第21章 一元二次方程过关测试卷-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

第21章 一元二次方程过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解配方得（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 5．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 8．若是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 9．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 10．定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．方程的两根为，，则的值为 ． 12．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有个队参赛，根据题意可列出方程为 ． 13．一元二次方程的两根为、，则 ． 14．如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（8分）解方程： (1)； (2)． 16．（8分）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)当k取最大整数时，求方程的实数根． 17．（8分）马戏团计划打造一个茶艺区，如图，若使用24米长的幕布，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米）围成茶艺区矩形，且中间用一道幕布隔为表演区和观赏区，在无表演时，方便用幕布进行围挡． (1)如果要围成面积为36平方米的茶艺区，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的茶艺区？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 18．（8分）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 19．（8分）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； (2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 20．（8分）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 21．（10分）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程过关测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断即可． 【详解】解：A. 是一元二次方程，故此选项符合题意； B. ，不是整式方程，故此选项不符合题意； C. ，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D. ，是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选A． 2．用配方法解配方得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 3．一元二次方程（二次项系数为正）的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的基础知识是解题的关键； 先将原方程变形为一般形式，进而得到答案. 【详解】解：原方程即为， 所以方程的一次项系数是； 故选：C. 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 5．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答． 【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为， 根据题意，得；， 故选：B． 6．如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得 ， 故选：A． 7．关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8．若是一元二次方程的解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的求值方法，熟练掌握一元二次方程的解的定义和整体的数学思想是解题的关键，由是一元二次方程的解可得关于的方程，结合所求、变形方程即得答案． 【详解】解： 是一元二次方程的解， ， ， ， 故选：A． 9．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 10．定义新运算：例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．根据新定义可得原方程为，再利用一元二次方程根的判别式解答，即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴原方程为， ∵该方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：D 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．若一元二次方程的两个解为，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， 故答案为：3． 12．学校组织篮球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场．赛程计划安排4天，每天安排9场比赛，问共有多少个队参赛？设共有个队参赛，根据题意可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（其他问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 由题意可知，每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此即可列出方程． 【详解】解：设共有个队参赛， 参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队 队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 共进行比赛场， ， 故答案为：． 13．一元二次方程的两根为、，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的根于系数的关系，掌握根于系数的关系：“、是一元二次方程的两个根，则有．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，，， ， 故答案：． 14．如图，用长的篱笆靠墙(墙足够长)围成一个面积是 的长方形鸡场，鸡场有一个的门，设与墙垂直的边长为，所列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出墙的对面的一条边的长是解答关键． 设与墙垂直的边长为，根据篱笆总长为，表示墙的对面的一条边的长，再利用长面积公式求解． 【详解】解：设与墙垂直的边长为， 则墙的对面的一条边的长为， 所以列出方程为． 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得，． （2）解：， ， 或， ，． 16．（8分）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)当k取最大整数时，求方程的实数根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据题意得出，进行计算即可得到答案； （2）根据（1）中的的范围得出可取的最大整数值为，再运用因式分解法来解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知， ∴可取的最大整数值为， ∴此时原方程为， 解得，． 17．（8分）马戏团计划打造一个茶艺区，如图，若使用24米长的幕布，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米）围成茶艺区矩形，且中间用一道幕布隔为表演区和观赏区，在无表演时，方便用幕布进行围挡． (1)如果要围成面积为36平方米的茶艺区，那么的长为多少米？ (2)能否围成面积为90平方米的茶艺区？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为6米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设的长为米，根据题意列出方程，解出的值，再结合墙的最大可用长度为12米，即可得出答案； （2）设的长为米，根据题意列出方程，整理得到，利用一元二次方程根的判别式得到，可知方程没有实数根，即可得出结论． 【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米， 由题意得，， 解得：，， 当时，米，不符合题意，舍去； 当时，米，符合题意； 答：的长为6米． （2）解：不能，理由如下： 设的长为米，则的长为米， 由题意得，， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能围成面积为90平方米的茶艺区． 18．（8分）阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 19．（8分）为了满足人们对于精神文明的需求，某市决定逐步在各社区建设微型图书阅览室．2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率； (2)2024年每个社区建设微型图书阅览室的平均费用为100万元．2025年为提高微型图书阅览室品质，每个社区建设费用增加25%，如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2025年最多可以给多少个社区建设微型图书阅览室？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为2022年投入资金2000万元，2024年投入资金2880万元，故，再解出的值，即可作答． （2）先理解题意，得，且结合为正整数，即可作答． 【详解】（1）解：设该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为， 依题意，得， 解得（舍去）， ∴该市2022年至2024年建设微型图书阅览室投入资金的增长率为； （2）解：设该市在2025年可以给个社区建设微型图书阅览室， 依题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴该市在2025年最多可以给个社区建设微型图书阅览室． 20．（8分）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆．某水果商从农户手中购进A、B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果进货价为25元/件，销售价为40元/件，B种糖心苹果进货价为18元/件，销售价为30元/件．（注：利润＝销售价﹣进货价） (1)水果店用3300元购进A、B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数； (2)水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元？ 【答案】(1)购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 (2)种苹果售价为每件24元时，每天销售利润为96元 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程 的应用，根据题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件，列方程组得，解方程组即可得到答案； （2）设B种苹果每件降价元，得到，求出或， 根据题意舍去，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种糖心苹果件，B种糖心苹果件， 根据题意得：   ，                        解得， 答：商店购进A种糖心苹果60件，B种糖心苹果100件 （2）解：设B种苹果每件降价元， ，            解得：或 ∵尽快减少库存，舍去， （元） 答：销售价定为每件元时，才能使B种糖心苹果每天销售利润为96元． 21．（10分）我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$