02.机械能守恒 功能关系-2025年新高二物理暑假衔接讲义

02.机械能守恒 功能关系 课前检测 1 .(多选)如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从小球与弹簧接触到弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是（　　） A.小球重力势能与动能之和总持续减小 B.小球重力势能与弹簧的弹性势能之和总保持不变 C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和总保持不变 D.小球的重力势能、小球的动能和弹簧的弹性势能之和总保持不变 2 .如图所示，可视为质点的两物块A、B，质量分别为 m、2 m，A放在一倾角为并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与A、B相连接，托住B使两物块处于静止状态，此时B距地面高度为 h，轻绳刚好拉紧，A和滑轮间的轻绳与斜面平行。现将B从静止释放，斜面足够长。重力加速度为 g。则B落地前绳中张力的大小           ；整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离           。 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 机械能及其守恒 2023年广东卷 3 4 易 2023年天津卷 12 8 中 2024年1月浙江卷 3 4 较易 功能关系 2023年新课标Ⅰ卷 2 6 较易 2023年江苏卷 11 12 较难 2023年山东卷 20 6 中 目标解读 知识导图    课堂目标 1.了解机械能概念，知悉重力势能、弹性势能和动能的特点； 2.掌握机械能守恒定律的条件，能够应用机械能守恒解决系统的能量变化问题； 3.理解并掌握功能关系，能够综合运用功能关系和能量守恒知识解决系统的多过程运动问题。 课程重难点 1.熟练应用机械能守恒，并能拓展分析机械能不守恒情况下系统能量的变化； 2.综合应用动能定理、机械能守恒、功能关系、能量守恒分析系统的多过程能量变化。 一、 机械能守恒定律 （一） 系统机械能守恒 （1）机械能守恒定律内容： 只有                                                                                           ，动能与势能可以互相转化，而总的机械能                                  （ 系统内除了重力和弹簧弹力之外，                                                                                                                           ） （2）机械能守恒的判断 （3）① 只有重力做功时 ，只发生动能和重力势能的相互转化.如自由落体运动、抛体运动等 ② 只有系统内弹力做功 ，只发生动能和弹性势能的相互转化.如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒 ③ 只有重力和系统内弹力做功 ，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化.如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒. ④ 除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功 ，或其他力做功的代数和为零.如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒. （3）机械能守恒的解题步骤 （4） 机械能守恒的三种表达方式： 前后能量总和保持不变： 势能和动能的转换相等：                                  能量增减的变化量相等：                                   （系统中一部分物体的机械能增加量等于剩余部分机械能的减少量） 经典例题 3 .图甲是淄博市科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道．取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点 M高度相同，终点 N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于 N点．若将两个相同的小球 a和 b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点 M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球 a先到达终点．下列描述两球速率 v与时间 t、速率平方与下滑高度 h的关系图像可能正确的是（    ） A. B. C. D. 4 .如图所示，质量分别为和的两个小球固定在一根直角尺的两端、，直角尺的处有光滑的固定转动轴，、的长分别为和，开始时直角尺的部分处于水平位置而在的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求： ( 1 )端小球到达最低点时的速度大小． ( 2 )端小球能上升的最大高度．（不计直角尺的质量） 知识点总结 1、 机械能守恒的三个条件 （1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒 （2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功。例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒 （3）其他力做功，但做功的代数和为零 2、机械能守恒的本质 从能量转化角度看，只要在某一物理过程中。系统的机械能总量始终保持不变，而且系统内或系统与外界之间没有机械能转化为其他形式的能，也没有其他形式的能转化为系统的机械能，那么系统的机械能就是守恒的，与系统内是否一定发生动能和势能的相互转化无关 巩固练习 5 .如图所示，质量的物体 P穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体 P相连，另一端与质量的物体 Q相连。开始时物体 P在外力作用下静止于 A点，绳处于伸直状态，已知，取重力加速度大小，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻撤去外力、同时给 P一水平向左的速度 v，物体 P恰能运动到 B点，则 v的大小为（　　） A. B. C. D. 6 .如图所示，水平放置的传送带与一光滑曲面相接（间隙很小），一小滑块质量为，从距离传送带高处由静止滑下，传送带水平部分长，小滑块与传送带间的动摩擦因数．（取） ( 1 )使传送带固定不动，问小滑块能否滑离传送带，摩擦产生的热量是多少． ( 2 )传送带以的速度逆时针匀速运动，问小滑块能否滑离传送带，产生的热量是多少． 学生总结 （二） 非质点系统机械能守恒 在机械能守恒问题中，有一类特殊的题型考察的是非质点的机械能守恒，这个时候我们有一些特殊的处理技巧。 （1） 机械能守恒指的是物体的势能和动能之和不变，那么在能量转化的过程中，要先消掉不变量，找到变化量，再列机械能守恒方程。 （2）因为重力势能有一部分是没有改变的（先不用管这一部分），要找到变化的那一部分重力势能，这一部分的重力势能转化成为了动能。 解题要点： ①                                            ②                                            ③                                                                       经典例题 7 .(多选)如图，长为 L的链条（质量为 m）被手固定在光滑桌面上，的链条垂直于桌面，松手后链条掉落，重力加速度为 g，下列说法正确的是（　　）     A.链条做非匀加速运动 B.链条只受重力而下滑 C.当链条刚好离开桌面时，速度 D.当链条刚好离开桌面时，速度 8 .两个截面积是的铁桶放在同一水平面上，桶内装水，水面的高度分别为和，且，如图所示，现将连接两桶的水管阀门打开，最后两桶水面高度相同，若水的密度是，则（    ） A.重力对水做的功为 B.重力势能减少了 C.重力既做正功，又做负功，其总功为零 D.重力势能减少，说明重力做负功 知识点总结 类型（一） “液柱”类问题 （1）不计液体与筒壁的摩擦阻力时，对液柱整体来说，只有重力做功，机械能守恒。 （2）液体总的重力势能的减少量转化为所有液体的动能。 类型（二） “链条”类问题 （1）均匀链条的重心在链条的中心。 （2）桌面光滑时，链条滑落过程中机械能守恒。 巩固练习 9 .如图所示，总长度为 l，质量为 m的柔软链条一半放置在水平粗糙桌面，另一半悬置空中。由静止释放链条，链条左端点离开桌面前的过程中阻力做功为 W。当链条左端点离开桌面时链条处于竖直状态，重力加速度为 g，此时链条的动能为（　　） A. B. C. D. 10 .(多选)如图所示，一长为，质量为的匀质链条，开始时用手按住端，放在距地面高的光滑的桌面上，有的长度悬在桌边缘，松手后链条开始运动滑离桌面，下列说法正确的是（        ）     A.链条开始运动到触地前机械能守恒 B.链条滑离桌面过程中动能在增加 C.链条全部滑离桌面时重力势能减少 D.链条刚好触到地面时的速度大小为 11 .如图所示，一质量为、半径为的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入横截面积为、深度为的水中．已知水的密度为，在铁球从刚与水面接触至与杯底接触的过程中，求： ( 1 )铁球的重力势能的增加量． ( 2 )水的重力势能的增加量． 学生总结 二、 功能关系 （一） 功和能的关系 功能关系：做功等于能量变化能量转化是与做功紧密地联系在一起的。力做功时，必然伴随着能量的转化，而且功与能量转化的量值是相等的。这一等量关系不仅提供了计算功的大小的另一种途径，而且涉及功与能的其他物理量也可能在这一等量关系中求出。在力学中，常涉及以下几种力的功引起的相应的能量变化的等量关系： （1）                                                                                                                                                                                                                                                                            ——动能定理； （2）                                                                                                                                                                                                                                                        ——功能原理； （3）重力或弹力对物体所做的功与                                                                                                                             相等； （4）两物体间滑动摩擦力对物体系所做的功与                                                                                        相等。 （二） 能量守恒 能量守恒：能量既不会消灭，也不会创生，                                                                                               或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，                                                                                经典例题 12 .(多选)如图甲所示，在倾角为 θ的固定粗糙斜面体上，有一个质量为 m的物体在沿斜面方向的力 F的作用下由静止开始向下运动，物体与斜面之间的动摩擦因数为 μ，物体的机械能 E随位移 x的变化关系如图乙所示。其中0~ x1过程的图线是曲线， x1~ x2过程的图线为平行于 x轴的直线，重力加速度为 g，则下列说法中正确的是（　　） A.在0~ x2过程中，物体先加速后匀速 B.在0~ x1过程中，物体的加速度一直减小 C.在 x1~ x2过程中，物体的加速度为 gsin θ D.在0~ x2过程中，拉力 F做的功为 WF＝ E2－ E1＋ μmgcos θ· x2 13 .有一固定轨道如图所示，段为四分之一光滑圆弧轨道，其半径为，段是水平光滑轨道，段是光滑斜面轨道，和斜面间用一小段光滑圆弧连接．有编号为、、、完全相同的个小球（小球不能视为质点，其半径)，紧挨在一起从圆弧轨道上某处由静止释放，经平面到斜面上，忽略一切阻力，则下列说法正确的是（    ） A.四个小球在整个运动过程中始终不分离 B.在圆弧轨道上运动时，号球对号球不做功 C.在斜面轨道上运动时，号球对号球做正功 D.号球在斜面轨道上运动的最大高度与号球初始位置等高 知识点总结 对于两个及两个以上物体构成的系统进行分析：是否有外力对系统做功 两个连接物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等 对多个物体组成的系统，要注意判断多物体系统是否整体机械能守恒、单一物体的机械能变化 巩固练习 14 .(多选)如图所示，粗糙斜面体静置于水平地面上，一木块从斜面底端开始以某一初速度沿斜面上滑，然后又返回出发点，在木块运动的过程中斜面体始终保持静止．下列能大致描述木块整个运动过程中的速度、地面对斜面体的摩擦力、木块动能、木块机械能与时间之间关系的图像是（图以初速度方向为正方向，图以水平向左为正方向）（    ） A. B. C. D. 15 .(多选)如图，竖直平面内放一直角杆，水平和竖直部分套有质量均为1kg的滑块A、B，两滑块之间用长0.5m的轻绳连接，杆的水平部分粗糙，滑块与杆的动摩擦因数，杆的竖直部分光滑。图示时刻，轻绳与竖直杆的夹角为45°，物块A在恒为 F＝20N的水平拉力作用下从静止开始向右运动。从图示时刻起在A向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. F的功率一直增大 B.滑块B的机械能不变 C.滑块A受到的摩擦力逐渐增大 D.运动过程中滑块B的速率不可能比滑块A的速率小 学生总结 （三） 弹簧连接体问题 1. 含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，                                                                                                                                                                                                                                                                                               2. 含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，要注意 物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关 ，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。 3. 弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功                                                                                                                                                                                                                      对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等。 4. 