期末压轴题必刷练03【解答60题 第7-12章】-2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略（苏科版2024）

期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末压轴题必刷练03 【解答60题 第7-12章】 目录 压轴考点一幂的运算 2 压轴考点二整式乘法 5 压轴考点三图形的变换 9 压轴考点四二元一次方程组 15 压轴考点五一元一次不等式 18 压轴考点六定义 命题 证明 22 压轴考点一幂的运算 1．已知，（m，n是正整数），求的值． 2．规定两个数a，b之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定， ________，________； (2)若，试说明等式成立． 3．计算： (1) (2) 4．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 5．（1）若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 6．计算：． 7．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 8．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)若，求值； 9．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 10．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算： 解：原式 x． 【我的感悟】请参考例题的解法解答下列问题： (1)计算： ①； ② (2)如果，求的值． 压轴考点二整式乘法 11．计算： (1)； (2)． 12．一套住房的部分结构如图所示（单位：），这套房子的主人打算将卧室铺设500元的地板，客厅铺设100元的地砖，浴室和厨房铺设80元的地砖，求购买所需地板和地砖共多少元？ 13．计算： (1)． (2) 14．下列计算是否正确？如有错误，请改正． (1)；_______ (2)；_______ (3)；_______ (4)．_______ 15．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 16．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 17．（1）计算：①_______；②_______；③_______；④_______． （2）观察第（1）小题每个等式中的两个因数与积的特征，尝试借助字母和符号将该特征表示出来． （3）用本章所学知识解释第（2）小题的结论． （4）口算：①_______；②_______；③_______． 18．计算： (1)； (2)（利用乘法公式计算）． 19．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如；就可以用如图图形的面积表示， (1)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：． (2)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含项的系数为5，并画出与之对应的图形． (3)现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片________张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为________． 20．若x满足，求的值．解：设，． 则，，所以． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，，，是，上的点，且．分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 压轴考点三图形的变换 21．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形．使点、的对应点分别为点、. (1)请在图中画出三角形； (2)过点F画出线段的垂线，垂足为G； (3)与的数量关系是 . 22．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把三角形进行平移，得到三角形，使点与对应． (1)请在网格中画出三角形； (2)将三角形向右平移5格，再向上平移________格可以得到三角形； (3)连结，，．请任意写出图中的两组平行线段（不再额外添加字母）：________． 24．图中的3幅图案是通过剪纸得到的，观察这些图案，再动手折一折，想一想，这些图案有哪些共同特征？尝试举出身边具有相同特点的例子． 25．如图，已知点为边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图②，作一条过点B的直线，使得点关于的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 26．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 27．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； (2)连接，线段和的关系是______； (3)在图②中画出绕点B顺时针旋转后的． 28．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 29．如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 30．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 压轴考点四二元一次方程组 31．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 32．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 33．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 34．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 35．若关于二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 36．按要求解下列方程组． (1)（用代入法解）； (2)（用加减法解）． 37．解方程组： (1) (2) 38．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 39．用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车、辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计出所有租车方案． 40．《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某潮品店上架了A、B两种型号的哪吒系列手办盲盒．