北京市海淀区2024-2025学年下学期八年级数学期末复习训练卷

2024-2025学年北京市海淀区八年级下册数学期末复习训练卷 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程 时，首先要确定 ， ， 的值，下列叙述正确的是（ ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（       ） A．有一个角是直角的平行四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是正方形 C．四边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是矩形 5．一元二次方程的解是（       ） A． B． C．， D． 6．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．函数的图象不经过第一象限 C．函数的图象与x轴的交点坐标是 D．函数的图象向上平移5个单位长度得的图象 7．跳远运动员小李在一次训练中，先跳了6次的成绩（单位：）如下：，，，，，,这6次成绩的平均数为，方差为.若小李再跳一次，成绩为，则小李这7次跳远成绩与前6次的成绩相比较，其方差（ ） A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 8．定义新运算：，则对于函数，下列说法正确的是（    ） A．该函数图像经过点 B．该函数不经过第四象限 C．当时， D．随增大而减小 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．函数y＝的自变量x的取值范围是 ． 10．已知一个样本的容量为100，把样本中的数据分成5个组．若第一、二、三组的频数和为60，第五组的频率为，则第四组的频数为 ． 11．已知两组数据3，，，5与，6，的平均数都是6，则 ；若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的方差为 . 12．如图，五边形是正五边形，点在上，若， ，则  . 13．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 14．如图，，是四边形的对角线，点，分别是，的中点，点，分别是，的中点，顺次连接，，，，若，则四边形的周长是 ． 15．已知直线：和直线：，其中k为不小于2的自然数．当时，直线，的交点坐标为 ，此时直线，与x轴围成的三角形的面积 ；当，3，4，…，2024时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则 ． 16．如图，点是矩形的对角线上的点，点，分别是，的中点，连接，．若，，则的最小值为 ．    三、解答题（本大题共11小题，共60分） 17．解方程：． 18．如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题： （1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？ 19．为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校八年级学生9月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（简称“读书量”）进行了随机抽样调查，对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）请直接补全条形统计图； （2）本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为 本，中位数为 本； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级1000名学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数． 20．如图，四边形是平行四边形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若直线分别交于E，F两点，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 21．今年通州区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．如图，某小区规划在长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中的小路分别与AB和AD平行，其余部分种草．通过测量可知草坪的总面积为112m2，求小路的宽． 22．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）给k取一个负整数值，解这个方程． 23．在平面直角坐标系中，直线经过点与直线平行，且与轴交于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）点在过点且与轴垂直的直线上，的面积为，直接写出点的坐标； （3）当时，直线都在直线的下方，直接写出的取值范围． 24．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为，，且满足，求的取值范围． 25．如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，不用圆规、量角器等工具，只用无刻度的直尺作图． （1）如图1，在BC上找点F，使点F是BC的中点； （2）如图2，连接AC，在AC上取两点P，Q，使P，Q是AC的三等分点． 26．某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，作了如下探究，在中，，点D为直线上一动点，（点D与不B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． (1)观察猜想 如图①当点D在线段上时，①与的位置关系为____________； ②之间的数量关系为____________（将结论直接写在横线上）． (2)数学思考 如图②，当点D在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出结论，若不成立，请写出正确的结论再予以证明； (3)拓展延伸 如图③，当点D在线段的延长线上时，延长交于点G，连接，若已知，请求出的长． 27．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点 M（x1，y1），N（x2，y2），M 与 N 的“直角距离”记为 dMN，dMN＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如，点 M（1，5）与 N（7，2）的“直角距离”dMN＝|1﹣7|+|5﹣2|＝9． (1)已知点 A（4，﹣1）． ①点 A 与点 B（1，3）的“直角距离”dAB＝ ； ②若点 A 与整点 C（﹣2，m）的“直角距离”dAC＝8，则 m 的值为 ； (2)小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图（如图所示）．为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站 P，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是 D（﹣2，﹣1）和 E（2，2）． ①若对于火警高危点 D 和 E，消防站 P 不仅要满足上述条件，还需要消防站 P 到 D，E 两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件消防站 P 的坐标可以是　　　（写出一个即可），所有满足条件的消防站 P 的位置共有 　　　　　个； ②在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点 F（4，﹣2），那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站 P 的坐标为 　　　　　． 