由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，                                                                                                                                               ；弹簧处于自然长度时，                                                                                                        经典例题 16 .(多选)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图乙如示，则下列判断正确的是（    ）                  A.时刻小球动能最大 B.时刻小球动能最小 C.时间内小球的动能先增加后减少 D.时间内小球、地球和弹簧系统机械能守恒 17 .质量为的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，钢板处于平衡状态．一质量也为的物块从钢板正上方高为的处自由落下，打在钢板上并与钢板一起向下运动后到达最低点，已知重力加速度为，空气阻力不计．下列说法正确的是（        ） A.物块和钢板一起运动到最低点过程物块的机械能守恒 B.从物块下落到一起运动到最低点的过程物块、钢板和弹簧组成的系统机械能守恒 C.物块和钢板一起运动到最低点过程中弹簧弹性势能的增加量为 D.物块和钢板一起运动到最低点过程中弹簧弹性势能的增加量为 18 .(多选)如图所示，竖直平面内固定一根竖直的光滑杆和水平光滑杆，两杆在同一平面内，不接触，水平杆延长线与竖直杆的交点为．质量为的小球套在竖直杆上，上端固定在杆上的轻质弹簧的另一端与小球相连．另一质量为的小球套在水平杆上，小球、用长为的轻杆通过铰链分别连接．在外力作用下，当轻杆与水平杆成斜向左上时，轻质弹簧处于原长，系统处于静止状态．撤去外力，小球在竖直杆上做往复运动，下降的最大距离为．已知轻质弹簧的弹性势能，为弹簧的形变量，为轻质弹簧的劲度系数，整个过程轻质弹簧始终处在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为，，．则下列说法正确的是（    ） A.轻质弹簧的劲度系数为 B.小球运动到点时的速度大小为 C.从撤去外力到轻杆与水平杆成斜向左上的过程，轻杆对小球做的功为 D.小球从最高点运动到点的过程，水平杆对小球的作用力始终大于 知识点总结 由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力（除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒 在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放) 巩固练习 19 .如图所示，足够长的竖直固定杆上套一劲度系数为 k的轻质弹簧，弹簧下端悬挂质量为 m的物块B，上端连接一轻质小球，物块B与杆间无摩擦，小球A与杆之间的最大摩擦力为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g，忽略空气阻力．求： ( 1 )B静止时，弹簧伸长量 x； ( 2 )若将物块B拉至弹簧原长处由静止释放， ① 物块的最大速度； ② 整个过程中，因摩擦产生的内能 Q． 20 .如图所示，一轻弹簧的一端固定在倾角为的光滑斜面底端，另一端连接一质量为3kg的物块A，系统处于静止状态．若在斜面上紧靠A上方处轻放一质量为2kg的物块B，A、B一起向下运动到最低点 P（图中 P点未画出），然后再反向向上运动到最高点，对于上述整个运动过程，下列说法正确的是（已知，，重力加速度 g取）（    ） A.两物块沿斜面向上运动的过程中弹簧可能恢复原长 B.在物块B刚放上的瞬间，A、B间的弹力大小为12N C.在最低点 P，A、B间的弹力大小为16.8N D.在最低点 P，弹簧对A的弹力大小为30N 21 .如图所示，在竖直方向上、两物体通过劲度系数为的轻质弹簧相连，放在水平地面上；、两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，放在固定的光滑斜面上．用手拿住，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证段的细线竖直、段的细线与斜面平行．已知、的质量均为，的质量为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放后它沿斜面下滑，刚离开地面时，获得最大速度，求： ( 1 )从释放到物体刚离开地面时，物体沿斜面下滑的距离． ( 2 )斜面的倾角． ( 3 )的最大速度． 学生总结 真题演练 22 .(多选)如右图所示，三个小球ABC的质量均为 m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为 L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角 α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 g．则在此过程中（    ） A.A的动能最大时，B、C的动能均为零 B.A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于 C.弹簧的弹性势能最大时，A的加速度为0 D.弹簧的弹性势能最大值 （四） 板块传送带问题 板块、传送带模型的特征是以摩擦力的转换为纽带来联系传送带和物体的相对运动 物体随传送带的运动有匀加速直线运动和匀速直线运动，有受滑动摩擦力、静摩擦力以及不受摩擦力三种情况 处理这类问题时只要分析传送带施加给物体的摩擦力特点、抓住临界条件、挖掘隐含条件，运用牛顿运动定律、运动学公式、功能关系和能量守恒定律列出方程就可解决 经典例题 23 .如图所示，木板A静止于光滑水平面上，木块B轻置于木板A上。现施加外力 F拉着木块B做匀加速直线运动，木板A在摩擦力作用下也向右加速运动，但加速度小于木块B的加速度，则（　　） A.木板A所受摩擦力对木板A做负功 B.木板A对木块B的摩擦力做的功与木块B对木板A的摩擦力做的功的大小相等 C.木块与木板间摩擦产生的热量等于木板A对木块B的摩擦力做功的大小减去木块B对木板A的摩擦力做的功 D.力 F做的功等于木块B与木板A的动能增量之和 24 .(多选)如图所示，竖直平面内有一长为的水平传送带以的速度逆时针传动，传送带左端固定有一半径为的光滑竖直半圆轨道，点和点分别位于传送带左端的正上方和正下方，点为半圆轨道的最左端，半圆轨道在点与水平滑道水平相切，一个质量为的物块轻放在传送带右端，与传送带左端间的缝隙恰好可容物块通过，物块由传送带右端沿轨道运动并最后停在水平滑道上．已知物块与传送带间的动摩擦因数为，物块与水平滑道间的动摩擦因数为，物块可视为质点，重力加速度．下列说法正确的是（    ） A.物块在传送带上运动的时间为 B.物块运动到传送带左端时的速度大小为 C.物块到达半圆轨道最左端点时对轨道的压力大小为 D.物块所停位置距点的距离为 25 .如图所示，放在足够大的水平桌面上的薄木板的质量，木板右端叠放着质量的小物块，整体处于静止状态．已知物块与木板间的动摩擦因数，木板与桌面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小，薄木板足够长．现对木板施加水平向右的恒定拉力，当木板向右运动的位移时，撤去拉力，木板和小物块继续运动一段时间后静止．求∶ ( 1 )撤去拉力时，木板的速度的大小． ( 2 )从木板开始运动到撤去拉力的过程中，木板和物块间的摩擦力对物块做的功． ( 3 )整个过程中因摩擦而产生的热量． 知识点总结 综合解题技巧 1．动力学方法： 利用牛顿运动定律结合运动学规律求解力学问题 2．能量的观点： 利用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律以及一些功能关系求解力学问题 3．应用方法： 涉及动力学方法和能量观点的综合题，应根据题目要求灵活选用公式和规律 ①涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律 ②用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律求解过程要简单，变力作用下的问题只能用能量观点 ③涉及动能与势能的相互转化，单个物体或系统机械能守恒问题时，通常选用机械能守恒定律 巩固练习 26 .