若购买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元． (1)购买一个A型盲盒、一个B型盲盒各需多少元？ (2)潮品店为吸引客人，推出了投壶小游戏，凡购买一件手办盲盒可获得一次投壶机会，投中1次即可免费赠送一个哪吒系列冰箱贴，一名客人恰好用360元购买了A型和B型两种盲盒，问分别购买多少个A型盲盒和B型盲盒获得的投壶机会最多？ 压轴考点五一元一次不等式 41．某人分两次在市场上买了同一种货物，第一次买了3件，平均每件价格为a元，第二次买了2件，平均每件价格为b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己亏钱了．请用不等式的性质解释亏钱的原因． 42．已知正整数满足：，且． (1)试说明：． (2)求所有符合条件的． 43．利用不等式的性质解不等式：，并把解集表示在数轴上．    44．下面是小明的一次作业，请帮助小明检查一下他的解题过程． 解不等式 解：去分母，得，………………………………① 去括号，得，…………………………………② 移项，得……………………………………③ 合并同类项，得…………………………………④ 两边都除以，得…………………………………⑤ (1)小明解不等式的过程，是从第________步开始出错的（只填序号），具体原因是________________； (2)小明由第②步得到第③步的依据是________________； (3)请写出解该不等式正确的解题过程． 45．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 46．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 47．若关于x，y的二元一次方程（k为常数） (1)当时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解； (3)当时，当时，且，则整数n的值为多少？ 48．今年五一当天，大唐芙蓉园迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内A，B两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优恵方案：在店累计购物超过150元后，超出150元的部分打八五折；在店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．若某游客准备购买标价为元的纪念品，则该游客到哪家店购买花费较少？ 49．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 50．甲、乙两家商店以相同的价格销售同样的商品，并推出不同的优惠方案：在甲商店累计购买100元商品后，再购买同样的商品按原价的收费；在乙商店累计购买50元商品后，再购买同样的商品按原价的收费． (1)如果累计购物不超过50元，那么在两家商店购物花费有区别吗？ (2)如果累计购物超过50元而不超过100元，那么在哪家商店购物花费少？为什么？ (3)如果累计购物超过100元，那么在甲商店购物花费比在乙商店少吗？ 压轴考点六定义 命题 证明 51．用反证法证明：如果，那么． 52．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 53．如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 54．判断下列语句是否是命题，若是，写出它的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长BA到点C； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于1的数是1． 55．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①；②；③；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________； (2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”） 56．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 57．如图，点，，在同一条直线上，有下面三个选项，；；平分． (1)从中选出两个作为题设，另一个作为结论，写出所有真命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 58．已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 59．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 60．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$期末考试考点全攻略 作者的话 亲爱的同学们： 期末考试即将来临，数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，系统化的复习至关重要。为了帮助大家高效备考，我们精心整理了这份《七年级数学下册期末考试考点全攻略》，按照选择题、填空题、解答题三大题型分类，精准剖析高频考点，点拨易错陷阱，并提供针对性解题策略。 本攻略以新苏科版教材为纲，结合历年期末真题，提炼出最核心的考查方向。无论你是希望夯实基础，还是冲刺高分，都能在这里找到清晰的复习路径。选择题注重概念辨析与快速计算，填空题强调细节与严谨性，解答题则综合考查逻辑推理与规范书写。我们力求用最简洁的语言，直击要害，助你在考场上游刃有余。 复习建议： 先梳理再刷题——对照攻略自查知识漏洞，优先攻克薄弱环节； 限时模拟训练——按题型分配时间（如选择题1~2分钟/题）； 错题归因——标记反复出错的考点，考前重点复盘。 数学的魅力在于思维的严谨与灵活。愿这份攻略成为你复习路上的“导航仪”，助你稳扎稳打，自信迎考！ ​​ 中小学数学教研 2025年6月 2024-2025学年七年级数学下册期末考试考点全攻略 期末压轴题必刷练03 【解答60题 第7-12章】 目录 压轴考点一幂的运算 2 压轴考点二整式乘法 9 压轴考点三图形的变换 17 压轴考点四二元一次方程组 29 压轴考点五一元一次不等式 39 压轴考点六定义 命题 证明 47 压轴考点一幂的运算 1．已知，（m，n是正整数），求的值． 【答案】 【思路分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，即可得到答案． 【正确解答】解：，， ． 2．规定两个数a，b之间的一种运算：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定， ________，________； (2)若，试说明等式成立． 【答案】(1)3，5 (2)见解析 【思路分析】本题主要考查了有理数乘方运算的新定义，掌握新定义并利用新定义进行计算是解题的关键． （1）读懂题意，运用新定义的计算规则进行计算即可； （2）读懂题意，运用新定义以及有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【正确解答】（1）解：，． 