期末压轴题必刷练02【填空60题 第7-12章】-2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略（苏科版2024）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末压轴题必刷练02 【选择60题 第7-12章】 目录 压轴考点一幂的运算 2 压轴考点二整式乘法 4 压轴考点三图形的变换 6 压轴考点四二元一次方程组 9 压轴考点五一元一次不等式 12 压轴考点六定义 命题 证明 14 压轴考点一幂的运算 1．已知，（m，n为正整数），则 ． 2．若，则的值为 ． 3．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 4．已知，，那么的值是 ． 5．若，，则 ． 6．已知，，，为正整数，则 （用，表示）． 7．若，，则 ． 8．若，则的值是 ． 9．已知，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ． 10．现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 压轴考点二整式乘法 11．计算： ． 12．已知有两个单项式的积为，则这两个单项式可以是 和 （写出一组即可）． 13．一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 14．如果，那么代数式的值为 ． 15．多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 16．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 17．已知的展开式不含项，项的系数为，则 ． 18．若可变形为，则的值等于 ． 19．一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则 ；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为8，为正数且能表示为两个连续偶数的平方之差，则满足条件的最大“等和数”是 ． 20．如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 ． 压轴考点三图形的变换 21．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ． 22．如图所示，将三角形沿方向平移得到三角形，若间的距离为1，，则 ． 23．如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 24．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于 ． 25．圆是最美的对称图形之一．将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，则 ． 26．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 次． 27．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 28．如图，将绕点逆时针旋转相同的角度两次得到．若，，则每次旋转的角度是 °． 29．如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 30．如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当到达时停止旋转. （1）的度数为 . （2）当旋转了 秒时，度. 压轴考点四二元一次方程组 31．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 32．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 33．已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号） 34．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 32 乙 22 丙 16 由此推断的值为 ． 35．如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是 ． 36．如图，在中，，点D、E分别在边、上，，，连接、交于点O，当面积为6时，则的最小值为 ． 37．“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 38．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，搭配成三种盲盒各一个，其中盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱；盲盒中蓝牙耳机数量与迷你音箱数量之和等于多接口优盘数量，并且蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比是3：2，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．若一个迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，则盲盒成本是 元，一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是 元．（每种盲盒的成本是盒中所有蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 39．据统计，我校初一年级共36个班，分布在振兴校区与金葫校区：其中振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍，如果设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，那么可列方程组 ． 40．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件，某天这两种工艺品的销售额为1175元．设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，则可列出方程为 ． 压轴考点五一元一次不等式 41．“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 ． 42．若，且，则的取值范围是 ． 43．已知是关于的一元一次不等式，则 ． 44．在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 45．新定义：对于实数，表示运算：，如，若值大于1，的取值范围是 ； 46．已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论有 ． 47．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 48．爱因斯坦曾经说过，提出一个问题比解决一个问题更重要．请你根据不等式“”设计一个与日常生活、学习有关的问题情境，使它能够用该不等式表示 ． 49．小明在物理课上学习了“区间测速”的知识：利用雷达、高清摄像头等现代化手段记录受监测的机动车在两监控点之间的路段（测速区间）所用的时间（如图），再根据测速区间的长度 计算出机动车的平均速度．在某段高速公路的测速区间上，若平均车速为，则需用时．小明查阅资料，了解到这段高速公路的车速不得超过，且不得低于．小明爸爸在限速范围内开车匀速通过这段高速公路的测速区间，则他的行驶时间（）的取值范围为 50．