如图所示为一传送带装置模型，固定斜面的倾角为，底端经一长度可忽略的光滑圆弧与足够长的水平传送带相连接，可视为质点的物体质量，从高的斜面上由静止开始下滑，它与斜面的动摩擦因数，与水平传送带的动摩擦因数，已知传送带以的速度逆时针匀速转动，，， g取，不计空气阻力．求： ( 1 )物块第一次滑到斜面底端时的速度． ( 2 )物体从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中与传送带摩擦产生的热量． ( 3 )物体第一次离开传送带后滑上斜面，它在斜面上能达到的最大高度． 27 .如图所示，有一个质量为 的小物块（可视为质点），从光滑平台上的 点以 的初速度水平抛出，到达 点时，恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道 ，最后小物块滑上紧靠轨道末端 点的长木板．已知足够长的长木板质量为 ，放在粗糙的水平地面上，长木板下表面与地面间的动摩擦因数 ，长木板上表面与小物块间的动摩擦因数 ，且与圆弧轨道末端切线相平，圆弧轨道的半径为 ，半径 与竖直方向的夹角 （不计空气阻力，，，．求： ( 1 )小物块到达 点时的速度大小； ( 2 )小物块与长木板因摩擦而产生的热量． 28 .如图所示，半径的光滑圆弧轨道与足够长的传送带在处平滑连接，为圆弧轨道的圆心，点为圆弧轨道的最低点，半径、与的夹角分别为和．传送带以的速度沿顺时针方向匀速转动，将一个质量的煤块（视为质点）从点左侧高为处的点水平抛出，恰从点沿切线方向进入圆弧轨道．已知煤块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，．求： ( 1 )煤块水平抛出时的初速度大小； ( 2 )煤块第一次到达圆弧轨道上的点对轨道的压力大小； ( 3 )煤块第一次离开传送带前，在传送带上留下痕迹可能的最长长度．(结果保留位有效数字) 学生总结 三、 课堂总结    四、 出门测 29 .(多选)如图所示，重的滑块在倾角为的斜面上从点由静止开始下滑，到点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到点，开始弹回，返回点离开弹簧，最后又回到点，已知，．那么，下列说法正确的是（    ） A.整个过程中滑块动能的最大值为 B.整个过程中弹簧弹性势能的最大值为 C.从点运动到点的过程中弹簧弹力对滑块做功 D.整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒 30 .(多选)如图所示，水平面上固定一倾角为的斜面，质量为的物块静止于斜面上，用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮与沿竖直方向的弹簧连接，弹簧下端与质量为的物块连接，初始时，用手托住物块，细绳恰好伸直且弹簧处于原长状态．某时刻撤去手，物块开始运动，物块在撤去手前后始终保持静止状态，已知，则下列说法正确的是（    ） A.与斜面间的最大静摩擦力至少为 B.与斜面间的最大静摩擦力至少为 C.从释放到第一次运动至最低点的过程中，合外力对先做正功后做负功 D.从释放到第一次速度最大的过程中，弹簧弹性势能的增加量等于重力势能的减小量 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02.机械能守恒 功能关系 课前检测 【教法备注】 本节讲义集中在题型训练，根据学生情况进行题目选讲，课前检测4 min 1 .(多选)如下图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，从小球与弹簧接触到弹簧压缩到最短的过程中，下列叙述中正确的是（　　） A.小球重力势能与动能之和总持续减小 B.小球重力势能与弹簧的弹性势能之和总保持不变 C.小球的动能与弹簧的弹性势能之和总保持不变 D.小球的重力势能、小球的动能和弹簧的弹性势能之和总保持不变 【教法备注】 易 【答案】 AD 【解析】 从小球与弹簧接触到弹簧压缩到最短的过程中，只有重力和弹力做功，则小球和弹簧组成的系统机械能守恒，则有小球的重力势能，小球的动能和弹簧的弹性势能之和总保持不变，在下落中，弹簧的弹性势能一直在增大，因此小球重力势能与动能之和总持续减小，所以AD为正确选项，BC为错误选项。故答案为AD。 2 .如图所示，可视为质点的两物块A、B，质量分别为 m、2 m，A放在一倾角为并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别与A、B相连接，托住B使两物块处于静止状态，此时B距地面高度为 h，轻绳刚好拉紧，A和滑轮间的轻绳与斜面平行。现将B从静止释放，斜面足够长。重力加速度为 g。则B落地前绳中张力的大小           ；整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离           。 【教法备注】 中 【答案】 mg2 h 【解析】 【详解】[1]设B落地前A、B的加速度大小为 a，由牛顿第二定律得 解得 ， [2]设B落地前瞬间A的速度为 v，由匀变速直线运动速度与位移的关系得 可得 设B落地后，A沿斜面向上运动的最大距离为 s，由机械能守恒定律得 解得 所以整个过程中A沿斜面向上运动的最大距离为 考情分析 知识点 试卷 题号 分值 难易 机械能及其守恒 2023年广东卷 3 4 易 2023年天津卷 12 8 中 2024年1月浙江卷 3 4 较易 功能关系 2023年新课标Ⅰ卷 2 6 较易 2023年江苏卷 11 12 较难 2023年山东卷 20 6 中 目标解读 知识导图    课堂目标 1.了解机械能概念，知悉重力势能、弹性势能和动能的特点； 2.掌握机械能守恒定律的条件，能够应用机械能守恒解决系统的能量变化问题； 3.理解并掌握功能关系，能够综合运用功能关系和能量守恒知识解决系统的多过程运动问题。 课程重难点 1.熟练应用机械能守恒，并能拓展分析机械能不守恒情况下系统能量的变化； 2.综合应用动能定理、机械能守恒、功能关系、能量守恒分析系统的多过程能量变化。 一、机械能守恒定律 （一）系统机械能守恒 （1）机械能守恒定律内容： 只有<strong>重力或弹力做功</strong>的物体系统内 ，动能与势能可以互相转化，而总的机械能 保持不变（ 系统内除了重力和弹簧弹力之外，<strong>无其他力做功，系统机械能守恒</strong> ） （2） 机械能守恒的判断 ① 只有重力做功时 ，只发生动能和重力势能的相互转化.如自由落体运动、抛体运动等 ② 只有系统内弹力做功 ，只发生动能和弹性势能的相互转化.如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒 ③ 只有重力和系统内弹力做功 ，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化.如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒. ④ 除受重力（或系统内弹力）外，还受其他力，但其他力不做功 ，或其他力做功的代数和为零.如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒. （3）机械能守恒的解题步骤（4）机械能守恒的三种表达方式： 前后能量总和保持不变： 势能和动能的转换相等： 能量增减的变化量相等：  （系统中一部分物体的机械能增加量等于剩余部分机械能的减少量） 经典例题 3 .图甲是淄博市科技馆的一件名为“最速降线”的展品，在高度差一定的不同光滑轨道中，小球滚下用时最短的轨道叫做最速降线轨道．取其中的“最速降线”轨道Ⅰ和直线轨道Ⅱ进行研究，如图乙所示，两轨道的起点 M高度相同，终点 N高度也相同，轨道Ⅰ的末端与水平面相切于 N点．若将两个相同的小球 a和 b分别放在Ⅰ、Ⅱ两轨道的起点 M，同时由静止释放，发现在Ⅰ轨道上的小球 a先到达终点．下列描述两球速率 v与时间 t、速率平方与下滑高度 h的关系图像可能正确的是（    ） A. B. C. D. 【教法备注】 中   考察题型： 机械能守恒定律的应用 【答案】 A 【解析】 【详解】AB．根据机械能守恒可得 可得小球 a和 b到达轨道底端的速度大小均为 小球 b沿直线轨道Ⅱ做匀加速直线运动，其图像为一条倾斜直线，小球 a沿“最速降线”轨道Ⅰ运动过程，加速度逐渐减小，则其图像的切线斜率逐渐减小，且小球 a所用时间小于小球 b所用时间，故A正确，B错误；CD．根据机械能守恒可得 可得小球 a和 b下滑过程速率平方与下滑高度 h的关系为 可知小球 a和 b的图像均为一条过原点的倾斜直线，故CD错误。故选A。 4 .如图所示，质量分别为和的两个小球固定在一根直角尺的两端、，直角尺的处有光滑的固定转动轴，、的长分别为和，开始时直角尺的部分处于水平位置而在的正下方，让该系统由静止开始自由转动，求： ( 1 )端小球到达最低点时的速度大小． ( 2 )端小球能上升的最大高度．