故答案为：3，5． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【思路分析】本题主要考查了同底数幂乘法的应用，熟练掌握同底数幂乘法运算法则，是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，进行计算即可． （1）将看作一个整体，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）将看作一个整体，根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【正确解答】（1）解： ． （2）解： ． 4．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)73 (2)576 【思路分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【正确解答】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 5．（1）若，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）160 【思路分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法法则得到，再解方程即可； （2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为，再代入求值． 【正确解答】解：∵ ， 又， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ． 6．计算：． 【答案】 【思路分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘和同底数幂相除运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除计算，再合并同类项，即可求解． 【正确解答】解： ． 7．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【思路分析】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【正确解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴． 【考点点评】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 8．尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求的值； (2)若，求值； 【答案】(1)15 (2)11或 【思路分析】本题考查同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，掌握同底数幂的除法法则，幂的乘法以及积的乘方法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘、除法法则，幂的乘方进行计算即可； （2）根据幂的乘方法则进行计算即可． 【正确解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴或． 9．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【思路分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【正确解答】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算： 解：原式 x． 【我的感悟】请参考例题的解法解答下列问题： (1)计算： ①； ② (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【思路分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）①先把原式化为，再计算即可；② 先把原式化为，再计算即可； （2）先把原式化为，可得，再解方程即可． 【正确解答】（1）解：①； ②； （2）解：， ， ， 解得． 压轴考点二整式乘法 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，积的乘方计算和单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案． 【正确解答】（1）解： ； （2）解： ． 12．一套住房的部分结构如图所示（单位：），这套房子的主人打算将卧室铺设500元的地板，客厅铺设100元的地砖，浴室和厨房铺设80元的地砖，求购买所需地板和地砖共多少元？ 【答案】元 【思路分析】本题主要考查了列代数式，分别求出卫生间面积，厨房面积，客厅面积，卧室的面积为，即可求所需的花费，理解题意，能够根据图形列出正确的代数式是解题的关键． 【正确解答】解：∵浴室的面积为，厨房的面积为，客厅的面积为，卧室的面积为， ∴购买所需地板和地砖共 （元）． 13．计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题考查整式的混合运算： （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项进行化简； （2）计算单项式乘多项式． 【正确解答】（1）解： ； （2）解： ． 14．下列计算是否正确？如有错误，请改正． (1)；_______ (2)；_______ (3)；_______ (4)．_______ 【答案】(1)×， (2)×， (3)×， (4)×， 【思路分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，解题关键是熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘多项式运算法则进行计算即可． 【正确解答】（1）解：计算错误；正确结果为：； （2）解：计算错误；正确结果为：； （3）解：计算错误；正确结果为：； （4）解：计算错误；正确结果为：． 15．已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】0 【思路分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘法中的无关型问题，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含项和项，即含项和项的系数为0求出、的值，最后代值计算即可． 【正确解答】解∶． 因为关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， 所以，所以， 所以． 16．