专题08 复数、不等式、平面向量 （北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题08 复数、不等式、平面向量 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 复数 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 1、近五年北京卷复数命题稳定，常以选择题形式出现，分值固定，难度较低。重点考查复数的基本概念，如模、共轭复数等，以及复数的代数运算，包括加减乘除等。题目通常结合复数在平面直角坐标系中的表示，考查复数与几何的结合。未来可能会继续保持稳定，注重基础知识的考查，同时可能结合其他数学知识，增加综合性。 2、近五年北京卷等式与不等式命题形式为选择题。选择题侧重基本性质和简单解法。未来可能会继续强化综合应用，增加与其他知识模块的交叉考查。 3、近五年北京卷平面向量命题以选择、填空题为主，偶尔在解答题中出现。重点考查平面向量的基本概念、线性运算、数量积等，常与平面图形结合。未来可能会继续保持这一趋势，注重基础知识的考查，同时可能增加难度，考查向量的综合应用。 考点2 等式与不等式 （5年2考） 2025北京卷、2024北京卷 考点3 平面向量 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点01 复数 1．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由可得，，所以， 故选：B. 2．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 4．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【解析】由题意有，故． 故选：B． 5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：. 故选：D. 考点02 等式与不等式 6．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 考点03 平面向量 8．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 9．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 10．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】向量满足， 所以. 故选：B 11．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 12．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 0 3 【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 1．（2025·北京·三模）已知向量、满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量、满足，， 则. 故选：A. 2．（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 【答案】C 【解析】因为， 所以. 因为，所以 所以. 解得. 故选：C. 3．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为向量为单位向量，且， 所以，即， 化简得， 因为向量的夹角， 所以. 故选：B. 4．（2025·北京海淀·二模）已知向量．若与共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】因为向量．且与共线， 所以得，解得. 故选：A. 5．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 6．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知，所以可得， 即； 再由基本不等式可得，即； 显然，即； 因此可得，即最小的是. 故选：C 7．（2025·北京顺义·一模）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称， 所以关于对称， 又由得交点坐标为，则， 对于①：因为，且，所以，①错误； 对于②：由，因为，则；②正确； 对于③：直线与联立，可得，即， 设函数，是增函数， 又由，，可得， 所以函数在区间上存在唯一零点，即， 因为，所以， 构造函数，则， 当时，可得， 函数在单调递增； 当时，可得， 函数在单调递减； ，， ，③正确； 故选：C 8．（2025·北京房山·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项：举反例可知不成立； 对于B选项： 举反例可知不成立； 对于C选项：， 因为，所以，而且不同时为0， 故，即，正确； 对于D选项： 举反例可知不成立； 故选：C． 9．（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此A不恒成立； 选项B： 举反例：取 ，，，，则 ，，显然 不成立，故B不恒成立； 选项C： 由于指数函数 是严格递增函数， 和 分别推出 和 ，因此 恒成立，因此C恒成立； 选项D： 举反例：取，，，，则 ，，显然 不成立，因此D不恒成立. 故选：C. 10．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 对于A：取，所以，A选项错误； 对于B：取，所以，B选项错误； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D，，当且仅当取等号，所以， 因为，所以，当且仅当取等号，所以， 所以，D选项正确. 故选：D. 11．（2025·北京·三模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为复数对应的点的坐标是， 所以， ， 则的共轭复数是：， 故选：B． 12．（2025·北京大兴·三模）若复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】复数为纯虚数，则，解的. 故选：A 13．（2025·北京昌平·二模）若复数，则复数的共轭复数（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以， 故选：A. 14．（2025·北京·二模）设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】， 所以复数对应的点，位于第四象限， 故选：D 15．（2025·北京丰台·二模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】复数的共轭复数，所以对应的点位于第四象限. 故选：D. 16．（2025·北京海淀·三模）已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则 ． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为 ． 【答案】 【解析】（1）为两个单位向量，且， 故， ； （2）当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点，为端点的线段； 记点，，，，则点的轨迹为四边形； 因为，故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为， 故答案为：， 17．（2025·北京·三模）已知单位向量满足，则的模为 . 【答案】 【解析】根据题意，， 即， 所以， 则. 故答案为： 18．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以. 故答案为： 19．（2025·北京海淀·二模）若（为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】因为，又， 所以，则. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 复数、不等式、平面向量 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1 复数 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 1、近五年北京卷复数命题稳定，常以选择题形式出现，分值固定，难度较低。重点考查复数的基本概念，如模、共轭复数等，以及复数的代数运算，包括加减乘除等。题目通常结合复数在平面直角坐标系中的表示，考查复数与几何的结合。未来可能会继续保持稳定，注重基础知识的考查，同时可能结合其他数学知识，增加综合性。 2、近五年北京卷等式与不等式命题形式为选择题。选择题侧重基本性质和简单解法。未来可能会继续强化综合应用，增加与其他知识模块的交叉考查。 3、近五年北京卷平面向量命题以选择、填空题为主，偶尔在解答题中出现。重点考查平面向量的基本概念、线性运算、数量积等，常与平面图形结合。未来可能会继续保持这一趋势，注重基础知识的考查，同时可能增加难度，考查向量的综合应用。 考点2 等式与不等式 （5年2考） 2025北京卷、2024北京卷 考点3 平面向量 （5年5考） 2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷 考点01 复数 1．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 2．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 4．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 5．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点02 等式与不等式 6．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 考点03 平面向量 8．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 11．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 1．（2025·北京·三模）已知向量、满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京大兴·三模）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D．4 3．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京海淀·二模）已知向量．若与共线，则（    ） A． B． C． D．2 5．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·北京海淀·一模）已知四个数，，，，其中最小的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京顺义·一模）已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2025·北京房山·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·北京丰台·一模）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·北京·三模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·北京大兴·三模）若复数为纯虚数，则实数（    ） A． B．2 C． D． 13．（2025·北京昌平·二模）若复数，则复数的共轭复数（    ）． A． B． C． D． 14．（2025·北京·二模）设为虚数单位，则在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2025·北京丰台·二模）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（2025·北京海淀·三模）已知为两个单位向量，且，是平面内的一个定点，是平面内的一个动点，，． （1）若，，则 ． （2）若，则点的轨迹围成的图形面积为 ． 17．（2025·北京·三模）已知单位向量满足，则的模为 . 18．（2025·北京朝阳·二模）若复数z满足，则 ． 19．（2025·北京海淀·二模）若（为虚数单位），则 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$