（不计直角尺的质量） 【教法备注】 中   考察题型： 对机械能、能量转化的理解 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)因转动轴光滑，则系统的机械能守恒．两球绕点转动的角速度相同，则任一时刻端球的速度总是端球的倍． 由， 解得：． 故答案为：． (2)因转动轴光滑，则系统的机械能守恒．两球绕点转动的角速度相同，则任一时刻端球的速度总是端球的倍． 设端球上升到最高时与竖直方向的夹角为，则有， 解得：， 则端球上升的最大高度． 答案为：． 知识点总结 1、 机械能守恒的三个条件 （1）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒 （2）受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功。例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒 （3）其他力做功，但做功的代数和为零 2、机械能守恒的本质 从能量转化角度看，只要在某一物理过程中。系统的机械能总量始终保持不变，而且系统内或系统与外界之间没有机械能转化为其他形式的能，也没有其他形式的能转化为系统的机械能，那么系统的机械能就是守恒的，与系统内是否一定发生动能和势能的相互转化无关 巩固练习 5 .如图所示，质量的物体 P穿在一固定的光滑水平直杆上，直杆右端固定一光滑定滑轮。一绕过两光滑定滑轮的细线的一端与物体 P相连，另一端与质量的物体 Q相连。开始时物体 P在外力作用下静止于 A点，绳处于伸直状态，已知，取重力加速度大小，两物体均视为质点，不计空气阻力。某时刻撤去外力、同时给 P一水平向左的速度 v，物体 P恰能运动到 B点，则 v的大小为（　　） A. B. C. D. 【教法备注】 中 【答案】 A 【解析】 几何关系可得 则当 P从 A到 B的过程中， Q的位移 由系统机械能守恒 解得 则速度为3m/s。故答案为A。 6 .如图所示，水平放置的传送带与一光滑曲面相接（间隙很小），一小滑块质量为，从距离传送带高处由静止滑下，传送带水平部分长，小滑块与传送带间的动摩擦因数．（取） ( 1 )使传送带固定不动，问小滑块能否滑离传送带，摩擦产生的热量是多少． ( 2 )传送带以的速度逆时针匀速运动，问小滑块能否滑离传送带，产生的热量是多少． 【教法备注】 中 【答案】 (1)小滑块能滑离传送带．产生的热量 (2)可以滑离传送带，产生热量 【解析】 (1)假设传送带足够长，对整个过程运用动能定理得，要使小滑块停下来，传送带的长度至少为．，故小滑块能滑离传送带．产生的热量． (2)传送带逆时针运动，且，因此小滑块与传送带间始终有滑动摩擦力，小滑块能滑离传送带．小滑块从曲面上下滑过程中，由机械能守恒得：，刚到达传送带时．由得，小滑块在传送带上运动的加速度．由得，小滑块在传送带上滑动的时间．所以传送带上任意一点在时间内通过的路程．总共产生的热量． 学生总结 （二）非质点系统机械能守恒 在机械能守恒问题中，有一类特殊的题型考察的是非质点的机械能守恒，这个时候我们有一些特殊的处理技巧。 （1）机械能守恒指的是物体的势能和动能之和不变，那么在能量转化的过程中，要先消掉不变量，找到变化量，再列机械能守恒方程。 （2）因为重力势能有一部分是没有改变的（先不用管这一部分），要找到变化的那一部分重力势能，这一部分的重力势能转化成为了动能。 解题要点： ① 消掉不变量 ② 找到变化量 ③ 列机械能守恒方程 经典例题 7 .(多选)如图，长为 L的链条（质量为 m）被手固定在光滑桌面上，的链条垂直于桌面，松手后链条掉落，重力加速度为 g，下列说法正确的是（　　）    A.链条做非匀加速运动 B.链条只受重力而下滑 C.当链条刚好离开桌面时，速度 D.当链条刚好离开桌面时，速度 【教法备注】 中  考察题型：机械能守恒定律的应用 【答案】 AC 【解析】 【详解】A．对链条受力分析可知，链条在桌面上的部分受到桌面的支持力，以及该部分的重力，链条还受掉下桌面部分的链条的重力，整体分析可知，垂下桌面部分链条的重力为整个链条的合外力，随着链条掉落，掉下桌面部分的链条增加，链条所受的合力变大，根据牛顿第二定律可知，随着链条的掉落，其加速度变大，直至全部掉下后加速度变为重力加速度，故A正确，B错误；CD．设桌面为零势能面，有 解得 故C正确，D错误。故选AC。 8 .两个截面积是的铁桶放在同一水平面上，桶内装水，水面的高度分别为和，且，如图所示，现将连接两桶的水管阀门打开，最后两桶水面高度相同，若水的密度是，则（    ） A.重力对水做的功为 B.重力势能减少了 C.重力既做正功，又做负功，其总功为零 D.重力势能减少，说明重力做负功 【教法备注】 中  考察题型：机械能守恒定律的应用 【答案】 B 【解析】 将连接两桶的水管阀门打开后，两桶水面的高度均为，相当于左边部分液体移动到了右边而其他部分的液体位置不发生变化，此过程液体重力势能减少了．故A错误，B正确．重力势能减少，说明重力做正功．故C、D错误． 故选B． 知识点总结 类型（一） “液柱”类问题 （1）不计液体与筒壁的摩擦阻力时，对液柱整体来说，只有重力做功，机械能守恒。 （2）液体总的重力势能的减少量转化为所有液体的动能。 类型（二） “链条”类问题 （1）均匀链条的重心在链条的中心。 （2）桌面光滑时，链条滑落过程中机械能守恒。 巩固练习 9 .如图所示，总长度为 l，质量为 m的柔软链条一半放置在水平粗糙桌面，另一半悬置空中。由静止释放链条，链条左端点离开桌面前的过程中阻力做功为 W。当链条左端点离开桌面时链条处于竖直状态，重力加速度为 g，此时链条的动能为（　　） A. B. C. D. 【教法备注】 中 【答案】 B 【解析】 【详解】如图所示，桌面上的一半链条的重心下移 由动能定理 得 10 .(多选)如图所示，一长为，质量为的匀质链条，开始时用手按住端，放在距地面高的光滑的桌面上，有的长度悬在桌边缘，松手后链条开始运动滑离桌面，下列说法正确的是（        ）    A.链条开始运动到触地前机械能守恒 B.链条滑离桌面过程中动能在增加 C.链条全部滑离桌面时重力势能减少 D.链条刚好触到地面时的速度大小为 【教法备注】 中 【答案】 ABC 【解析】 无解析 11 .如图所示，一质量为、半径为的铁球，用一细线拴住，慢慢地放入横截面积为、深度为的水中．已知水的密度为，在铁球从刚与水面接触至与杯底接触的过程中，求： ( 1 )铁球的重力势能的增加量． ( 2 )水的重力势能的增加量． 【教法备注】 中 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)铁球下落到杯底的过程中，铁球重力势能的增加量为：． (2)设此过程水面上升了， 因为上升的水的体积等于铁球的体积， 故， 解得：， 上升的水的质量为：， 故水的重力势能的增加量为： ． 学生总结 二、功能关系 （一）功和能的关系 功能关系：做功等于能量变化 能量转化是与做功紧密地联系在一起的。力做功时，必然伴随着能量的转化，而且功与能量转化的量值是相等的。这一等量关系不仅提供了计算功的大小的另一种途径，而且涉及功与能的其他物理量也可能在这一等量关系中求出。在力学中，常涉及以下几种力的功引起的相应的能量变化的等量关系： （1）合外力所做的功或外力所做功的代数和等于物体或物体系动能的变化 ——动能定理； （2） 除了重力和弹力外，其他力对物体系所做的功等于物体系机械能的变化 ——功能原理； （3）重力或弹力对物体所做的功与 重力势能或弹性势能的变化数值 相等； （4）两物体间滑动摩擦力对物体系所做的功与 物体系增加的内能数值 相等。 （二）能量守恒 能量守恒：能量既不会消灭，也不会创生， 它只会从一种形式转化为其他形式， 或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中， 能量的总量保持不变 经典例题 12 .(多选)如图甲所示，在倾角为 θ的固定粗糙斜面体上，有一个质量为 m的物体在沿斜面方向的力 F的作用下由静止开始向下运动，物体与斜面之间的动摩擦因数为 μ，物体的机械能 E随位移 x的变化关系如图乙所示。其中0~ x1过程的图线是曲线， x1~ x2过程的图线为平行于 x轴的直线，重力加速度为 g，则下列说法中正确的是（　　） A.在0~ x2过程中，物体先加速后匀速 B.在0~ x1过程中，物体的加速度一直减小 C.在 x1~ x2过程中，物体的加速度为 gsin θ D.在0~ x2过程中，拉力 F做的功为 WF＝ E2－ E1＋ μmgcos θ· x2 【教法备注】 中  考察题型：功能关系 【答案】 CD 【解析】 【分析】【详解】ABC．