观察下列各式： ； ； ； … (1)根据以上规律，_______． (2)由此归纳出一般规律_______（其中n为正整数）． (3)根据以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路分析】本题主要考查了多项式乘以多项式中的规律性问题，准确计算是解题的关键． （1）根据给出式子的规律书写即可； （2）根据给出式子的规律即可得出结果； （3）根据（2）中的规律计算即可； 【正确解答】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案是：． （2）解：根据题意得：； 故答案是：； （3）解： 17．（1）计算：①_______；②_______；③_______；④_______． （2）观察第（1）小题每个等式中的两个因数与积的特征，尝试借助字母和符号将该特征表示出来． （3）用本章所学知识解释第（2）小题的结论． （4）口算：①_______；②_______；③_______． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）见解析；（4）①3016；②4221；③9025 【思路分析】本题考查数字变化的规律． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）设第一个因数的十位数为a，个位数为b，则这两个因数分别表示为和； （3）根据多项式乘多项式的运算法则可得答案； （4）根据（3）的结论解答即可． 【正确解答】解：（1）①； ②； ③； ④． 故答案为：3021；1216；7224；5609； （2）设第一个因数的十位数为a，个位数为b，则这两个因数分别表示为和， ∴； （3） ； （4）①； ②； ③． 故答案为：3016；4221；9025． 18．计算： (1)； (2)（利用乘法公式计算）． 【答案】(1) (2)9 【思路分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，平方差公式的应用， 对于（1），根据同底数幂相乘法则和幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； 对于（2），先根据平方差公式计算，再合并计算即可． 【正确解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 19．阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如；就可以用如图图形的面积表示， (1)试画出一个几何图形，使它的面积能表示：． (2)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，要求其中含项的系数为5，并画出与之对应的图形． (3)现有1号卡片4张，2号卡片9张，还需要3号卡片________张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)； 【思路分析】本题考查了多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握整体面积与部分面积之间的关系、以及数形结合思想是解题关键． （1）利用多项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用多项式乘多项式的法则解答即可； （3）利用完全平方式的特征解答即可． 【正确解答】（1）解：下图即为符合题意的图形．画一个长为，宽为的长方形，将其分割为一个边长为a的正方形，两个长为a宽为b的长方形和一个边长为b的正方形，即可表示，如图， （2）仿照上述方法写出含有，的代数恒等式为，画出与之对应的几何图形如下： （3）∵， ∴需要3号卡片张才能拼成一个正方形，拼成的正方形边长为． 故答案为：；． 20．若x满足，求的值．解：设，． 则，，所以． 【解决问题】 (1)若x满足，求的值； (2)如图，在长方形中，，，，是，上的点，且．分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题考查完全平方公式与图形的面积．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）设，利用题干中给出的方法，结合完全平方公式，求解即可； （2）利用阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，列出代数式，再利用完全平方公式，进行求解即可． 【正确解答】（1）解：设，则 则 所以 解得：，即 （2）解：根据题意，得． 因为长方形的面积为， 所以， 所以． 根据题意，可知阴影部分的面积为． 设， 则， 所以． 所以阴影部分的面积为． 压轴考点三图形的变换 21．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形．使点、的对应点分别为点、. (1)请在图中画出三角形； (2)过点F画出线段的垂线，垂足为G； (3)与的数量关系是 . 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据垂线的定义画图即可． （3）根据平移的性质可得答案． 【正确解答】（1）解：如图，三角形即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：由平移得，与的数量关系是． 故答案为：． 22．如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【正确解答】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．把三角形进行平移，得到三角形，使点与对应． (1)请在网格中画出三角形； (2)将三角形向右平移5格，再向上平移________格可以得到三角形； (3)连结，，．请任意写出图中的两组平行线段（不再额外添加字母）：________． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)，（答案不唯一） 【思路分析】本题主要考查了图形的平移，平移的性质，求网格中三角形的面积，求图形平移扫过的面积等知识点，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移的性质对各个点进行平移，顺次连接平移后的三个顶点即可； （2）根据平移的性质即可得出答案； （3）根据平移的性质即可得出答案． 【正确解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据图形知，将三角形向右平移5格，再向上平移4格可以得到三角形； 故答案为：4； （3）解：根据图形知，，，． 故答案为：，． 24．图中的3幅图案是通过剪纸得到的，观察这些图案，再动手折一折，想一想，这些图案有哪些共同特征？尝试举出身边具有相同特点的例子． 【答案】把一个图案沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．详见解析 【思路分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【正确解答】解：通过观察，折叠容易发现，这些图案都有一个共同的特征：把一个图案沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．在我们生活中具有这样特征的图案还有很多，如下图中的标志图案 25．