专题02 函数与导数（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题02 函数与导数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 函数模型及应用 （5年3考） 2025北京卷、2024北京卷、2022北京卷 近五年高考命题显示，本节内容为高考重点。函数单调性、奇偶性、对称性、周期性是必考知识点，尤其周期性、对称性、奇偶性常相互结合，并与函数图像、零点及不等式综合考查。导数及其应用在高考中的考查较为稳定，是重点内容。面对高考相关试题，关键在于把握导数是研究函数的有力工具，借助图像直观呈现函数单调性、极值、最值等本质问题。无论试题如何变化，最终都要聚焦于函数的单调性与最值，它们是导数考查的核心所在，做好具体问题转化即可。 考点2 基本初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 （5年4考） 2025北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点3 比较大小问题 （5年1考） 2024北京卷 考点4 函数与方程的综合问题 （5年3考） 2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点5 函数及其表示 （5年3考） 2023北京卷、2022北京卷、2022北京卷 考点6 双变量问题 （5年2考） 2025北京卷、2022北京卷 考点7 零点问题 （5年1考） 2024北京卷 考点8 极最值问题 （5年2考） 2023北京卷、2021北京卷 考点01 函数模型及应用 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 考点02 基本初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 7．（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 考点03 比较大小问题 8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 考点04 函数与方程的综合问题 9．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 10．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 11．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 考点05 函数及其表示 12．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 13．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 14．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 考点06 双变量问题 15．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 16．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 考点07 零点问题 17．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 考点08 极最值问题 18．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 19．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 1．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京大兴·三模）已知定义在上的函数满足如下三个条件： ①，有； ②，有； ③，． 则下列说法正确的是（    ） A．，有， B．，有， C．函数的递减区间为， D．当时， 4．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 5．（2025·北京海淀·模拟预测）若集合是函数的定义域，，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京海淀·三模）已知函数，且函数在，内恰有2025个零点，则满足条件的有序数对（    ） A．有且仅有1对 B．有且仅有2对 C．有且仅有3对 D．有无数对 7．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·北京·三模）已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 12．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 13．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 14．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 15．（2025·北京西城·一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； ④满足的点构成的区域的面积为8． 其中，所有正确结论的序号是 ． 16．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 17．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 18．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 19．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 函数模型及应用 （5年3考） 2025北京卷、2024北京卷、2022北京卷 近五年高考命题显示，本节内容为高考重点。函数单调性、奇偶性、对称性、周期性是必考知识点，尤其周期性、对称性、奇偶性常相互结合，并与函数图像、零点及不等式综合考查。导数及其应用在高考中的考查较为稳定，是重点内容。面对高考相关试题，关键在于把握导数是研究函数的有力工具，借助图像直观呈现函数单调性、极值、最值等本质问题。无论试题如何变化，最终都要聚焦于函数的单调性与最值，它们是导数考查的核心所在，做好具体问题转化即可。 考点2 基本初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 （5年4考） 2025北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点3 比较大小问题 （5年1考） 2024北京卷 考点4 函数与方程的综合问题 （5年3考） 2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点5 函数及其表示 （5年3考） 2023北京卷、2022北京卷、2022北京卷 考点6 双变量问题 （5年2考） 2025北京卷、2022北京卷 考点7 零点问题 （5年1考） 2024北京卷 考点8 极最值问题 （5年2考） 2023北京卷、2021北京卷 考点01 函数模型及应用 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 考点02 基本初等函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 4．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论： ①存在在上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】对于①，若存在在上的增函数，满足， 则，即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 6．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 7．（2021·北京·高考真题）函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 【答案】D 【解析】由题意，，所以该函数为偶函数， 又， 所以当时，取最大值. 故选：D. 考点03 比较大小问题 8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 考点04 函数与方程的综合问题 9．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【解析】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下， 显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小， 当时，，当且接近于处，， 此时，， 当时，且接近于处，的距离最小， 此时；故③正确； 对于④，取，则的图像如下， 因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 10．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【解析】若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 11．