24.2.2 直线和圆的位置关系 课件 2025—2026学年人教版九年级数学上册

学习目标 了解直线和圆的位置关系. 理解直线和圆的三种位置关系圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系. 2 1 已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？ 复习回顾 知识回顾 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 2.切线长定理 再次回顾 再次回顾 例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，半径OE ⊥AB 于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A F 1.半径 2.垂线段 证明：过O 作OF ⊥AC,连接OA. ∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径， ∴AC 是⊙O 的切线． 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴ OF 是⊙O 半径，且OF⊥AC 运用新知 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 要点归纳 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 3. AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交⊙O 于点 E，过点 E 作⊙O 的切线交 AC 于点 D，试判断△AED 的形状，并说明理由. 解：连接 OE， ∵∠EOB＝2∠EAO，AE 平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAO＝∠EOB，∴AC//OE， ∵EM 为⊙O 切线，∴OE⊥EM， ∴∠ADE＝∠OEB＝90°， ∴△AED 为直角三角形. 1. 定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2. 数量法（d＝r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 3. 判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 方法引导： 当已知直线与圆有公共点，要证明直线与圆相切时， 可先连结圆心与公共点， 再证明连线垂直于直线 ，这是证明切线的一种方法. 证明直线与圆相切有如下三种途径： 思考： 反过来，如果 L 是⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 L 是不是一定垂直呢？ 答：一定垂直. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 新知讲解 O A L 　折叠发现：（1）图中的线段 PA = PB P O A B （2）∠APO=∠BPO 已知： 线段PA,PB切⊙O于点A，B，连接OP 求证：（1）PA=PB（2）∠APO=∠BPO P O A B 在Rt△ PAO和 Rt△ PBO中 ∴△PAO ≌ △PBO（HL） ∴PA=PB ∴∠APO=∠BPO 证明：连接OA，OB ∵PA，PB为⊙O的切线 ∴PA⊥OA，PB⊥OB ∠PAO=∠PBO=90° OA=OB OP=OP 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. P O A B ① ② 几何语言： ∵PA，PB切⊙O于点A，B. ∴PA=PB 且∠APO=∠BPO 8.如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC，点B的坐标为(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心D的坐标为 . 解析：若与OA,AB,BC三条边相切，D的坐 标为（3,1）；若与OA,BC,CO三条边相切, D的坐标为（1,1）；若与OA,AB,CO三条边 相切,D的坐标为（2,2）；若与AB,BC,CO三 条边相切,D的坐标为（2,0）. 拓展延伸 (1，1)，(3，1)(2，2)和(2，0) 课堂小结 直线与圆的位置关系 相离 相切 相交 大致图象 数量关系（d、r） 交点个数 0 1 2 d﹤r d＝r d > r $$