如图，已知点为边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线： (1)如图①，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图②，作一条过点B的直线，使得点关于的对称点落在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路分析】本题考查了线段垂直平分线的作法； （1）连接，作出的垂直平分线，即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧交于，连接，作出的垂直平分线，即可求解； 掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【正确解答】（1）解：如图， 直线为所求作； （2）解：如图， 直线为所求作． 26．如图，将长方形纸片沿折叠后，点分别落在的位置，交于点，再沿边将折叠到处，记度，度． (1)写出的等量关系； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【思路分析】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由题意得度，度 度，再列等式求解即可； （2）先求得度，可得，再由，可得，即，再代入求解即可． 【正确解答】（1）解：由题意得度，度 度， 即， 解得； （2）解：因为将沿边折叠到处， 所以度， 所以， 因为， 所以，即， 由（1）得，代入得 解得， 所以 27．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图①中画出向右平移4个单位后的图形（注意标上字母）； (2)连接，线段和的关系是______； (3)在图②中画出绕点B顺时针旋转后的． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 (3)图见解析 【思路分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）根据旋转的性质作图即可； 【正确解答】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：由平移性质得，线段和的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：如图②，即为所求． 28．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【思路分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分； （2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即； （3）设，得出，，进而列出，可得出答案． 【正确解答】（1）绕点顺时针旋转得到， ，， 得， 平分； （2），理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ， ， 中：， 即； （3）设（由（1）、（2）得） ， ， （由（2）得） ， ， ， 解得： 29．如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 【答案】(1)20度 (2)3 【思路分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 【正确解答】（1）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解：， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 30．如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好成为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求的长． 【答案】(1)旋转中心为点A，旋转角的度数为； (2)． 【思路分析】本题考查的是旋转的三要素，旋转的性质． （1）先求解，由点A旋转后与自身重合可得旋转中心，由B，D是旋转前后的对应点，可得旋转角的大小； （2）由旋转的性质，，再根据为的中点，据此求解即可． 【正确解答】（1）解：在中，，，， ∴， ∴， ∵当逆时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转角的度数为； （2）解：由旋转得，，， ∵为的中点， ∴， ∴． 压轴考点四二元一次方程组 31．关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． 【正确解答】（1）解：将代入得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 32．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】(1) (2)或 【思路分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得，再根据二元一次方程的解的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【正确解答】（1）解：整理得， ∴二元一次方程的“关联系数”为； （2）解：∵关于，的二元一次方程的“关联系数”为， ∴， ∵为该方程的一组解， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴或． 33．关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【思路分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【正确解答】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 34．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【思路分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【正确解答】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 35．若关于二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】 【思路分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法，理解二元一次方程组的解以及整体求解方法是解答的关键．先根据二元一次方程组的解求得m、n值，进而求解关于a、b的二元一次方程组即可求解． 【正确解答】解：∵关于二元一次方程组的解是， ∴，解得， ∴所求方程组为， 得， 将代入②中，得， 解方程组，得， 故所求方程组的解为． 36．按要求解下列方程组． (1)（用代入法解）； (2)（用加减法解）． 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）根据代入消元法求解的步骤计算可得； （2）根据加减消元法求解的步骤计算可得． 【正确解答】（1）解： ，得 将代入，得 将代入①，得 ∴原方程组的解为． （2） ，得 ，得 将代入①，得 ∴原方程组的解为． 