物体受力分析如图所示，物体由静止开始向下运动，根据牛顿第二定律有 mgsin θ＋ F－ Ff＝ ma 且 Ff＝ μmgcos θ 由题图乙知，在0~ x1过程中物体的机械能减少，即 Δ E＝（ F－ μmgcos θ） x<0 由 E－ x图像斜率减小知 F增大，则加速度增大，所以物体做加速度增大的加速运动，在 x1~ x2过程中，由题图乙知斜率为零，则 F＝ μmgcos θ 此时加速度为 gsin θ，物体做匀加速运动，AB错误，C正确；D．在0~ x2过程中，拉力做的功为 WF＝ E2－ E1＋ μmgcos θ· x2 D正确。故选CD。 13 .有一固定轨道如图所示，段为四分之一光滑圆弧轨道，其半径为，段是水平光滑轨道，段是光滑斜面轨道，和斜面间用一小段光滑圆弧连接．有编号为、、、完全相同的个小球（小球不能视为质点，其半径)，紧挨在一起从圆弧轨道上某处由静止释放，经平面到斜面上，忽略一切阻力，则下列说法正确的是（    ） A.四个小球在整个运动过程中始终不分离 B.在圆弧轨道上运动时，号球对号球不做功 C.在斜面轨道上运动时，号球对号球做正功 D.号球在斜面轨道上运动的最大高度与号球初始位置等高 【教法备注】 中  考察题型：功能关系 解：A、在下滑的过程中，前面的小球加速度小，而后面的小球加速度大，则后面的小球对前面的小球要向前压力的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球与前面的小球运动情况完全一致，所以4个小球在运动过程中始终不会散开，故A正确； B、由A分析知，后面的小球挤压前面的小球，故2号球对3号球做功，故B错误； C、在CD斜面轨道上运动时，四个小球加速度相同，都是重力的分力提供加速度，a=gsind，小球间没有相互作用力，2号球对3号球不做功，C错误； D、根据能量守恒，在圆弧上4个球的质心与斜面上 4个球的质心是相同高度，由于在圆弧上4个球的质心不在中间，因此4号球在CD斜面轨道上运动的最大高度比1号球初始位置高．故D错误. 故选A. 【答案】 A 【解析】 无解析 知识点总结 对于两个及两个以上物体构成的系统进行分析：是否有外力对系统做功 两个连接物体速度的关联实质：沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等 对多个物体组成的系统，要注意判断多物体系统是否整体机械能守恒、单一物体的机械能变化 巩固练习 14 .(多选)如图所示，粗糙斜面体静置于水平地面上，一木块从斜面底端开始以某一初速度沿斜面上滑，然后又返回出发点，在木块运动的过程中斜面体始终保持静止．下列能大致描述木块整个运动过程中的速度、地面对斜面体的摩擦力、木块动能、木块机械能与时间之间关系的图像是（图以初速度方向为正方向，图以水平向左为正方向）（    ） A. B. C. D. 【教法备注】 中 【答案】 BC 【解析】 设木块和斜面间的动摩擦因数为，斜面倾斜角为，木块的质量为，斜面的质量为． A选项：对木块进行受力分析，由牛顿第二定律可得： 上滑时，有： 下滑时，有：； 故上滑时做加速度大小的匀减速运动；下滑时做加速度为：的匀加速运动； 因，故图像上滑时图像的倾角比下滑时大，故A错误； B选项：对木块和斜面整体，根据牛顿第二定律得： 木块上滑时整体水平方向有：，大小保持不变，方向水平向左； 木块下滑时整体水平方向有：，大小保持不变，方向水平向左，且有．故B正确． C选项：上滑时，有：，动能为 ，所以，图像是开口向上的抛物线的一部分（在减小）；下滑时，同理可知图像是开口向上的抛物线的一部分，在增大，故C正确； D选项：根据功能关系可得：，得：，知图像是开口向上的抛物线的一部分（在减小），故D错误； 故选BC． 15 .(多选)如图，竖直平面内放一直角杆，水平和竖直部分套有质量均为1kg的滑块A、B，两滑块之间用长0.5m的轻绳连接，杆的水平部分粗糙，滑块与杆的动摩擦因数，杆的竖直部分光滑。图示时刻，轻绳与竖直杆的夹角为45°，物块A在恒为 F＝20N的水平拉力作用下从静止开始向右运动。从图示时刻起在A向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A. F的功率一直增大 B.滑块B的机械能不变 C.滑块A受到的摩擦力逐渐增大 D.运动过程中滑块B的速率不可能比滑块A的速率小 【教法备注】 中 【答案】 D 【解析】 【详解】A．从图示时刻起的过程中， A的初速度为零，当 B物体接近 O点后， A的速度也为零，则 A的速度先增大后减小，根据功率公式 F的功率先增大后减小，A错误；B．滑块 B在绳子的作用下，向上运动，重力势能变大，同时带有动能，滑块 B的机械能变大，B错误；C．对 A、B整体受力分析，受拉力 F、重力 G、支持力 N，向左的摩擦力 f和向右的弹力 N1,根据牛顿第二定律可知，水平方向 竖直方向 其中 B加速度先增大后减小，则 A对水平杆的压力先变大后变小。 A受到的摩擦力先增大后减小，C错误；D．因为绳子不可伸长，根据运动的合成与分解，则有 θ角从 45°逐渐增大，则 D正确；故选D。 学生总结 （三）弹簧连接体问题 1. 含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化， 物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒。 2.含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，要注意 物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关 ，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。 3.弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功 与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等。 4. 由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时， 弹簧两端连接的物体具有相同的速度 ；弹簧处于自然长度时， 弹簧弹性势能最小(为零)。 经典例题 16 .(多选)如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图乙如示，则下列判断正确的是（    ）                  A.时刻小球动能最大 B.时刻小球动能最小 C.时间内小球的动能先增加后减少 D.时间内小球、地球和弹簧系统机械能守恒 【教法备注】 易  考察题型：弹簧问题 【答案】 BCD 【解析】 时刻小球刚接触弹簧时弹簧的弹力还是零，小球仍向下加速，当弹力增加到与重力等大时，小球速度最大． 故选BCD． 17 .质量为的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上，钢板处于平衡状态．一质量也为的物块从钢板正上方高为的处自由落下，打在钢板上并与钢板一起向下运动后到达最低点，已知重力加速度为，空气阻力不计．下列说法正确的是（        ） A.物块和钢板一起运动到最低点过程物块的机械能守恒 B.从物块下落到一起运动到最低点的过程物块、钢板和弹簧组成的系统机械能守恒 C.物块和钢板一起运动到最低点过程中弹簧弹性势能的增加量为 D.物块和钢板一起运动到最低点过程中弹簧弹性势能的增加量为 【教法备注】 中  考察题型：弹簧问题 【答案】 C 【解析】 【详解】A．物块和钢板一起运动到最低点过程，钢板对物块的弹力做负功，则物块的机械能减少，故A错误；B．由于物块与钢板碰撞过程存在机械能损失，则从物块下落到一起运动到最低点的过程物块、钢板和弹簧组成的系统机械能不守恒，故B错误；CD．物块下落过程，做自由落体运动，则有 物块与钢板碰撞过程，根据动量守恒可得 解得 物块和钢板一起运动到最低点过程中，根据能量守恒可得 可得弹簧弹性势能的增加量为 故C正确，D错误。故选C。 18 .(多选)如图所示，竖直平面内固定一根竖直的光滑杆和水平光滑杆，两杆在同一平面内，不接触，水平杆延长线与竖直杆的交点为．质量为的小球套在竖直杆上，上端固定在杆上的轻质弹簧的另一端与小球相连．另一质量为的小球套在水平杆上，小球、用长为的轻杆通过铰链分别连接．在外力作用下，当轻杆与水平杆成斜向左上时，轻质弹簧处于原长，系统处于静止状态．撤去外力，小球在竖直杆上做往复运动，下降的最大距离为．已知轻质弹簧的弹性势能，为弹簧的形变量，为轻质弹簧的劲度系数，整个过程轻质弹簧始终处在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度大小为，，．则下列说法正确的是（    ） A.轻质弹簧的劲度系数为 B.小球运动到点时的速度大小为 C.从撤去外力到轻杆与水平杆成斜向左上的过程，轻杆对小球做的功为 D.