第05讲 全称量词与存在量词（知识清单+3易错+6必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019必修一）

第05讲 全称量词与存在量词 题型梳理 易错分析 易错点一 不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错 易错点二 对含有量词的命题否定时只改变量词或只否定结论而致错 易错点三 忽视否定的范围而致错 题型方法 题型一 全称量词命题、存在量词命题的理解 题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假 题型三 根据命题的真假求参数的取值范围 题型四 全称量词命题的否定 题型五 存在量词命题的否定 题型六 命题否定的应用 知识清单 知识点01全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点02存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 知识点03全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 知识点04存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 易错分析 【易错点一】不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错 【例1】（23-24高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【变式2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【变式3】（23-24高一·江苏）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【易错点二】对含有量词的命题否定时只改变量词或只否定结论而致错 【例2】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知命题，，则命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）设命题，则命题的否定为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）命题“，”的否定为 . 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）写出命题“存在实数x、y、z，使或.”的否定： . 【易错点三】忽视否定的范围而致错 【例3】（24-25高一上·福建福州·期中）命题p:，则它的否定为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知命题，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）命题“”的否定为 . 【变式3】（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）命题“，”的否定是 . 题型方法 【题型一】全称量词命题、存在量词命题的理解 【例1】（20-21高一上·浙江·阶段练习）下列命题与“”的表述方法不同的是（    ） A．有一个，使得 B．有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 解题技巧 　(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题． (3)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (4)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【变式2】（22-23高一上·四川南充·阶段练习）以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【变式3】（多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题的是（   ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 【题型二】全称量词命题、存在量词命题的真假 【例2】（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【变式2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2021高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称命题还是存在量词命题，并判断其真假． （1）∃x0，x0－2≤0． （2）三角形两边之和大于第三边． （3）有些整数是偶数． 【题型三】根据命题的真假求参数的取值范围 【例3】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围 【举一反三】【变式1】（25-26高一上·全国）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【题型四】全称量词命题的否定 【例4】（24-25高一上·山西大同·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 解题技巧 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·海南）设命题，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25高一上·全国）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【题型五】存在量词命题的否定 【例5】（24-25高二下·天津西青·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 解题技巧 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）设命题，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）命题“，”的否定是 ． 【变式3】（22-23高一下·青海玉树·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)使 【题型六】命题否定的应用 【例6】（24-25高一上·湖北·阶段练习）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期末）若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）命题“矩形都有外接圆”是（   ） A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 2．（24-25高一上·北京顺义·期末）命题，都有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）若命题“，”是真命题，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 5．（23-24高一上·海南·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 7．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是： . 8．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）对任意实数，，，下列命题中真命题的序号是 . ①是的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要而不充分条件； ④，. 9．（23-24高一上·山东·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数．其中，存在量词命题的个数为 ． 10．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 11．（24-25高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数 . 12．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 三、解答题 13．（23-24高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 14．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 15．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 16．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全称量词与存在量词 题型梳理 易错分析 易错点一 不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错 易错点二 对含有量词的命题否定时只改变量词或只否定结论而致错 易错点三 忽视否定的范围而致错 题型方法 题型一 全称量词命题、存在量词命题的理解 题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假 题型三 根据命题的真假求参数的取值范围 题型四 全称量词命题的否定 题型五 存在量词命题的否定 题型六 命题否定的应用 知识清单 知识点01全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 知识点02存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 知识点03全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 知识点04存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 易错分析 【易错点一】不能正确理解全称量词与存在量词的概念而致错 【例1】（23-24高一上·河北秦皇岛·阶段练习）下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【答案】C 【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案． 