37．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟知解二元一次方程组，解三元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【正确解答】（1）解：得，，解得：， 将代入①得，，解得：， ∴方程组的解为； （2）解： 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 将代入③得：，解得：， ∴方程组的解为． 38．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【思路分析】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【正确解答】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 39．用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车载满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)辆型车、辆型车载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计出所有租车方案． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨． (2)共有三种租车方案：①型车辆，型车辆；②型车辆，型车辆；③型车辆，型车辆． 【思路分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用—方案问题，解题关键是理解题意． （1）设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨，由题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）结合（1）题得到二元一次方程，由、是正整数，列出所有符合条件的方案即可． 【正确解答】（1）解：设辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， 依题得：， ， 答：辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨． （2）解：由（1）得，辆型车载满货物一次可运货吨，辆型车载满货物一次可运货吨， ， 、是正整数， ，； ，； ，； 答：共有三种租车方案：①型车辆，型车辆；②型车辆，型车辆；③型车辆，型车辆． 40．《哪吒之魔童闹海》成为中国电影史上首部票房破百亿的影片，影片中各种角色的周边商品也随之火爆．某潮品店上架了A、B两种型号的哪吒系列手办盲盒．若购买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元． (1)购买一个A型盲盒、一个B型盲盒各需多少元？ (2)潮品店为吸引客人，推出了投壶小游戏，凡购买一件手办盲盒可获得一次投壶机会，投中1次即可免费赠送一个哪吒系列冰箱贴，一名客人恰好用360元购买了A型和B型两种盲盒，问分别购买多少个A型盲盒和B型盲盒获得的投壶机会最多？ 【答案】(1)60元，40元 (2)2个A型盲盒和6个B型盲盒 【思路分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和方程组是关键． （1）设购买一个A型盲盒需元，购买一个B型盲盒需元，买3个A型盲盒和2个B型盲盒共花费260元，且购买一个A型盲盒比购买一个B型盲盒多花20元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设分别购买了个A型盲盒和个B型盲盒，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【正确解答】（1）解：设购买一个A型盲盒需元，购买一个B型盲盒需元， 由题意得 解得： 答：设购买一个A型盲盒需60元，购买一个B型盲盒需40元； （2）解：设分别购买了个A型盲盒和个B型盲盒， 由题意得， 即 型和B型两种盲盒都购买 均为正整数 或 答：购买2个A型盲盒和6个B型盲盒获得的投壶机会最多． 压轴考点五一元一次不等式 41．某人分两次在市场上买了同一种货物，第一次买了3件，平均每件价格为a元，第二次买了2件，平均每件价格为b元．后来他以每件元的价格全部卖出，结果发现自己亏钱了．请用不等式的性质解释亏钱的原因． 【答案】亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高 【思路分析】本题主要考查不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量之间的不等关系． 先表示出买5件货物的平均价格元，由于亏钱得到，继而根据不等式的性质得到． 【正确解答】解：由题意知，买5件货物的平均价格元． ∵以每件元的价格全部卖出，结果亏钱了， ．利用不等式的性质变形，得， 故亏钱的原因为第一次比第二次购买的货物更多且平均每件价格更高． 42．已知正整数满足：，且． (1)试说明：． (2)求所有符合条件的． 【答案】(1)见解析 (2)符合条件的只有一组： 【思路分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键． （1）根据题意可知，可得，，即即可求解； （2）由（1）和已知条件可得，即，所以或，分两种情况代入讨论即可． 【正确解答】（1）解：正整数满足：， ， ． （2）解：， ， 或． 当时，，得到，这与为正整数矛盾， ． 当时，， ， 两边同时除以得，， 与相加为1，且， 与一个大于，一个小于， ，， 解得， 符合条件的只有一组：． 43．利用不等式的性质解不等式：，并把解集表示在数轴上．    【答案】，数轴表示见解析 【思路分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质解不等式，然后将不等式的解集表示在数轴上，即可求解． 【正确解答】解：， 两边同时减去得：， 合并同类项得：， 两边同时除以得：， 将解集表示在数轴上：    44．下面是小明的一次作业，请帮助小明检查一下他的解题过程． 解不等式 解：去分母，得，………………………………① 去括号，得，…………………………………② 移项，得……………………………………③ 合并同类项，得…………………………………④ 两边都除以，得…………………………………⑤ (1)小明解不等式的过程，是从第________步开始出错的（只填序号），具体原因是________________； (2)小明由第②步得到第③步的依据是________________； (3)请写出解该不等式正确的解题过程． 【答案】(1)①；去分母时，－1没有乘以6 (2)不等式的基本性质1 (3)，过程见解析 【思路分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）观察解题过程可知，第①步再去分母时，不等号左边的没有乘以6，据此可得答案； （2）第②步得到第③步的依据是不等式两边同时加上或减去一个数或式子不等号不改变方向，即不等式的基本性质1； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【正确解答】（1）解：观察解题过程可知，第①步再去分母时，不等号左边的没有乘以6； （2）解：由题意得，小明由第②步得到第③步的依据是不等式的基本性质1； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 45．