参考答案 1．【答案】B 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】 A、是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选:B． 【点睛】 此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．【答案】B 【分析】根据一元二次方程的一般形式 判断，即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， 故此题答案为B 【关键点拨】此题考查了一元二次方程的一般式确定系数，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 3．【答案】A 【分析】先移项，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故此题答案为A． 4．【答案】C 【分析】 依据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法，即可得到正确结论． 【详解】 解：A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项不正确，不符合题意； B.两条对角线相等的菱形才是正方形，故本选项不正确，不符合题意； C.四边都相等的四边形是菱形，故本选项正确，符合题意； D.两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故本选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了矩形、菱形和正方形的判定，关键是熟练掌握每一种特殊四边形的判定方法． 5．【答案】C 【分析】 根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 解： 即或 解得， 故选C 【点睛】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6．【答案】C 【分析】根据一次函数性质可判断A，B选项；令，求得，可判断C选项；由函数图象平移规则“上加下减”可判断D选项，进而可求解． 【详解】解：对于一次函数，，， A、函数值随自变量的增大而减小，此选项结论正确，不符合题意； B、该函数图象经过第二、三、四象限，即不经过第一象限，此选项结论正确，不符合题意； C、令，由得， 则函数的图象与x轴的交点坐标是，此选项结论错误，符合题意； D、函数的图象向上平移5个单位长度得即的图象，此选项结论正确，不符合题意. 故选C． 7．【答案】B 【解析】 小李第7次跳远的成绩为， 这7次跳远成绩的平均数是， 这7次跳远成绩的方差.， 小李这7次跳远成绩与前6次的成绩相比较,方差变小，故选B. 8．【答案】D 【分析】根据新运算“”的运算方法，得出与的函数关系式，再根据函数关系式逐一判断即可． 【详解】解：， ． A．当时，，所以该函数图像不经过点，故本选项不符合题意； B．该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； C．当时，，故本选项不符合题意； D．∵，∴随增大而减小，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象以及一次函数，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键． 9．【答案】x≥1且x≠3 【分析】根据分式、二次根式有意义的条件，构建不等式组即可解决问题； 【详解】解：由题意， ∴x≥1且x≠3， 故答案为∴x≥1且x≠3 【点睛】本题考查函数的自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式、二次根式有意义的条件，学会根据不等式组解决问题． 10．【答案】15 【分析】先计算出第五组的频数，再计算第四组的频数． 【详解】解：第五组的频数为：， 所以第四组的频数为： 11．【答案】8 【解析】两组数据3，，，5与，6，的平均数都是6，解得合并后新数据为3，8，8，5，8，6，4，新数据的平均数为6，方差为.故答案为8，. 【思路分析】先根据平均数的定义列出关于 ， 的二元一次方程组，解方程组求得 ， 的值，然后根据方差公式即可求解. 12．【答案】 【解析】如图,令与交于，过点作直线,,, , 五边形是正五边形, ,, , .故答案为 . 13．【答案】2或 【分析】 由题意可得根的判别式等于0，从而得到关于m的方程，进一步可得m的值．　 【详解】 解：由题意可得： （m+2）2-4×1×4=0， 即（m+2）2=16， ∴m+2=4或m+2=-4， ∴m=2或m=-6， 故答案为2或-6． 【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握根的判别式与根情况之间的联系是解题关键 ． 14．【答案】4 【分析】 根据三角形中位线定理即可求出四边形的边长，进而求出四边形的周长． 【详解】 解：点，分别是，的中点，点，分别是，的中点， 、、、分别为、、、的中位线， ∵AD=CD=2， ，， 四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查三角形的中位线，掌握三角形的中位线是解题的关键． 15．【答案】 1 【分析】先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，代入，可得出的值，利用三角形的面积公式可求出的值；分别代入求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为， ∴两直线与轴交点间的距离． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． 当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ． 16．【答案】 【详解】作点关于的对称点，过作交的延长于点，过作于点，连接交于点，连接，，    ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由对称得：垂直平分， ∵点是矩形的对角线上的点， ∴， ∴， 当三点共线即与重合时，的值最小， ∵，， ∴， 如图，连接交于点，    ∵四边形时矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴的最小值为 17．【答案】， 【分析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 18．【答案】（1）y=1.5x+4.5；（2）21 【详解】 （1）设y=kx+b． 由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15． 把它们分别代入上式，得 解得k=1.5，b=4.5． ∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x≥1）． （2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21． 即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm 19．