【详解】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题． 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【答案】(1)全称量词命题，理由见解析 (2)存在量词命题，理由见解析 (3)全称量词命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （2）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （3）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断． 【详解】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． （2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题． （3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． 【变式3】（23-24高一·江苏）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 【易错点二】对含有量词的命题否定时只改变量词或只否定结论而致错 【例2】（24-25高一下·云南昆明·期中）已知命题，，则命题为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由特称命题的否定定义可得答案. 【详解】由题可得，，的否定是，. 故选：A 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）设命题，则命题的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题，为全称量词命题， 则其否定为：. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）命题“，”的否定为 . 【答案】， 【分析】根据全称命题的否定求解即可. 【详解】根据全称命题的否定， 命题“，”的否定为：，. 故答案为：，. 【变式3】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）写出命题“存在实数x、y、z，使或.”的否定： . 【答案】对任意的实数，有. 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“存在实数，使或”的否定为： 对任意的实数，有. 故答案为：对任意的实数，有. 【易错点三】忽视否定的范围而致错 【例3】（24-25高一上·福建福州·期中）命题p:，则它的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，既要注意量词的变化，还要注意命题中结论的变化． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定． 故. 故选：A. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知命题，，则命题p的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】特称量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】∵，， ∴命题p的否定为，. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）命题“”的否定为 . 【答案】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题，则原命题的否定为. 故答案为： 【变式3】（20-21高一上·江苏宿迁·阶段练习）命题“，”的否定是 . 【答案】， 【分析】根据全称命题的否定求解. 【详解】根据全称命题的否定可知： 命题“，”的否定是命题“，” 故答案为：， 题型方法 【题型一】全称量词命题、存在量词命题的理解 【例1】（20-21高一上·浙江·阶段练习）下列命题与“”的表述方法不同的是（    ） A．有一个，使得 B．有些，使得 C．任选一个，使得 D．至少有一个，使得 【答案】C 【分析】根据全称命题和存在命题的概念，即可做出判定，得到答案. 【详解】由题意，根据存在性命题的概念，可得命题“”为存在命题， 所以A、B、D与命题“” 的表述方法相同， 但命题“任选一个，使得”为全称命题，所以与题设中命题表述不同. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了全称命题与存在性命题的概念及其判定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的概念是解答的关键，属于基础题. 解题技巧 　(1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的，任意一个，一切，每一个，任给”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立即可判断命题是假命题． (1)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个，至少有一个，有些，有一个，对某些，有的”等表示部分的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中有一个元素使结论成立即可判断命题是真命题，间接法就是对集合中所有的元素使结论不成立可判断命题是假命题． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题与“，”的表述意义一致的是（    ） A．有且只有一个实数，使得成立 B．有些实数，使得成立 C．不存在实数，使得成立 D．有无数个实数，使得成立 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的描述方法即可得解. 【详解】与“，”表述一致的是“不存在实数，使得成立”. 故选：C. 【变式2】（22-23高一上·四川南充·阶段练习）以下命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】B 【分析】分别对每个命题是否为存在量词命题及真假进行判断即可. 【详解】对于A，“锐角三角形”省略了全称量词“（所有的）锐角三角形”是全称量词命题，且该命题为假命题，故选项A错误； 对于B，含存在量词“至少有一个”，为存在量词命题，且当时，成立，该命题为真命题，所以选项B正确； 对于C，“两个无理数的和”省略了全称量词“（任意）两个无理数的和”，是全称量词命题，且无理数与的和为，是有理数，该命题为假命题，所以选项C错误； 对于D，含存在量词“存在一个”，当时，，故不成立，该命题为假命题，所以选项D错误. 故选：B. 【变式3】（多选）（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）下列命题中，是全称量词命题的是（   ） A．至少有一个x，使成立 B．对任意的x，都有成立 C．对任意的x，都有不成立 D．存在x，使成立 【答案】BC 【分析】根据全称量词和存在量词命题的定义判断即可. 【详解】A选项中有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题，故A错误； BC选项中有全称量词“任意的”，是全称量词命题，故BC正确； D选项中有存在量词“存在”，是存在量词命题，故D错误. 故选：BC. 【题型二】全称量词命题、存在量词命题的真假 【例2】（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）关于命题“，”，下列判断正确的是（    ） A．该命题是全称量词命题，且是真命题 B．该命题是存在量词命题，且是真命题 C．该命题是全称量词命题，且是假命题 D．该命题是存在量词命题，且是假命题 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断. 【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 故选:B. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·安徽·阶段练习）下列命题中为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全称量词命题真假判断方法推理判断AC；利用存在量词命题真假判断方法推理判断BD. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，为偶数，而3不是偶数，即等式不成立，B错误； 对于C，取满足，而不成立，C错误； 对于D，取，则，D正确. 故选：D 【变式3】（2021高一·全国·专题练习）判断下列命题是全称命题还是存在量词命题，并判断其真假． （1）∃x0，x0－2≤0． （2）三角形两边之和大于第三边． （3）有些整数是偶数． 【答案】答案见解析 【分析】根据命题含全称量词还是存在量词判断，再进一步判断出命题的真假. 【详解】（1）存在量词命题．存在x0＝1时，x0－2＝－1≤0，故存在量词命题“x0，x0－2≤0”是真命题． （2）全称命题．所有三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题． （3）存在量词命题.存在2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题． 【题型三】根据命题的真假求参数的取值范围 【例3】（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 解题技巧 含量词命题的真假求参数取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围 【举一反三】【变式1】（25-26高一上·全国）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 【变式2】（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得，利用单调性可求在的最小值. 