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满300元或超过300元可享受打折优惠．一名学生为班级购买活动奖品，准备买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本15元，钢笔每支8元，他至少还需购买 支钢笔才能打折． 压轴考点六定义 命题 证明 51．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中假命题是 （填序号）． 52．观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 53．在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的有： ．（填序号） 54．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 55．若要说明命题“若，则”是假命题，则任意举出一个反例，写出和的值： ． 56．要说明命题“若，则”是假命题，举一个反例可以是：a的值为 ，b的值为 ． 57．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ，是 命题（填“真”或“假”）． 58．判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 59．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 60．下列命题中，①对顶角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．逆命题是真命题的有 ．（填序号） 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末压轴题必刷练02 【选择60题 第7-12章】 目录 压轴考点一幂的运算 2 压轴考点二整式乘法 6 压轴考点三图形的变换 11 压轴考点四二元一次方程组 20 压轴考点五一元一次不等式 27 压轴考点六定义 命题 证明 31 压轴考点一幂的运算 1．已知，（m，n为正整数），则 ． 【答案】6 【思路分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆用把化为已知的形式，然后将、整体代入计算即可． 【正确解答】解：∵，（m，n为正整数）， ∴． 故答案为：6． 2．若，则的值为 ． 【答案】2 【思路分析】本题考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法运算进行计算即可． 【正确解答】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【答案】 【思路分析】本题考查的是新定义运算，同底数幂的乘法，根据新定义运算的含义可得，再进一步计算即可． 【正确解答】解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 4．已知，，那么的值是 ． 【答案】8 【思路分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识是解题的关键．利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【正确解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．若，，则 ． 【答案】 【思路分析】本题考查逆用同底数的幂的乘法，逆用幂的乘方；利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用计算即可． 【正确解答】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 6．已知，，，为正整数，则 （用，表示）． 【答案】/ 【思路分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则求解即可． 【正确解答】解：， 故答案为：． 7．若，，则 ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查幂的运算，原式运用同底数幂的除法运算和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【正确解答】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．若，则的值是 ． 【答案】 【思路分析】本题考查的是同底数幂的除法和幂的乘方、积的乘方，掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则把原式变形，根据幂的乘方法则计算即可． 【正确解答】解： ， 故答案为：． 9．已知，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 ． 【答案】9 【思路分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方计算，根据零指数幂，负整数指数幂和乘方的计算法则求出四个数，再比较出四个数的大小，最后用最大数减去最小数即可得到答案． 【正确解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为9， 故答案为：9． 10．现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则 ； （2）若为正整数，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路分析】题目主要考查新定义及同底数幂的除法运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义直接求解即可； （2）根据新定义得出，然后利用同底数幂的除法运算求解即可． 【正确解答】解：（1）根据题意得：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：25；． 压轴考点二整式乘法 11．计算： ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了积的乘方计算和单项式乘以单项式的计算，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【正确解答】解： ， 故答案为：． 12．已知有两个单项式的积为，则这两个单项式可以是 和 （写出一组即可）． 【答案】（答案不唯一） （答案不唯一） 【思路分析】本题主要考查了单项式与单项式相乘．本题是一道开放性的题目，答案不唯一，只要符合乘积是，即可． 【正确解答】解：∵两个单项式的积是， ∴这两个单项式可以是和， 故答案为：和（答案不唯一）． 13．一个儿童游乐区的平面图如图所示（单位：），现在需要把滑梯区和休闲区都铺上软垫，那么至少需要 的软垫（用含有、的式子表示）． 【答案】 【思路分析】本题考查了整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先表示出滑梯区和休闲区的面积，再求出它们的和，即可作答． 【正确解答】解：依题意，休闲区的面积：， 滑梯区的面积：， ∴， 故答案为：那么至少需要的软垫， 故答案为： 14．如果，那么代数式的值为 ． 【答案】5 【思路分析】本题考查了整式混合运算，代数式求值，熟练掌握整体思想的利用是解题的关键． 把代数式整理成用已知条件表示的形式，然后代入数据计算即可． 【正确解答】解： ； 原式． 故答案为：． 15．