【答案】（1）见解析；（2）3，3；（3）估计该校八年级学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生有300人． 【分析】 （1）由2本人数及其所占百分比可得总人数，再根据百分比之和为1求出读书4本的人数所占百分比，最后乘以总人数得到其人数即可补全图形； （2）根据众数、中位数的定义即可得出答案； （3）总人数乘以样本中“读书量”不少于4本的学生人数所占百分比即可． 【详解】 解：（1）抽样调查的学生总数为：=50（人）， “读书量”4本的人数所占的百分比是1-10%-10%-20%-40%=20%， “读书量”4本的人数有：50×20%=10（人）， 补全图1的统计图如下， （2）根据统计图可知众数为3， 把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数， 则中位数是=3（本）； 故答案为：3，3； （3）根据题意得，1000×（10%+20%）=300（人）， 答：估计该校八年级学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生有300人． 【点睛】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：四边形是菱形，理由如下： 设与交于点O． 由作图可知，垂直平分线段， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 21．【答案】小路宽为1米 【分析】 设小路宽为x米，根据草坪的总面积为112m2列方程即可． 【详解】 解：设小路宽为x米． 由题意可知 （16－2x）（9－x）＝112， 解得， ∵16－2x＞0， ∴x<8， ∴x＝16舍去， ∴x＝1， 答：小路宽为1米． 【点睛】 此题考查了一元二次方程的应用-几何问题，一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，掌握几何图形的性质，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22．【答案】（1）k＞﹣3；（2）取k=﹣2， x1=0，x2=2． 【详解】 【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可； （2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可． 【详解】（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0， 解得k＞﹣3； （2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0， 解得x1=0，x2=2． 【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 23．【答案】（1）， （2）或 （3）或 【分析】（1）设的解析式为：，根据待定系数法求解； （2）设，根据三角形的面积公式求解； （3）根据函数图象，数形结合求解． 【详解】（1）解：直线经过点与直线平行， 设的解析式为：代入 则， 解得：， ， 当时，， 解得：， ； （2）设， 的面积为， ， 解得：或， 的坐标为或 （3）当直线经过点时，， 当直线和直线平行时，， 根据函数图象，当时，直线都在直线的下方时，或． 24．【答案】(1)m的取值范围是； (2)m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式得出，求出不等式的解集即可； （2）求出，再代入计算即可解答， 熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键． 【详解】（1）解：方程整理得， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 即m的取值范围是； （2）解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故m的取值范围． 25．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】 （1）根据矩形的对角线相等且互相平分作出图形即可； （2）根据矩形的性质和三角形中位线定理作出图形即可． 【详解】 （1）如图1，连接AC、BD交于点O，延长EO交BC于F，则点F即为所求． 证明如下： ∵ABCD是矩形， ∴BO=OD，AD∥BC，AD=BC， ∴∠EDO=∠FBO． ∵∠EOD=∠FOB， ∴△EOD≌△FOB， ∴ED=FB=AD=BC， ∴F为BC的中点． （2）如图2，BD交AC于O，延长EO交BC于F． 连接EB交AC于P，连接DF交AC于Q，则P、Q即为所求． 证明如下： 由（1）可得：F为BC的中点， ∴ED=BF=AE=FC，ED∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴BE∥FD． ∵FC=BF， ∴CQ=PQ． ∵AD∥BC， ∴∠EAC=∠FCA，∠ADQ=∠CFQ． ∵BE∥FD， ∴∠AEP=∠ADQ， ∴∠AEP=∠CFQ． 在△AEP和△CFQ中， ∵∠EAC=∠FCA，AE=CF，∠AEP=∠CFQ， ∴△AEP≌△CFQ， ∴AP=CQ， ∴AP=PQ=CQ， ∴P，Q是AC的三等分点． 【点睛】 本题考查了作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键． 26．【答案】(1)①；② (2)成立；不成立，．理由见详解 (3)5 【分析】（1）根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论；由正方形的性质可推出，根据全等三角形的性质得到，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的性质得到，由即可解答． 【详解】（1）解：①∵正方形中，， ， ， 在和中 ， ， ， ∴， 即； 故答案为 ； ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为 ； （2）成立；不成立，．理由如下： ∵正方形中，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ， ． （3）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． ， ． ∵， ， ， ∴． 27．【答案】(1)①7；②1或 (2)①(-1，1)；8；②(2，-1) 【分析】（1）①根据直角距离的定义直接解答即可； ②根据直角距离的定义直接解答即可； （2）①先根据直角距离的定义求出直角距离，和的长，根据它们之差的绝对值最小求出点的坐标，确定点的个数； ②首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为10，再求出消防站点的坐标即可． 【详解】（1）①，， 直角距离； ②根据题意可得，即， 或， 解得：或； （2）①，， 直角距离， 点到，两个点的“直角距离”之和最小值为7， 点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小， ，或， 点的坐标可以是或或， 满足条件的消防站点的位置如图所示， 满足条件的消防站点的位置共有8个 ②如图， ，，， ，， 满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为， 消防站的坐标为(2，-1) 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$