第04讲 两条直线的交点（2个知识点6大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第04讲 两条直线的交点 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 题型一：求直线的交点 【例1】（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【例2】（2025·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【变式2-1】（多选题）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（    ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 【变式2-2】（2025·高二·上海·课前预习）在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和 ；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和 ；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和 ；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 【变式2-3】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 题型三：由直线交点的个数求参数 【例3】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3-3】（2025·高二·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四：由直线交点坐标求参数 【例4】已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高二·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型五：三线能否围成三角形问题 【例5】（2025·高二·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5-1】（2025·高二·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式5-2】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高二·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型六：直线交点系方程 【例6】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高二·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【变式6-3】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 1．（2025·高二·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高二·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·高二·广西·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．为直线的一个方向向量 D．直线关于轴对称的直线的方程为 5．（多选题）（2025·高二·浙江温州·期末）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 6．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 7．（2025·高二·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 8．（2025·高二·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 9．（2025·高二·上海徐汇·期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 10．（2025·高二·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 11．（2025·高二·上海·期末）设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 12．（2025·高二·全国·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 13．（2025·高二·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 14．（2025·高二·广东深圳·期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 15．（2025·高二·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 16．（2025·高二·甘肃定西·期末）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 17．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 18．已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 两条直线的交点 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：直线的交点 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 知识点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线，交点的直线方程为，其中是待定系数．在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 题型一：求直线的交点 【例1】（2025·高二·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 【变式1-1】已知直线与直线垂直，则与的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得， 直线的方程为. 由，解得，故交点坐标为. 故选：A. 【变式1-2】若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【变式1-3】（2025·高二·江苏泰州·期中）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与轴交于点， 直线与轴交于点， 由，得，所以，， 所以， 所以，所以. 故选：D. 题型二：由方程组解的个数判断直线的位置关系 【例2】（2025·高二·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【变式2-1】（多选题）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的有（    ） A．① B．② C．③ D．以上都不正确 【答案】ABC 【解析】对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确； 对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确； 对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确. 故选：ABC 【变式2-2】（2025·高二·上海·课前预习）在平面直角坐标系中，已知两条直线的方程分别为：（、不同时为零），：（、不同时为零）.联立和的方程为（1）若存在，使得，且，则方程组有无数解，两条直线有无数个公共点，从而和 ；（2）若存在，使得，但，则方程组无解，两条直线无公共点，从而和 ；（3）若不存在，使得，，则方程组有唯一解，两条直线有唯一公共点，从而和 ；若、、都不为零，则可以观察两个方程的系数是否成比例来判断与的位置关系. 【答案】 重合 平行 相交 【解析】（1）重合； （2）平行； （3）相交. 【变式2-3】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 题型三：由直线交点的个数求参数 【例3】若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【变式3-1】已知点，若直线与线段总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线与线段总有公共点， 所以点和点不同在直线的一侧， 所以， 解得或. 即的取值范围是. 故选：B 【变式3-2】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3-3】（2025·高二·山西晋中·期末）已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线恒过的定点，. 当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意. 当时，直线的斜率为，则， 解得或，综上，. 