专题21.3 一元二次方程的实际应用（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题21.3 一元二次方程的实际应用（六大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】......................................................................... 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】................................................................... 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】................................................................... 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】..................................................................... 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 .................................................................... 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】.................................................................. 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（2025·云南红河·三模）中国人口普查自1990年开始每十年一次，据了解，第五次全国人口普查总人口约为亿，第七次全国人口普查总人口约为亿．若每次人口普查人口的平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔三月份到五月份的销量，该品牌头盔三月份销售500个，五月份销售720个，三月份到五月份销售量的月增长率相同．设月增长率为，则可列方程为 ． 3．（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为 ． 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． (1)求该文化衫每次降价的百分率； (2)若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】 1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（       ） A． B． C． D． 3．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 5．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出多少个小分支？ 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 5．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 6．（22-23八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）春节过后，某店铺销售黄油年糕特别火爆，经市场调查发现，销售单价定为17元/盒时，日销售量为100盒．销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒．已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元． (1)当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是多少？（用含的代数式表示） (2)求黄油年糕每盒的成本价； (3)端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价（元/盒）定为多少时，日销售利润为1050元？ 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件． (1)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； (2)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）根根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量________（用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量________（用含b的代数式表示）． 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值（元/吨）与周次之间近似的符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值： 周次 … 甲产品出厂价上调值（元/吨） … (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调元，日销量即减少吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为元/吨，相应的日销量为吨．甲产品的日销售额能否达到元？如果能，求出当日甲产品的出厂价；如果不能，请说明理由． 6．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）某宾馆有若干间标准房，平时以200元/间定价时（定价不得超过680元/间），平均每日可入住50间．在去年国庆期间为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查表明，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为13500元？ 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 1．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 3．（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 4．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 2.（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 5． （22-23九年级上·山西吕梁·期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 7．（八年级下·河南·期末）如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．    (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 一元二次方程的实际应用（六大题型） 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】......................................................................... 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】................................................................... 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】................................................................... 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】..................................................................... 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 .................................................................... 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】.................................................................. 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（2025·云南红河·三模）中国人口普查自1990年开始每十年一次，据了解，第五次全国人口普查总人口约为亿，第七次全国人口普查总人口约为亿．若每次人口普查人口的平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，弄清题意、找准等量关系是解题的关键． 根据题意可知第五次人口总数约是亿，第七次全国人口普查总人口约为亿，再根据两次的增长率为x，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x， 根据题意得：， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔三月份到五月份的销量，该品牌头盔三月份销售500个，五月份销售720个，三月份到五月份销售量的月增长率相同．设月增长率为，则可列方程为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设月增长率为，根据品牌头盔三月份销售500个，五月份销售720个，列出方程即可． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．再结合“第二季度就突破到纯利润为23万元”列出一元二次方程即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x． 根据题意，列出方程为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系列出方程． 设平均每次降价的百分率为，根据两次降价后的价格列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不合题意值已舍去） 所以，平均每次降价的百分率为． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． (1)求该文化衫每次降价的百分率； (2)若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 【答案】(1)该文化衫每次降价的百分率为； (2)至少要售出件，总利润才能不低于元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该文化衫每次降价的百分率为，根据题意得到，解得，（舍去），即可得到答案； （2）设至少要售出件，总利润才能不低于元，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该文化衫每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该文化衫每次降价的百分率为； （2）解：设至少要售出件，总利润才能不低于元， 根据题意得， 解得， 答：至少要售出件，总利润才能不低于元． 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】 1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先是有个主干，设长出枝干有枝，每个枝干又长出枝干枝，则第二次长出的数量是，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，主干是，设长出的枝干有枝， ∴，即，解方程得，，（舍去）， ∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解枝干长出的数量关系是解题的关键． 3．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，列出方程进行求解即可； （2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人； （2）人， ， ∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800． 5．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出多少个小分支？ 【答案】每个枝干长出8个小分支． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程．由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】试题解析：解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）； 答：每个枝干长出8个小分支． 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手28次，有多少人参加聚会？（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有人参加聚会，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设有人参加聚会，根据题意， 得， 解得：（舍去） ∴有8人参加聚会 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送张照片．设全班有名同学，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，题意得每个人要送出张照片，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：每个人要送出张照片， ∵全班有名同学， ∴可列方程为， 故选：A． 3．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 设有个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设有个队参赛， 根据题意，可列方程为：， 解得：或（舍去）， 答：参赛的球队数为6． 