，连接，并延长交于点D，则 °，的长为 ． 12．（23-24九年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ． 13．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段．下列结论： 可以由绕点逆时针旋转得到； 点与的距离为；； 四边形的面积为；其中正确的结论是 ． 14．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，D是等边内一点，将绕点B顺时针旋转得到，连接，，且． (1)求的度数； (2)若，求证：． 16．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在四边形中，，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 17．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）【问题背景】如图，正方形和正方形，，，三点共线，，，将正方形绕点顺时针旋转，连接，． 【问题解决】 (1)如图，求证：； (2)如图，在旋转过程中，当，，三点共线时，试求的长； (3)在旋转过程中，是否存在某时刻，使得，若存在，请直接写出的长，若不存在，请说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$