故选：C 题型四：由直线交点坐标求参数 【例4】已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【变式4-1】（2025·高二·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 【变式4-2】三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式4-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知， ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 题型五：三线能否围成三角形问题 【例5】（2025·高二·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 令，得；令，得，则， 所以的面积为， 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，此方程无解， 所以满足条件的直线有2条，故A错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有3条，故B正确； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故D错误. 故选：B. 【变式5-1】（2025·高二·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（   ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【解析】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组. 故选：B 【变式5-2】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 【变式5-3】（2025·高二·山东济南·期中）若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】联立方程，解得， 可知：直线的斜率为，的斜率为，且直线、的交点为， 若三条直线不能围成三角形，则直线与直线或直线平行，或直线过点， 可知直线的斜率存在，且为， 可得或或，解得或或， 所以实数的取值最多有3个. 故选：B. 题型六：直线交点系方程 【例6】若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 【变式6-1】（2025·高二·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 【变式6-2】（2025·高二·安徽六安·期中）已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为 . 【答案】 【解析】依题意两直线和的交点为， 所以在直线上， 所以过两点所在直线方程为. 故答案为： 【变式6-3】经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【解析】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 1．（2025·高二·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 2．经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C 3．（2025·高二·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由解得：，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即②， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 4．（多选题）（2025·高二·广西·开学考试）已知直线的倾斜角为，则（    ） A． B．直线在两坐标轴上的截距相等 C．为直线的一个方向向量 D．直线关于轴对称的直线的方程为 【答案】ABD 【解析】因为直线的倾斜角为，所以，解得，故A正确． 直线在两坐标轴上的截距均为2，故B正确． 由方程，可得直线的一个方向向量为，故C错误． 直线过点，因为点（2，0）关于轴对称的点的坐标为， 所以直线经过点，故直线关于轴对称的直线的方程为，故D正确． 故选：ABD. 5．（多选题）（2025·高二·浙江温州·期末）已知直线与，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得， 所以与交于点，故D正确. 故选：ACD. 6．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 7．（2025·高二·上海徐汇·期中）在中，已知，的平分线所在直线方程是，边上的高所在直线是，则点的坐标为 ． 【答案】 【解析】由解得，所以. 因为的平分线所在直线方程是，所以点关于直线的对称点在所在直线上， 所以直线的方程为，整理得. 又边上的高所在直线是，其斜率为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 由，解得，所以则点的坐标为. 故答案为：. 8．（2025·高二·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【解析】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 9．（2025·高二·上海徐汇·期中）已知直线过点，且被两平行直线和截得的线段长度为5，求直线的方程． 【解析】设直线与直线分别交于点， 则，两式相减得：，而， 即，解得或， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 由，即，轴，得直线方程为，经验证符合题意， 所以直线l的方程为或. 10．（2025·高二·安徽淮南·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程. 【解析】（1）由于，且的直线方程为， 所以，故， 又的顶点， 所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为， 联立方程，解得， 故点； （2）设点， 则的中点， 由于点在直线上， 所以，整理得， 同时点在直线上， 所以， 故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 11．（2025·高二·上海·期末）设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 【解析】（1）由题意可得直线的方程为，如下图所示： 联立，解得； 联立，解得； 又点是，中点，可得，且； 解得； （2）因为的纵坐标均为正数， 所以，解得； 易知的面积为， 令，则； 因此； 当且仅当时，即时，等号成立，此时； 所以的最小值为，即的面积的最小值为. 12．（2025·高二·全国·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【解析】（1）由题意得直线的斜率为，所以直线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为，即， 因为直线的方程为， 由，解得，所以点的坐标是． （2）由题意，是线段的中点，且在直线上， 设，又，则． 由题意，点在直线上，则． 解得，则． 由（1）得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 13．（2025·高二·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【解析】（1）因为边所在直线过点，，所以    因为为菱形，所以，所以，       又，所以，整理得. （2）因为，，所以. 因为为菱形，所以，所以        因为，，所以中点坐标为， 所以           联立方程组， 解得，所以. 14．（2025·高二·广东深圳·期末）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【解析】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 15．（2025·高二·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【解析】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 16．（2025·高二·甘肃定西·期末）已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 【解析】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． （2）联立，解得，即． 设点关于直线对称的点为， 所以， 解得，即． 直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得． 17．（2025·高二·浙江杭州·期末）已知直线：. (1)求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线的方程. 【解析】（1）由直线方程变形可得， 所以直线过直线与直线的交点， 联立，解得， 所以直线过定点. （2）已知直线：， 令，得，得. 令，得，得， 则三角形面积为，， 当时，取到最小值. 此时，直线的方程为，即. 18．已知直线与直线． (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； (3)中，为直线过的定点，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为，求直线的方程． 【解析】（1）因为，所以， 解得或. （2）因为点在直线上， 所以，解得， 因为直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，设直线方程为， 所以，此时直线的方程为； 当两截距均不为0时，设直线的方程为， 将点代入得，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，所以直线的方程为：或. （3）由可得， 由得，所以， 因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线， 所以直线的方程为：即， 又因为所在直线的方程为， 由解得，所以， 设，则中点， 代入得，整理得， 由，解得，所以， 所以直线的方程为：即. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$