多项式，，若的展开式中不含项，则 ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积展开式中不含项，列出关于b的方程，解方程即可得到答案． 【正确解答】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项， ∴， ∴． 故答案为：． 16．若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】21 【思路分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【正确解答】解：由题意得： ， ， ， 当时，原式． 17．已知的展开式不含项，项的系数为，则 ． 【答案】 【思路分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，正确化简计算是解题的关键．先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中不含x项，项的系数为，得到，整体代入代数式计算即可． 【正确解答】解： ， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 18．若可变形为，则的值等于 ． 【答案】1 【思路分析】本题主要考查了整式的化简，代数式求值，根据题意列出等式，利用完全平方公式化简后，根据多项式相等的条件确定出a与b的值，即可求出的值． 【正确解答】解：， ∵若可变形为， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：1． 19．一个四位数，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称为“等和数”，将这个“等和数”反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新的四位数，记，则 ；若某个“等和数”的千位与十位上的数字之和为8，为正数且能表示为两个连续偶数的平方之差，则满足条件的最大“等和数”是 ． 【答案】3 8404 【思路分析】本题考查对题干“等和数”的理解，根据“等和数”的定义即可得到，设“等和数”的千位和百位分别为、，则十位数为，个位数为，根据题意得到，利用为正数且能表示为两个连续偶数的平方差，设，推出为的奇数倍，根据“等和数”的千位与十位上的数字之和为，确定出、的值，即可解题． 【正确解答】解：由题知，； 设“等和数”的千位和百位分别为、， 则十位数字为，个位数字为， ， ， ， ， 为正数且能表示为两个连续偶数的平方差， 设，其中为自然数， ， 为的奇数倍， 千位与十位上的数字之和为，且个位数字不能为0， ，， ， ， 最大能取，则， 满足条件的最大“等和数”是， 故答案为：，． 20．如图，由5个大小，形状完全相同的小长方形构造出一个大长方形，大长方形的周长为60，且阴影部分的面积为116，则每个小长方形的面积为 ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值；找准等量关系，正确列出二元二次方程组是解题的关键．设每个小长方形的长为宽为则每个小长方形的面积为，根据大长方形的周长为，且阴影部分的面积为，列出二元二次方程组，再求出的值，即可得出结论． 【正确解答】解：设每个小长方形的长为，宽为，则每个小长方形的面积为， 由题意得： 整理得： 由①得：， 即③， ③②得：， ， 即每个小长方形的面积为， 故答案为： 压轴考点三图形的变换 21．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ． 【答案】或或 【思路分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．根据的平移过程，分点在上和点在的延长线上两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【正确解答】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故答案为：或或 22．如图所示，将三角形沿方向平移得到三角形，若间的距离为1，，则 ． 【答案】2 【思路分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果． 【正确解答】解：连接， ∵间的距离为1， 根据图形可得：线段或的长度即是平移的距离， ∵， ∴， 故答案为：2． 23．如图，在中，，将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，连接，，交于点O，有下列结论： ①，；②；③四边形的周长是22； ④．其中正确的结论有 个． 【答案】4 【思路分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．根据平移的性质逐一判定即可． 【正确解答】解：∵将周长为14的沿向右平移4个单位长度得到，， ∴，，，，，， ∴，四边形的周长．， ∴， ∴， 即结论正确的有4个． 故答案为：． 24．如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于 ． 【答案】/度 【思路分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【正确解答】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴， ． 故答案为：． 25．圆是最美的对称图形之一．将圆竖直位置的直径向左移动，水平位置的直径向下移动，把圆分成如图所示的四个部分，其中①②③④的面积分别记为，则 ． 【答案】 【思路分析】本题考查的是平移的性质，轴对称的性质，如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段；结合图形的对称性列式计算即可. 【正确解答】解：如图，作出两条直径平移后关于圆心对称的线段； 由对称性可得：，，， 中间长方形的长为，宽为， ∴长方形 长方形的面积 ； 故答案为： 26．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是 次． 【答案】3 【思路分析】本题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形．利用轴对称画出图形即可求解． 【正确解答】解：球的运动路线如图所示： ∴一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是次； 故答案为： 27．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【思路分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【正确解答】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 28．如图，将绕点逆时针旋转相同的角度两次得到．若，，则每次旋转的角度是 °． 【答案】 【思路分析】本题考查了旋转的性质，熟悉掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质和旋转角的关系运算求解即可． 【正确解答】解：根据旋转定义可得，选作为参照边，旋转两次后到处，即是两倍的旋转角， ∵ ∴ ∴旋转角 故答案为： 29．如图，已知直角三角形，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，直到得到点，则 ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度依次增加，，，即可得出答案． 