小球从最高点运动到点的过程，水平杆对小球的作用力始终大于 【教法备注】 难  考察题型：弹簧问题 【答案】 AC 【解析】 无解析 知识点总结 由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力（除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒 在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大 如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放) 巩固练习 19 .如图所示，足够长的竖直固定杆上套一劲度系数为 k的轻质弹簧，弹簧下端悬挂质量为 m的物块B，上端连接一轻质小球，物块B与杆间无摩擦，小球A与杆之间的最大摩擦力为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g，忽略空气阻力．求： ( 1 )B静止时，弹簧伸长量 x； ( 2 )若将物块B拉至弹簧原长处由静止释放， ① 物块的最大速度； ② 整个过程中，因摩擦产生的内能 Q． 【教法备注】 中 【答案】 (1)； (2)①， ② 【解析】 (1)B静止时，根据平衡条件，有 解得 (2)①当B的加速度为零时，速度有最大值，此时B下落x，此时的弹力为 结合题意可知 所以A不动，B与弹簧构成的系统机械能守恒，即 联立可得 ②设系统再次静止时，小球A下滑的距离为 L，此时弹簧伸长量为 x；根据功能关系可得： 其中 Q=1.2 mgL 联立解得 20 .如图所示，一轻弹簧的一端固定在倾角为的光滑斜面底端，另一端连接一质量为3kg的物块A，系统处于静止状态．若在斜面上紧靠A上方处轻放一质量为2kg的物块B，A、B一起向下运动到最低点 P（图中 P点未画出），然后再反向向上运动到最高点，对于上述整个运动过程，下列说法正确的是（已知，，重力加速度 g取）（    ） A.两物块沿斜面向上运动的过程中弹簧可能恢复原长 B.在物块B刚放上的瞬间，A、B间的弹力大小为12N C.在最低点 P，A、B间的弹力大小为16.8N D.在最低点 P，弹簧对A的弹力大小为30N 【教法备注】 中 【答案】 C 【解析】 【详解】A．根据系统机械能守恒可知，A、B一起反向向上运动到最高点为一开始A处于静止的位置，则两物块沿斜面向上运动的过程中弹簧不可能恢复原长，故A错误；B．在物块B刚放上的瞬间，以A、B为整体，根据牛顿第二定律可得 解得 以B为对象，根据牛顿第二定律可得 联立解得A、B间的弹力大小为 故B错误；CD．在最低点 P，根据对称性可知，此时A、B的加速度方向沿斜面向上，大小为 以A、B为整体，根据牛顿第二定律可得 解得弹簧对A的弹力大小为 以B为对象，根据牛顿第二定律可得 解得A、B间的弹力大小为 故C正确，D错误。故选C。 21 .如图所示，在竖直方向上、两物体通过劲度系数为的轻质弹簧相连，放在水平地面上；、两物体通过细绳绕过轻质定滑轮相连，放在固定的光滑斜面上．用手拿住，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证段的细线竖直、段的细线与斜面平行．已知、的质量均为，的质量为，重力加速度为，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放后它沿斜面下滑，刚离开地面时，获得最大速度，求： ( 1 )从释放到物体刚离开地面时，物体沿斜面下滑的距离． ( 2 )斜面的倾角． ( 3 )的最大速度． 【教法备注】 中 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)设开始时弹簧的压缩量为，则 ① 设当物体刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为，则 ② 当物体刚离开地面时，物体上升的距离以及物体沿斜面下滑的距离均为 ③ 由①②③式解得 ④ 故答案为：． (2)物体刚刚离开地面时，以为研究对象，物体受到重力、弹簧的弹力、细线的拉力三个力的作用， 设物体的加速度为，根据牛顿第二定律， 对物体有：⑤ 对有：⑥ 由⑤、⑥两式得 ⑦ 当获得最大速度时，有⑧ 由②⑦⑧式联立，解得⑨ 所以：． 故答案为：． (3)由于，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体刚刚离开地面时，、两物体的速度相等， 设为，以、及弹簧组成的系统为研究对象， 由机械能守恒定律得：⑩ 由④、⑨、⑩式，解得：． 故答案为：． 学生总结 真题演练 22 .(多选)如右图所示，三个小球ABC的质量均为 m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为 L，B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长．现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角 α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为 g．则在此过程中（    ） A.A的动能最大时，B、C的动能均为零 B.A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于 C.弹簧的弹性势能最大时，A的加速度为0 D.弹簧的弹性势能最大值 【教法备注】 中（多选题目） 【答案】 BD 【解析】 【详解】A．A的加速度为零时速度最大，此时仍有向下的速度，弹簧要继续伸长，B、C继续运动，故二者动能不为零，故A错误；B．在A的动能达到最大前一直是加速下降，处于失重情况，所以B受到地面的支持力小于，故B正确；C．当A达到最低点时动能为零，此时弹簧的弹性势能最大，A的加速度方向向上，不为零，故C错误；D．A球达到最大动能后向下做减速运动，到达最低点时三个小球的动能均为零，由机械能守恒定律得，弹簧的弹性势能为 故D正确。故选BD。 （四）板块传送带问题 板块、传送带模型的特征是以摩擦力的转换为纽带来联系传送带和物体的相对运动 物体随传送带的运动有匀加速直线运动和匀速直线运动，有受滑动摩擦力、静摩擦力以及不受摩擦力三种情况 处理这类问题时只要分析传送带施加给物体的摩擦力特点、抓住临界条件、挖掘隐含条件，运用牛顿运动定律、运动学公式、功能关系和能量守恒定律列出方程就可解决 经典例题 23 .如图所示，木板A静止于光滑水平面上，木块B轻置于木板A上。现施加外力 F拉着木块B做匀加速直线运动，木板A在摩擦力作用下也向右加速运动，但加速度小于木块B的加速度，则（　　） A.木板A所受摩擦力对木板A做负功 B.木板A对木块B的摩擦力做的功与木块B对木板A的摩擦力做的功的大小相等 C.木块与木板间摩擦产生的热量等于木板A对木块B的摩擦力做功的大小减去木块B对木板A的摩擦力做的功 D.力 F做的功等于木块B与木板A的动能增量之和 【教法备注】 中  考察题型：板块问题 【答案】 C 【解析】 【详解】A．木板A所受摩擦力方向与其运动方向相同，对木板A做正功，故A错误；B．木板A对木块B的摩擦力做的功大小为 木块B对木板A的摩擦力做的功大小为 由题意得的大小与的大小相等，但，所以两者做功大小不相等，故B项错误；C．摩擦生热的计算公式为 又因为 所以有 故C项正确；D．根据能量守恒有，力 F做的功等于木块B和木块A动能的增量之和，再加上A、B相对运动产生的热量，故D项错误。故选C。 24 .(多选)如图所示，竖直平面内有一长为的水平传送带以的速度逆时针传动，传送带左端固定有一半径为的光滑竖直半圆轨道，点和点分别位于传送带左端的正上方和正下方，点为半圆轨道的最左端，半圆轨道在点与水平滑道水平相切，一个质量为的物块轻放在传送带右端，与传送带左端间的缝隙恰好可容物块通过，物块由传送带右端沿轨道运动并最后停在水平滑道上．已知物块与传送带间的动摩擦因数为，物块与水平滑道间的动摩擦因数为，物块可视为质点，重力加速度．下列说法正确的是（    ） A.物块在传送带上运动的时间为 B.物块运动到传送带左端时的速度大小为 C.物块到达半圆轨道最左端点时对轨道的压力大小为 D.物块所停位置距点的距离为 【教法备注】 中  考察题型：传送带问题 【答案】 AD 【解析】 AB．物块在传送带上做加速运动的加速度为 物块在传送带上做加速运动的时间为 物块在传送带上做加速运动的位移为 物块运动到传送带左端时的速度大小为，物块在传送带上匀速运动的时间为 物块在传送带上运动的时间为 故A正确，B错误； C．物块点到达半圆轨道最左端点，根据动能定理有 物块到达半圆轨道最左端点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，物块到达半圆轨道最左端点时对轨道的压力大小为，故C错误； D．