【详解】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【详解】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 【题型四】全称量词命题的否定 【例4】（24-25高一上·山西大同·期末）命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知： 命题“，”的否定是，. 故选：C 解题技巧 全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·海南）设命题，，则命题的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称量词命题的否定形式是改量词，否定结论， 所以命题，，则命题的否定为，. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由全称量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 该命题的否定为“，”. 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·全国）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【答案】(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行 (2)，方程没有实数根 (3)，，使方程的解不唯一或不存在 (4)存在被5整除的整数，末位不是0 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定. 【详解】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在一个平行四边形，它的对边不都平行. （2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，方程没有实数根. （3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，，使方程的解不唯一或不存在。 （4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在被5整除的整数，末位不是0. 【题型五】存在量词命题的否定 【例5】（24-25高二下·天津西青·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由特称命题的否定的定义易得. 【详解】由特称命题的否定易得，命题“，”的否定是，. 故选：D 解题技巧 存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）设命题，，则的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可. 【详解】因为命题，为存在量词命题， 所以其否定是：，. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）命题“，”的否定是 ． 【答案】， 【分析】根据存在量词命题否定的形式即可写出答案. 【详解】易知命题“，”的否定是“，”. 故答案为：， 【变式3】（22-23高一下·青海玉树·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)使 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）写出命题的否定，可根据正方形与菱形的关系判断真假. （2）写出命题的否定，举例说明即可. 【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，根据正方形是特殊的菱形可知其是假命题． （2）命题的否定：，有． 因为当时， ，所以“，有”是假命题． 【题型六】命题否定的应用 【例6】（24-25高一上·湖北·阶段练习）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到； 【详解】由题意，命题“”的否定为， 故选：C. 解题技巧 　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，然后求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 因为当时， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期末）若“存在，使得”是假命题，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得“任意，使得”是真命题，结合一次函数性质即可求解. 【详解】若“存在，使得”是假命题， 则“任意，使得”是真命题， 根据一次函数在上单调递减，所以，即. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）命题“矩形都有外接圆”是（   ） A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的定义判断即可. 【详解】命题“矩形都有外接圆”即所有的矩形都有外接圆，为全称量词命题，且为真命题. 故选：A 2．（24-25高一上·北京顺义·期末）命题，都有，则命题的否定为（    ） A．，使得 B．，都有 C．，使得 D．，都有 【答案】C 【分析】由全称命题的否定，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖北·阶段练习）若命题“，”是真命题，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题为真命题得出即可求解． 【详解】因为，， 则当时，， 故选：B． 4．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题、，使得；命题，，则下列关于，真假叙述正确的是（    ） A．，均为真 B．，均为假 C．真，假 D．假，真 【答案】B 【分析】由，则为偶数可判断；时可判断. 【详解】若，则为偶数，则， 所以不存在，使，故为假命题， 若，则，所以，使，故为假命题， 所以，均为假命题. 故选：B. 5．（23-24高一上·海南·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用特称命题的否定为全称命题求解. 【详解】原命题为特称命题它的否定为全称命题，. 故选：A 6．（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 二、填空题 7．（23-24高一上·贵州黔东南·阶段练习）下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是： . 【答案】①③ 【分析】由全称量词命题的定义判断. 【详解】①任意一个自然数都是正整数， “任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题； ②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题； ③三角形的内角和是180°，指的是所有三角形，命题是全称量词命题. 故答案为：①③. 8．（23-24高一上·山西运城·阶段练习）对任意实数，，，下列命题中真命题的序号是 . ①是的充要条件； ②“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③“”是“”的必要而不充分条件； ④，. 【答案】②③④ 【分析】①②③利用充分条件和必要条件的定义判断；④举例判断. 【详解】①当时，，当，即时，解得或，故是的充分不必要条件； ②由一个无理数与一个有理数的和与差为无理数知：“是无理数”是“是无理数”的充要条件； ③当，即时，解得或 ，所以“”是“”的必要而不充分条件； ④当时，，故正确； 故答案为：②③④ 9．（23-24高一上·山东·阶段练习）现有下列4个命题：①菱形的四条边相等；②；③存在一个质数为偶数；④正数的平方是正数．其中，存在量词命题的个数为 ． 【答案】2 【分析】根据全称量词和存在量词即可求解. 【详解】（1）和（4）是全称量词命题，（2）和（3）是存在量词命题. 故答案为：2. 10．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知命题成立，若为真命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】参变分离，求最值即可. 【详解】因为为真命题， 所以，其中， 所以， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·期中）对任意，等式成立，则实数 . 【答案】 【分析】利用全称命题的真假性，结合等式成立的性质列式即可得解. 【详解】因为对任意，等式成立， 所以， 则，解得. 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 三、解答题 13．（23-24高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【详解】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 14．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知命题，，． (1)若命题为真命题，求的取值范围； (2)若命题为假命题和命题为真命题．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）首先求出命题为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，则，， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即的取值范围； （2）若命题，为真命题，则， 解得或； 若命题为假命题，则； 因为命题为假命题且命题为真命题，所以， 即的取值范围为. 15．（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 16．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）已知命题. (1)若命题p为真命题，求m的取值范围； (2)若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. （2）若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$