【正确解答】在中，， ，，，， 将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， 又 ， ， 故答案为：． 30．如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当到达时停止旋转. （1）的度数为 . （2）当旋转了 秒时，度. 【答案】 或 【思路分析】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角之间的和差关系，是解题的关键． （1）根据余角的定义求出答案即可； （2）设运动时间为，根据题意分情况进行讨论． 【正确解答】解：（1） ， 故答案为：； （2）设运动时间为， 根据题意可得， 当时， 此时 解得； 当时， 此时解得； 综上所述，或秒时，度． 压轴考点四二元一次方程组 31．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】5 【思路分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 直接把代入到方程中求出的值即可． 【正确解答】解：∵是关于的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：5． 32．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2025 【思路分析】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，求解代数式的值，掌握方程解的定义是解题的关键．根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于，的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式可得答案． 【正确解答】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴代入得：， ∴， 故答案为：． 33．已知二元一次方程组的解是，则在①；②；③；④中，“*”表示的方程可以是 ．（填写符合题意方程的序号） 【答案】③④/④③ 【思路分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【正确解答】解：由题意，将代入方程得：，解得， 所以这个方程组的解为． ①将代入得：，故①不符合题意 ②将代入得：，故②不符合题意； ③将代入得：，故③符合题意； ④将代入得：，故④符合题意； 故答案为：③④． 34．数学活动课上，同学们分小组玩游戏，每组三张卡片，卡片上各写有一个正整数，分别记为，，且，组长将卡片随机发给甲、乙、丙三位同学，这三位同学拿到卡片后记录数字，然后将卡片还给组长，算是完成一次游戏．某小组按照此方式玩了5次游戏，他们将部分数据记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 32 乙 22 丙 16 由此推断的值为 ． 【答案】 【思路分析】该题主要考查了推理的能力，解方程组，解题的关键是表示出表格中数据．根据题意得出，根据表格中甲5次的和与乙5次的和不相同，得出数据，结合表格列出等式求解即可． 【正确解答】解：根据题意可得：， 解得：， ∵甲的总和乙的总和， ∴甲5次的和与乙5次的和不相同， 又， 即可得出甲、乙、丙三位同学玩了5次游戏的数据如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 总和 甲 b c a 32 乙 b b b 22 丙 c c b 16 ∴，即， ， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4． 35．如果关于，的二元一次方程的解，满足，那么的值是 ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【正确解答】解： 得：， ∵关于，的二元一次方程的解，满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 36．如图，在中，，点D、E分别在边、上，，，连接、交于点O，当面积为6时，则的最小值为 ． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了垂线段最短，利用三角形面积比例关系和已知条件，通过设未知数和建立方程来求解的最小值，设，，，根据已知条件可知，，列出，可得出，由已知条件可得出，，，进而可得出，由垂线段最短可知，进而可求出的最小值． 【正确解答】解：设， ∵， ∴， ， 设， ∵， ∴，， 设， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 由垂线段最短可知当时，的面积最小， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 37．“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有 种． 【答案】 【思路分析】此题考查了三元一次方程组的应用．首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案． 【正确解答】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得： ； 解得：， ， ，，是正整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，；(不符合题意，舍去) 租房方案有种． 故答案为：． 38．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，搭配成三种盲盒各一个，其中盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱；盲盒中蓝牙耳机数量与迷你音箱数量之和等于多接口优盘数量，并且蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比是3：2，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．若一个迷你音箱的成本是35元，盲盒成本是210元，盲盒成本是155元，则盲盒成本是 元，一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是 元．（每种盲盒的成本是盒中所有蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和） 【答案】245 45 【思路分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目信息求出B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量，并根据题意列方程组． 根据题意B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量个．B盒中多接口优盘数量个，蓝牙耳机的数量个，迷你音响数量个．然后设蓝牙耳机、多接口优盘的成本价分别为x，y元，根据题意列出方程组求解即可． 【正确解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共25个，盲盒中有3个蓝牙耳机，5个多接口优盘，1个迷你音箱，盲盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱． ∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的数量（个）． ∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量， ∴B盒中多接口优盘数量(个)， 蓝牙耳机的数量(个)， 迷你音响数量(个)， 设蓝牙耳机、多接口优盘的成本价分别为x，y元， 由题得：， 解得： ∴盲盒成本为：元． 