解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． 【答案】，见解析，正整数解为，2，3，4，5 【思路分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的正整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能够根据不等式的性质求出不等式的解集．首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出正整数解即可． 【正确解答】解：， ， ， ， ， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，2，3，4，5 46．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为1，2 【思路分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，先分别解不等式中两个不等式，再确定解集的公共部分以及整数解即可. 【正确解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴整数解为1，2． 47．若关于x，y的二元一次方程（k为常数） (1)当时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解； (3)当时，当时，且，则整数n的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路分析】本题考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）将代入二元一次方程求解即可； （2）将原二元一次方程变形为，则只需要与无关即可，那么，即可求解； （3）依题意得：，求出，再根据k的取值范围，解不等式求出的取值范围即可求解． 【正确解答】（1）解：当时，， 解得：； （2）解：∵ ∴ ∵方程的解与k的取值无关 ∴ ∴； （3）解：依题意得： 解得： ∵ ∴ 解得： ∴整数n的值为． 48．今年五一当天，大唐芙蓉园迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内A，B两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优恵方案：在店累计购物超过150元后，超出150元的部分打八五折；在店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．若某游客准备购买标价为元的纪念品，则该游客到哪家店购买花费较少？ 【答案】当累计购物超过150元而不超过250元时，到店购买花费较少；当累计购物超过250元时，到店购买花费较少 【思路分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据题意可得店的花费为元，B店的花费为元，分到店购买花费较少和到B店购买花费较少两种情况，分别建立不等式求解即可． 【正确解答】解：当累计购物超过150元，即时，在A，B店购买都能享受优惠． ①若到店购买花费较少，则， 解得， 即时，到店购买花费较少； ②若到店购买花费较少，则， 解得， 即时，到店购买花费较少． 故当累计购物超过150元而不超过250元时，到店购买花费较少；当累计购物超过250元时，到店购买花费较少． 49．为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 【答案】最多可购买种植施肥机械类农机台 【思路分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，设最多可购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台，根据全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，再建立不等式求解即可． 【正确解答】解：设购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台， ， 解得：． ∴最多可购买种植施肥机械类农机台 50．甲、乙两家商店以相同的价格销售同样的商品，并推出不同的优惠方案：在甲商店累计购买100元商品后，再购买同样的商品按原价的收费；在乙商店累计购买50元商品后，再购买同样的商品按原价的收费． (1)如果累计购物不超过50元，那么在两家商店购物花费有区别吗？ (2)如果累计购物超过50元而不超过100元，那么在哪家商店购物花费少？为什么？ (3)如果累计购物超过100元，那么在甲商店购物花费比在乙商店少吗？ 【答案】(1)没有区别 (2)乙商店，理由见解析 (3)见解析 【思路分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用． （1）根据题意可得出答案． （2）根据题意可得出答案． （3）设累计购物元，根据如果在甲商店购物花费少，那么，求出临界值即可得出答案． 【正确解答】（1）解：∵如果累计购物不超过50元， 则两家商店购物都没有优惠 故在两家商店购物花费没有区别． （2）解：乙商店购物花费少，因为能享受乙商店的购物优惠，不能享受甲商店的购物优惠． （3）解：设累计购物元， 如果在甲商店购物花费少，那么． 解得． 当累计购物超过150元时，甲商店购物花费少； 当累计购物150元时，甲，乙商店购物花费一样； 当累计购物超过100元而不超过150元时，甲商店购物花费多． 压轴考点六定义 命题 证明 51．用反证法证明：如果，那么． 【答案】见解析 【思路分析】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 根据题意，假设结论的反面，即可得出答案． 【正确解答】证明：假设， ， ．这与已知条件矛盾， ∴假设不成立， ∴如果，那么成立． 52．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【答案】见解析 【思路分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【正确解答】假设， 根据不等式的基本性质，，这与矛盾， 假设不成立， 中至少有一个大于等于 53．如图，现有以下三个论断：①；②；③．请以其中两个论断为条件，第三个论断为结论构造新的命题． (1)请写出所有的命题．（可以写成“如果……那么……”的形式） (2)请选择其中一个真命题进行论证． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路分析】本题考查的是命题、平行线的判定和性质，掌握命题的概念、平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据命题的概念按要求解答； （2）根据平行线的性质定理、判定定理证明结论． 