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：，即 故答案为：． 5．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 6．（22-23八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价． 【答案】(1)； (2)该商品销售单价为每件40元． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，代入，，然后解方程组即可； （2）根据“销售利润单个利润销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解； 【详解】（1）解：设，代入，， 则， ，， ； （2）解：根据题意，得， ，， ， ． 答：该商品销售单价为每件40元． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）春节过后，某店铺销售黄油年糕特别火爆，经市场调查发现，销售单价定为17元/盒时，日销售量为100盒．销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒．已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元． (1)当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是多少？（用含的代数式表示） (2)求黄油年糕每盒的成本价； (3)端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价（元/盒）定为多少时，日销售利润为1050元？ 【答案】(1)盒 (2)黄油年糕每盒的成本价为8元 (3)销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： （1）根据销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒，列出代数式即可； （2）设成本为元，根据当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元，列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是盒； （2）设成本为元，由题意，得：， 解得：； 答：黄油年糕每盒的成本价为8元； （3）由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽可能让利顾客，扩大销售， ∴， 此时售价为：元； 答：销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件． (1)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； (2)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 【答案】(1)第二天、第三天日销售利润的平均增长率为； (2)售价应定为65元或63元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设第二天、第三天日销售利润的平均增长率，根据第三天的销售利润为2500元，列出一元二次方程求解即可； （2）设应降价元，根据售价每降低1元，日销售量增加10件，日销售利润为1950元列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率， 则， 解得：， （舍去）， 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为25%； （2）解：设应降价元， 则， 解得：，， 答：售价应定为65元或63元． 4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）根根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元． 市场调查 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件． 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多售出1件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量________（用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量________（用含b的代数式表示）． 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等． 【答案】任务1：，；任务2：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出2件，乙店一天可多售出1件，即可得出结论； 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利额相等列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为件， 任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得： ， 整理得， 解得：，（舍去） 答：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等． 5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值（元/吨）与周次之间近似的符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值： 周次 … 甲产品出厂价上调值（元/吨） … (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调元，日销量即减少吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为元/吨，相应的日销量为吨．甲产品的日销售额能否达到元？如果能，求出当日甲产品的出厂价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（）由表格可知，每增加周次，甲产品出厂价上调值较前周增加元，据此即可列出函数关系式； （）由题意可得， 再根据方程解的情况即可判断求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，每增加周次，甲产品出厂价上调值较前周增加元， ∴， 即； （2）解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴该方程无解， ∴甲产品的日销售额不能达到元． 6．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）某宾馆有若干间标准房，平时以200元/间定价时（定价不得超过680元/间），平均每日可入住50间．在去年国庆期间为了增加营业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查表明，每间房定价每提高20元，每日入住房间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每日的营业额可为13500元？ 【答案】国庆期间宾馆标准房的价格定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解总营业额与房间入住数和房价之间的关系是解题的关键．设国庆期间宾馆标准房的价格定为元，根据总营业额房间入住数房价列方程解答即可． 【详解】解：设国庆期间宾馆标准房的价格定为元． 解得： ，（舍去） 答：国庆期间宾馆标准房的价格定为元． 【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 1．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 故答案为： 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 3．（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 4．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为28米，长方形场地面积是250平方米． (1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； (2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】(1)这个增长率为 (2)场地的宽为10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这个增长率为，根据该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建后面积是250平方米，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是250平方米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； （2）解：设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，的长为：（米）米，不合题意，舍去： 当时，的长为：（米）米，符合题意： 米， 答：场地的宽为10米． 【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】 1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示） (2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用． （1）根据路程速度时间，即可求解； （2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为． ∴，， 则； 故答案为：． （2）解：∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 解得． 答：当时，的面积等于四边形的面积的． 2.（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握后利润与原利润和增长次数的关系，是解题的关键． 10月份的月利润300万元，11月份和12月份利润的平均增长率为，11月份和12月份的利润合计为800万元，列方程即可． 【详解】解：∵11月份和12月份利润的平均增长率为，10月份的利润300万元， ∴11月份的利润万元， ∴12月份的利润万元， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期中）秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，佩戴口罩是遏制支原体肺炎病毒传播的一种有效途径．若有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据经过两轮传染后共有81人患了支原体肺炎，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 5．（22-23九年级上·山西吕梁·期末）某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 【答案】11支 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设有支球队参加比赛． 由题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， ∴有11支球队参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 6．（24-25九年级上·四川成都·期末）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台月份的水果销售量是，月份的水果销售量是． (1)若该平台月份到月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某店铺的水果进价为元，若售价为元，每天能销售，售价每降价元，每天可多售出．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为元时，每天可获得最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设月平均增长率是，利用月份的水果销售量月份的水果销售量月平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价降低元，利润为，则水果的销售利润为元，每天的销售量为件，列出函数关系式解答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该平台月份到月份销售的月平均增长率是． （2）解：设售价降低元，利润为， 则水果的销售利润为元，每天的销售量为件， ∴， ∵， ∴降价元，即售价为元时，每天可获得最大利润为元． 7．（八年级下·河南·期末）如图，，，，为矩形的四个顶点，，，动点、分别从点，同时出发，都以的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．    (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】（1）设运动时间为，则，，由矩形的性质可得，，，进而可得，然后根据梯形的面积公式即可得出答案； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，于是可得，，然后分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为， 则，， 四边形是矩形， ，，， ， ∴四边形的面积； （2）解：设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ， ， 分三种情况讨论： ①当时， 如图，过作于，    易得四边形为矩形， ，， ， ， ， ， 解得：或； ②当时， 如图，过作于，    易得四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得：； ③当时， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，勾股定理，三线合一等知识点，运用数形结合思想与分类讨论思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$