一个蓝牙耳机与一个多接口优盘的成本之和是元， 故答案为：245；45． 39．据统计，我校初一年级共36个班，分布在振兴校区与金葫校区：其中振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍，如果设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，那么可列方程组 ． 【答案】 【思路分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据“初一年级共36个班”“振兴校区初一班级数量是金葫校区初一班级数量的2倍”列出方程组． 【正确解答】解：设振兴校区初一有个班，金葫校区初一有个班，列方程组为：， 故答案为：． 40．中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件，某天这两种工艺品的销售额为1175元．设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，则可列出方程为 ． 【答案】 【思路分析】本题考查了列二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设扎染销售了x件，刺绣销售了y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，即可列出二元一次方程． 【正确解答】解：设扎染销售了x件，刺绣销售了y件， 由题意得， 故答案为：． 压轴考点五一元一次不等式 41．“”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示．每个“”“ ”“ ”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【思路分析】本题考查的是根据天平比较大小，不等式的性质，先将天平两边相同的物体去掉，比较剩余的数的大小即可得到答案，将相同的物体去掉是解题的关键． 【正确解答】解：由左边图可知，2个的质量大于1个加1个的质量， ∴的质量大于的质量， 由右边图可知，3个的质量等于1个加1个的质量， ∴2个的质量等于1个的质量， 即的质量大于的质量， ∴“”、“”、“”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 42．若，且，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则． 【正确解答】解：∵若，且， ∴， 则； 故答案为：． 43．已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【思路分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据定义得到，解不等式即可得到答案，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键． 【正确解答】解：是关于的一元一次不等式， ，则或，且，解得， 故答案为：． 44．在“，，，，”这五个数中，是不等式的解的数共有 个． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式解的定义，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．先求出不等式的解集，然后在，，，，这五个数中找出符合条件的解，即可得解． 【正确解答】解：∵， 解得， 在，，，，这五个数中， 是不等式解的有，，，共个． 故答案为：． 45．新定义：对于实数，表示运算：，如，若值大于1，的取值范围是 ； 【答案】/ 【思路分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，理解新定义运算的方法，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 根据新定义运算的方法可得，解一元一次不等式即可． 【正确解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 46．已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论有 ． 【答案】①④/④① 【思路分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点．先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可． 【正确解答】 解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵若它的解集是， ∴ ，解得：，故①正确， 当时，，则该不等式组无解；故②错误； ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是，故③错误； ∵解不等式可得：，且不等式的最大整数解为1， ∴， 解得：．故④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为：①④． 47．某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【思路分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【正确解答】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 48．爱因斯坦曾经说过，提出一个问题比解决一个问题更重要．请你根据不等式“”设计一个与日常生活、学习有关的问题情境，使它能够用该不等式表示 ． 【答案】小红有5个苹果，小明有x个苹果，小明的苹果数的3倍比小红的苹果数多（答案不唯一） 【思路分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确地理解题意是解题的关键． 根据不等式所表示的实际意义即可得到结论． 【正确解答】解：小红有5个苹果，小明有x个苹果，小明的苹果数的3倍比小红的苹果数多． 故答案为：小红有5个苹果，小明有x个苹果，小明的苹果数的3倍比小红的苹果数多．（答案不唯一） 49．小明在物理课上学习了“区间测速”的知识：利用雷达、高清摄像头等现代化手段记录受监测的机动车在两监控点之间的路段（测速区间）所用的时间（如图），再根据测速区间的长度 计算出机动车的平均速度．在某段高速公路的测速区间上，若平均车速为，则需用时．小明查阅资料，了解到这段高速公路的车速不得超过，且不得低于．小明爸爸在限速范围内开车匀速通过这段高速公路的测速区间，则他的行驶时间（）的取值范围为 【答案】 【思路分析】本题考查了不等式与行程问题，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据速度与时间得到路程，当速度过时，，当速度为时，，由此即可求解． 【正确解答】解：平均车速为，则需用时， ∴路程为：， 当速度过时，， 当速度为时，， ∴ 故答案为： ． 50．某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满300元或超过300元可享受打折优惠．一名学生为班级购买活动奖品，准备买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本15元，钢笔每支8元，他至少还需购买 支钢笔才能打折． 