物块从点到停在水平滑道上，根据动能定理有 物块所停位置距点的距离为 故D正确． 故选AD． 25 .如图所示，放在足够大的水平桌面上的薄木板的质量，木板右端叠放着质量的小物块，整体处于静止状态．已知物块与木板间的动摩擦因数，木板与桌面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小，薄木板足够长．现对木板施加水平向右的恒定拉力，当木板向右运动的位移时，撤去拉力，木板和小物块继续运动一段时间后静止．求∶ ( 1 )撤去拉力时，木板的速度的大小． ( 2 )从木板开始运动到撤去拉力的过程中，木板和物块间的摩擦力对物块做的功． ( 3 )整个过程中因摩擦而产生的热量． 【教法备注】 中 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)假设对木板施加水平向右的恒定拉力大小为时，小物块与木板恰好不发生相对滑动，此时小物块与木板间的摩擦力为最大静摩擦力 设小物块此时的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 对整体有 解得 故对木板施加水平向右的恒定拉力时，小物块与木板保持相对静止，从木板开始运动到撤去拉力，对木板和小物块整体分析，根据动能定理有 ， 解得 ． (2)从木板开始运动到撤去拉力的过程中，对小物块分析，根据动能定理有 (3)从木板开始运动到撤去拉力，因摩擦产生的热量 从撤去拉力到木板和小物块再次静止，因摩擦产生的热量 整个过程中因摩擦而产生的热量 ． 知识点总结 综合解题技巧1．动力学方法： 利用牛顿运动定律结合运动学规律求解力学问题 2．能量的观点： 利用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律以及一些功能关系求解力学问题 3．应用方法： 涉及动力学方法和能量观点的综合题，应根据题目要求灵活选用公式和规律 ①涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律 ②用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律求解过程要简单，变力作用下的问题只能用能量观点 ③涉及动能与势能的相互转化，单个物体或系统机械能守恒问题时，通常选用机械能守恒定律 巩固练习 26 .如图所示为一传送带装置模型，固定斜面的倾角为，底端经一长度可忽略的光滑圆弧与足够长的水平传送带相连接，可视为质点的物体质量，从高的斜面上由静止开始下滑，它与斜面的动摩擦因数，与水平传送带的动摩擦因数，已知传送带以的速度逆时针匀速转动，，， g取，不计空气阻力．求： ( 1 )物块第一次滑到斜面底端时的速度． ( 2 )物体从滑上传送带到第一次离开传送带的过程中与传送带摩擦产生的热量． ( 3 )物体第一次离开传送带后滑上斜面，它在斜面上能达到的最大高度． 【教法备注】 中 【答案】 (1) (2) (3) 【解析】 (1)设物体第一次滑到底端的速度为，根据动能定理有 解得 (2)在传送带上物体的加速度大小为 解得 物体在传送带上向右运动到速度为0所用时间为 解得 由于 由运动的对称性可知返回时间也为，则从滑上传送带到第一次离开传送带经历的时间为 物体的位移为0，物体相对传送带的位移即传送带的位移为 则摩擦产生的热量为 (3)物体第一次返回到传送带左端的速度为 物体以速度从底端冲上斜面达最大高度，设最大高度为，由动能定理得 解得 27 .如图所示，有一个质量为 的小物块（可视为质点），从光滑平台上的 点以 的初速度水平抛出，到达 点时，恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道 ，最后小物块滑上紧靠轨道末端 点的长木板．已知足够长的长木板质量为 ，放在粗糙的水平地面上，长木板下表面与地面间的动摩擦因数 ，长木板上表面与小物块间的动摩擦因数 ，且与圆弧轨道末端切线相平，圆弧轨道的半径为 ，半径 与竖直方向的夹角 （不计空气阻力，，，．求： ( 1 )小物块到达 点时的速度大小； ( 2 )小物块与长木板因摩擦而产生的热量． 【教法备注】 难 【答案】 (1)； (2) 【解析】 (1)小物块平抛运动至 点时，对速度进行分解，如图所示     因小物块恰好沿切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，则有： 代入数据解得 (2)小物块从 运动到 的过程中，由动能定理可得： 代入数据解得 小物块滑上长木板后做匀减速直线运动，对物块根据牛顿第二定律可得： 解得小物块减速运动的加速度大小为 长木板做匀加速直线运动，对长木板根据牛顿第二定律可得： 可得长木板的加速度大小为 设经过 时间二者共速，则有： 小物块的位移 长木板的位移 又 小物块与长木板因摩擦而产生的热量： 联立方程解得 28 .如图所示，半径的光滑圆弧轨道与足够长的传送带在处平滑连接，为圆弧轨道的圆心，点为圆弧轨道的最低点，半径、与的夹角分别为和．传送带以的速度沿顺时针方向匀速转动，将一个质量的煤块（视为质点）从点左侧高为处的点水平抛出，恰从点沿切线方向进入圆弧轨道．已知煤块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，．求： ( 1 )煤块水平抛出时的初速度大小； ( 2 )煤块第一次到达圆弧轨道上的点对轨道的压力大小； ( 3 )煤块第一次离开传送带前，在传送带上留下痕迹可能的最长长度．(结果保留位有效数字) 【教法备注】 难 【答案】 (1)煤块水平抛出时的初速度大小为； (2)煤块第一次到达圆弧轨道上的点对轨道的压力大小为； (3)煤块第一次离开传送带前，在传送带上留下痕迹可能的最长长度为． 【解析】 (1)物体在抛出后竖直方向做自由落体运动，竖直方向有： 物体恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道，则： 得： (2)煤块在的过程中由动能定理： 在D点由牛顿第二定律： 解得：， ， 又有牛顿第三定律知在点对轨道的压力大小为 (3)因 所以，煤块先沿传送带向上做匀减速运动，然后做匀变速运动返回，设总时间为． 在沿传送带向上匀减速由牛顿第二定律：， 后面的匀变速阶段由牛顿第二定律：， 解得：， 对煤块从滑上到滑下传送带有运动学公式： 解得：， 由题意可知，当传送带最前沿的痕迹与最后痕迹不重叠时，痕迹最长，此时有： 学生总结 三、课堂总结    四、出门测 29 .(多选)如图所示，重的滑块在倾角为的斜面上从点由静止开始下滑，到点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到点，开始弹回，返回点离开弹簧，最后又回到点，已知，．那么，下列说法正确的是（    ） A.整个过程中滑块动能的最大值为 B.整个过程中弹簧弹性势能的最大值为 C.从点运动到点的过程中弹簧弹力对滑块做功 D.整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒 【教法备注】 中 【答案】 BCD 【解析】 A．根据题意分析可知，当滑块所受合力为零时，速度最大，滑块的动能最大，由于点为最低点，则速度最大之处在之间，设该位置为点，此时的动能为，克服弹簧做功为，由动能定理有 由于 则有 故A为错误选项；B．根据题意分析可知，点为最低点，此时弹簧的弹性势能最大，从过程中，设此过程克服弹簧做功为，由动能定理有 解得 则弹簧的最大弹性势能为，故B为正确选项；C．从 c点运动到 b点的过程中，弹簧对滑块做功，弹簧的弹性势能全部转化为滑块的机械能，则从 c点运动到 b点的过程中弹簧弹力对滑块做6J功，故C为正确选项；D．从出发最后可以回到点，说明整个过程中弹簧、滑块与地球组成的系统机械能守恒，故D为正确选项。故答案为BCD。 30 .(多选)如图所示，水平面上固定一倾角为的斜面，质量为的物块静止于斜面上，用不可伸长的细绳通过光滑定滑轮与沿竖直方向的弹簧连接，弹簧下端与质量为的物块连接，初始时，用手托住物块，细绳恰好伸直且弹簧处于原长状态．某时刻撤去手，物块开始运动，物块在撤去手前后始终保持静止状态，已知，则下列说法正确的是（    ） A.与斜面间的最大静摩擦力至少为 B.与斜面间的最大静摩擦力至少为 C.从释放到第一次运动至最低点的过程中，合外力对先做正功后做负功 D.从释放到第一次速度最大的过程中，弹簧弹性势能的增加量等于重力势能的减小量 【教法备注】 中 根据简谐运动的对称性，分别分析两物块两种情况下的受力情况，根据共点力平衡，即可求解B与斜面间的最大静摩擦力； 根据物块的运动情况，结合动能定理，即可判断合力做功情况； 根据系统机械能守恒即可判断弹簧弹性势能的增加量与A重力势能的减小量的大小关系。 【答案】 AC 【解析】 暂无 学科网（北京）股份有限公司 $$