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 考点05 函数及其表示 12．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【解析】函数，所以. 故答案为：1 13．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则 ； ． 【答案】 1 【解析】∵，∴ ∴ 故答案为：1， 14．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 考点06 双变量问题 15．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【解析】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 16．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【解析】（1）因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 考点07 零点问题 17．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【解析】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 考点08 极最值问题 18．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【解析】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 19．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【解析】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 1．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 2．（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 3．（2025·北京大兴·三模）已知定义在上的函数满足如下三个条件： ①，有； ②，有； ③，． 则下列说法正确的是（    ） A．，有， B．，有， C．函数的递减区间为， D．当时， 【答案】D 【解析】因，则，则， 即是的一个周期； 因，，则， 即关于直线对称， 对于A，因等价于， 即关于中心对称，故A错误； 对于B，等价于，即为偶函数，故B错误； 对于C，，， 则， 则在上单调递增， 因为为奇函数，则在上单调递增， 因为关于直线对称，则在上单调递减， 因是的一个周期，则的单调递减区间为， 单调递增区间为，故C错误； 对于D，因，则，结合单调性可知，故D正确. 故选：D 4．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 5．（2025·北京海淀·模拟预测）若集合是函数的定义域，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，故. 故选：C. 6．（2025·北京海淀·三模）已知函数，且函数在，内恰有2025个零点，则满足条件的有序数对（    ） A．有且仅有1对 B．有且仅有2对 C．有且仅有3对 D．有无数对 【答案】C 【解析】的零点个数等价于方程实根的个数． 先研究方程在内实根的个数． 当时，方程在内实根的个数为1； 当时，方程在内实根的个数为2； 当时，方程在内实根的个数为3，其中在内实根的个数为2． 因为是周期为的函数，所以当时，在，，，，内方程实根的个数均为2． 因为在内恰有2025个零点，且2025为奇数，所以不合题意． 当时，；当时，．所以满足条件的有序实数对只有3对． 在上的图像： 故选：C. 7．（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点； 当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足， 所以实数的取值范围为． 故选：C. 8．（2025·北京海淀·三模）已知，，则“”是“是奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，，定义域为关于原点对称， 且，因此是奇函数； 如果是奇函数，则定义域必须关于原点对称，因此， 所以“”是“是奇函数”的充分必要条件． 故选：C 9．（2025·北京·三模）已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于AB，取，此时，故AB错误； 对于D，取，此时，故D错误； 对于C，不妨设，则，欲证， 只需证明，即只需证明，即只需证明， 设，只需证明恒成立即可； 设，求导得，令， 解得， 所以的斜率为1的切线方程为， 而的图象是下凸的， 从而恒成立， 因为， 所以， 所以恒成立， 综上所述，恒成立，即恒成立，故C正确. 故选：C. 10．（2025·北京·三模）已知 则下面结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，， 所以. 故选：C 11．（2025·北京大兴·三模）已知函数.若的最小值为，则的一个取值为 ；的最大值为 ． 【答案】 2（答案不唯一，即可） 4 【解析】由题意知，原函数中为最小值， ①当时，令，则，函数变为， 求导得，令，则， i）当，即时，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； ii）当，即时，在上单调递增， 最小值. ②当时，，最小值在处， 此时，因为的最小值为， 所以有，可得； 综上所述， . 故答案为：2（答案不唯一，即可）；4 12．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，若是上的单调函数，则的一个取值为 ；若有最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 0（答案不唯一） 【解析】因为在递减，在上递减， 若是上的单调函数，则是上的单调递减函数， 只需， 则的一个取值为0（任取即可）； 当时，单调递减，所以， 当时，， 若，则当时，单调递增，所以，则此时函数无最小值； 若，则当时，，时，，函数有最小值为满足题意； 若，则当时，单调递减，，时，，要使函数有最小值，则且，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：0（答案不唯一）；. 13．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ． 【答案】 / 【解析】因为， 因为，则，故，即函数的值域为， 因为， 所以，， 因此，函数的对称中心为. 故答案为：；. 14．（2025·北京通州·一模）设，函数，若为单调函数，则a的一个取值为 ；若有三个零点，则实数a的取值范围是 . 【答案】 1（答案不唯一）， 【解析】因为，则时，，在上单调递增， 此时 时，，在上单调递增，此时， 故要使得为单调函数即单调递增函数，则需满足， 结合，则， 故a的一个取值可为1； 时，，令， 则，解得或； 时，，令， 则，解得， 当时，在时有一解，在时，有一解，不符合题意； 当时，在时有两解和，在时，有一解，符合题意； 故实数a的取值范围是， 故答案为：1（答案不唯一）， 15．（2025·北京西城·一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论： ①函数为单调函数； ②对于任意的，或； ③集合（为常数）中有且仅有一个元素； ④满足的点构成的区域的面积为8． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解析】，且，则，则，即， 则在上单调递增，故①正确； 当，时，， 故当时，，有，，此时， 当时，，，，此时， 故②正确； 当时，，当时，，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误； 设，，其中，，则，因，则， 则， 在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1， 由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8. 故答案为：①②④ 16．（2025·北京·三模）已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 【解析】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 17．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【解析】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 18．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【解析】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 19．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【解析】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$