【答案】27 【思路分析】本题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意列出不等式是解题的关键．设该同学要买x支钢笔，根据题意列出不等式，解不等式即可得出x的取值范围，取值范围内的最小整数即为本题的答案． 【正确解答】解：设该同学买x支钢笔， 根据题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴的最小值为， 则该同学至少要买27支钢笔才能享受打折优惠． 故答案为：． 压轴考点六定义 命题 证明 51．有下列命题：①两直线平行，同位角相等；②垂线段最短；③同角的余角相等；④同旁内角互补；⑤两点确定一条直线．其中假命题是 （填序号）． 【答案】④ 【思路分析】本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【正确解答】①两直线平行，同位角相等，原命题是真命题，不符合题意； ②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，简称“垂线段最短”，原命题是真命题，不符合题意； ③同角的余角相等，原命题是真命题，不符合题意； ④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意； ⑤两点确定一条直线，原命题是真命题，不符合题意． 故答案为：④ 52．观察下列各式：，，，，用文字语言表示你发现的规律： ；用符号语言表示你发现的规律： ；这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和 对于，（是整数），有 真 【思路分析】本题考查对数字等式规律，命题和证明，解题关键是通过观察等式特征归纳出通用规律，再用代数方法化简等式两边证明规律成立． 观察题目中的等式，发现两个连续整数的平方差等于这两数的和，用符号表示该规律，并验证其正确性即可， 【正确解答】解：观察给出的例子，发现每个等式都是较大的数的平方减去较小的数的平方，结果等于这两个数的和．例如，，．因此，规律可以表述为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和． 设较大的数为，较小的数为，则规律可表示为：． 展开左边并简化：左边： ； 右边： ， ∵左边右边， ∴该命题是真命题； 故答案为：两个连续整数中，较大数与较小数的平方差等于这两个数之和；对于，（是整数），有；真． 53．在以下命题中：①对顶角相等；②同旁内角互补；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的有： ．（填序号） 【答案】①③/③① 【思路分析】本题考查了真命题，对顶角，垂线的定义，平行公理．涉及到正确的命题是真命题；对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补等知识内容，据此进行逐项分析，即可作答． 【正确解答】解：依题意，对顶角相等， 故①是真命题； 两直线平行，同旁内角互补， 故②不是真命题； 平行于同一条直线的两条直线互相平行， 故③是真命题； 在同一个平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故④不是真命题； 故答案为：①③． 54．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【思路分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题是真假性． 【正确解答】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 55．若要说明命题“若，则”是假命题，则任意举出一个反例，写出和的值： ． 【答案】，（答案不唯一） 【思路分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【正确解答】解：当，时，， 但，， ∴不成立． ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：，（答案不唯一） 56．要说明命题“若，则”是假命题，举一个反例可以是：a的值为 ，b的值为 ． 【答案】（答案不唯一） （答案不唯一） 【思路分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【正确解答】解：当，，满足， 但是， ∴说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，，， 故答案为：，（答案不唯一）． 57．命题“互为相反数的两个数的和为0”的逆命题是 ，是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】和为0的两个数互为相反数 真 【思路分析】本题考查了原命题与逆命题、判定命题真假等知识点，判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题． 交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而利用真假命题判断即可． 【正确解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为0”的题设是“两个数互为相反数”，结论是“和为0”，故其逆命题是：和为0的两个数互为相反数，逆命题是真命题； 故答案为：和为0的两个数互为相反数，真． 58．判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 【答案】（答案不唯一） 【思路分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【正确解答】解：当时，， 说明命题“对于任何实数”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 59．“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【思路分析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【正确解答】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ∴，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； ∴“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 60．下列命题中，①对顶角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．逆命题是真命题的有 ．（填序号） 【答案】②③/③② 【思路分析】本题考查了对顶角，补角定义，绝对值的意义，乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点．先写出这些命题的逆命题，然后根据对顶角定义，乘方运算法则，补角定义，绝对值意义进行判断即可． 【正确解答】解：①对顶角相等的逆命题是：相等的角为对顶角，因为相等的角不一定是对顶角，所以原命题的逆命题是假命题，故①错误； ②如果，那么的逆命题是：如果，那么，是真命题，故②正确； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角的逆命题是：如果两个角互补，那么这两个角的和为，是真命题，故③正确； ④若，则的逆命题是：如果，那么，是假命题，故④错误； 综上分析可知，②③正确； 故答案为：②③． 学科网（北京）股份有限公司 $$