【正确解答】（1）解：第一种：如果，，那么； 第二种：如果，那么； 第三种：如果，那么． （2）解：证明第一种：∵， ， ∵，， ∴， ∴； 证明第二种：， ， ， ， ， ； 证明第三种：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 54．判断下列语句是否是命题，若是，写出它的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假． (1)同位角相等，两直线平行； (2)延长BA到点C； (3)同角的补角相等； (4)平方后等于1的数是1． 【答案】(1)是．两直线平行，同位角相等．真，真 (2)不是命题 (3)是．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角．真，假 (4)是．如果一个数是1，那么它的平方是1．假，真 【思路分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． （1）根据命题的定义和平行线的判定方法进行判断； （2）根据命题的定义进行判断； （3）根据命题的定义和补角的定义进行判断； （3）根据命题的定义得到平方后等于1的数是1是命题，然后利用的平方等于1判断它为假命题． 【正确解答】（1）解：同位角相等，两直线平行是真命题，它的逆命题为两直线平行，同位角相等，原命题为真命题，它的逆命题为真命题； （2）解：延长到点不是命题； （3）解：同角的补角相等是真命题，它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角，原命题为真命题，它的逆命题为假命题； （4）解：平方后等于1的数是1是假命题，它的逆命题为如果一个数是1，那么它的平方是1，原命题为假命题，它的逆命题为真命题． 55．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①；②；③；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式___________； (2)验证规律：设两个连续奇数为（其中为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是___________命题．（填“真”或“假”） 【答案】(1) (2)见解析 (3)假 【思路分析】本题考查了完全平方公式的应用，规律探索问题； （1）根据前三个式子的规律即可写出第四个式子的规律； （2）对于，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可； （3）设两个连续偶数为，计算，根据结果即可判断真假． 【正确解答】（1）解：由前三个式子知，第四个式子为：； 故答案为：； （2）解： ； 而是8的倍数，则是8的倍数， 即两个连续奇数的平方差是8的倍数； （3）解：设两个连续偶数为， 则， 而是奇数，故不是8的倍数， 即命题：两个连续偶数的平方差是8的倍数是假命题； 故答案为：假． 56．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【思路分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【正确解答】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 57．如图，点，，在同一条直线上，有下面三个选项，；；平分． (1)从中选出两个作为题设，另一个作为结论，写出所有真命题； (2)选择（1）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路分析】（1）根据题意，结合平行线的性质和角平分线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题． （2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形内角和定理即可证明． 本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质和角平分线的性质写出命题并求证是解题的关键． 【正确解答】（1）解：可写出三个正确命题，分别是： 命题1：如果，，那么平分． 命题2：如果，平分，那么． 命题3：如果，平分，那么． （2）命题1：已知：，．求证：平分． 证明：，，，平分． 命题2：已知：，平分．求证：． 证明：，，平分，． 命题3：已知：，平分．求证：． 证明：平分， ， 58．已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果一对内错角的平分线互相平行，那么这两条直线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整． 已知：直线l分别与，交于点，，，分别平分______和______，且______． 求证：______； (2)判断这个命题的真假，并证明． 【答案】(1)，；； (2)该命题为真命题，详见解析 【思路分析】本题主要考查了命题的真假判断、平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识点， （1）根据题意、结合图形写出已知和求证； （2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明即可； 熟练掌握命题的真假判断、平行线的判定和性质是解决此题的关键． 【正确解答】（1）由图和题意知，，分别平分和，且， 求证：， 故答案为：；；；； （2）该命题是真命题，理由如下： ∵， ∴， ∵，分别平分和，， ∴，， ∴， ∴． 59．（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见解析；（2）两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行 【思路分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，证明，根据两直线平行，同位角相等证明即可； （2）根据平行线的判定和性质、互逆命题的概念解答． 【正确解答】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 60．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)此命题为真命题，理由见解析 【思路分析】（1）根据题意，补充条件即可； （2）根据平行线的性质可得：，然后根据角平分线的定义可得：， ，从而得出：，再根据平行线的判定，即可证出：． 【正确解答】（1）解：根据题意：已知：，、分别平分和，则； （2）解：此命题为真命题；理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 【考点点评】此题主要考查的是平行线的性质和判定，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等和平行线的判定：同位相等，两直线平行，是解决此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$