2024-2025学年深圳市盐田高级中学高二数学下学期期末考试模拟卷（4）人教A版选择性必修一、二、三

2025学年盐田高级中学高二下期末考试模拟卷（4） 姓名：___________班级：___________命题人：陈斌 审题人：俞兴保 一、单选题 1．已知是等比数列，，则公比（   ） A． B． C．2 D． 2．已知随机变量的分布列为 0 1 2 设，则（   ） A．2 B． C． D． 3．下列说法中错误的是（ ） A．一组数据3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位数为20 B．若随机变量 ，且，则 C．已知数据，数据，数据的标准差是数据标准差的4倍 D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数 4．已知在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列说法不正确的是（    ） A． B．展开式的各项系数和为729 C．展开式中的系数为15 D．展开式中奇数项的二项式系数和为32 5．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 6．在某次环保知识竞赛中，已知小敏答对一题的概率均为，且每次答题是否正确互相独立．若小敏连续回答三题，记事件A为“至少答对两题”，事件B为“第三次答题正确”，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知事件，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．已知随机变量，若，，则 B．三位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 C．已知，则 D．从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率为 11．我们把短轴长与长轴长的平方比为的椭圆称为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，其左、右焦点分别是，，，左、右顶点分别为，上、下顶点为，则（   ） A．椭圆C的离心率为 B．a，b，c成等比数列 C．是直角三角形 D．以，为直径的圆是菱形的内切圆 三、填空题 12．西部某县委将7位天学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有 种. 13．已知函数若直线与曲线有三个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 14．已知函数，数列是公差不为0的等差数列，，则 . 四、解答题 15．为了研究高中学生每天整理数学错题的情况，沈阳市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 优秀人数 非优秀人数 合计 每天都整理人数 14 a 不是每天都整理人数 b 15 20 合计 40 (1)计算a，b的值，并判断是否有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ (2)从样本中不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为X，求X的分布列和期望. 附： 16．已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若，对恒成立，求实数a的取值范围． 17．已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是． (1)求的值，并判断是否有常数项； (2)展开式中系数最大的项是第几项？ 18．已知是等差数列，，，数列的前项和为且满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，求的最大值． 19．已知双曲线的右焦点为，离心率为，双曲线过点，直线与双曲线的右支交于、两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线过点，定点（异于点）满足，求的值； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025学年盐田高级中学高二下期末考试模拟卷（4）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D C B C C B BCD AC BCD 1．D 【分析】根据等比数列的任意两项关系列式即可求出. 【详解】因为，所以，解得．故选：D. 2．C 【分析】先根据分布列的性质得出，即可列出的分布列进而求出期望. 【详解】由，得， 则的分布列为： 所以． 故选：C. 3．D 【分析】根据上四分位数概念计算可判断A；根据正态分布性质计算可判断B；根据方差性质可判断C；根据线性回归方程概念可判断D. 【详解】对于A，由上四分位数的概念可知：数据3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位数为20，故选项A正确； 对于B，因为随机变量 ，图象关于对称，又， 所以，故选项B正确； 对于C，设数据的标准差为，则数据的标准差为，C正确； 对于D，因为样本点不一定在线性回归直线上，所以不一定是，故选项D错误， 故选：D 4．C 【分析】根据二项式系数的性质求出，再根据二项式展开式的通项公式逐一分析选项. 【详解】根据二项式系数的性质：当为偶数时，二项式展开式中中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，二项式展开式中中间两项的二项式系数最大. 根据题意，在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，所以，所以，所以A正确. 要求展开式的各项系数和，则令，那么各项系数和为，B正确. 二项式的展开式为：. 要求展开式中的系数，则令，解得. 将代入通项公式中可得的系数为，所以C错误. 根据二项式系数的性质：二项式展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 且都等于，因为这里，所以奇数项的二项式系数和为，所以D正确.故选：C. 5．B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 设到距离为， ，时，.故选：B． 6．C 【分析】应用二项分布概率求法求，再求答对2个题且第三次答题正确的概率，最后应用条件概率公式求概率. 【详解】由题设，小敏答对的个数，则， 对于时，第三次答题正确，则前两个题答对一个，故， 所以，所以.故选：C 7．C 【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得. 【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根． 当时，，令，可得； 当时，，令，可得． 在同一坐标系下，作出函数，和的图象， 如图所示， 由函数，可得，可得时，，， 故函数在处的切线方程为， 又由函数，可得，可得时，， 故函数在的切线方程为， 所以函数与只有一个公共点， 结合图象得：当时，恰有3个零点；当时，恰有2个零点； 当时，恰有3个零点， 要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为．故选：C. 8．B 【分析】根据已知得出切线方程，再根据切线斜率列式结合点在切线上列方程组求参. 【详解】倾斜角为且横截距为a的直线l为，即得， 曲线与直线l相切， 设切点为，因为，所以且， 所以，所以， 设， 因为，所以，所以当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，所以，所以 所以，即得. 故选：B. 9．BCD 【分析】综合运用条件概率、全概率公式及对立事件的概率求法依次判断各项的正误. 【详解】由题设，A错；，B对； ，所以，D对； ，C对.故选：BCD 10．AC 【分析】利用二项分布的期望和方差公式求出的值，可判断A选项；利用插空法结合古典概型的概率公式可判断B选项；利用排列数和组合数公式求出的值，可判断C选项；利用超几何分布的概率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，随机变量，若，， 即，解得，A对； 对于B选项，三位男生和两位女生随机排成一列，共有种方法， 两位女生不相邻，先安排三位男生，有种方法，再把两位女生插空，有种方法， 故概率是，B错； 对于C选项，因为，即，由题意可知，解得，C对； 对于D选项，从一批含有件正品、件次品的产品中任取件， 则取得件次品的概率为，D错.故选：AC. 11．BCD 【详解】对于A，由“黄金椭圆”的定义可知，即. 所以椭圆的离心率， 因为椭圆的离心率，所以，故A错误； 对于B，由可得，由可得，所以， 所以，即a，b，c成等比数列，故B正确； 对于C，由题意可知，所以，，， 因为， ，所以，所以是直角三角形，故C正确； 对于D，以，为直径的圆的方程为， 菱形的边长为，周长为.菱形的面积， 设菱形的内切圆半径为，则菱形的面积周长，所以. 直线的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，则， 所以以，为直径的圆是菱形的内切圆，故D正确.故选：BCD 12．104 【详解】分组的方案有3、4和2、5两类： 第一类有种；第二类有种； 所以共有种不同的方案. 故答案为：104 13． 【详解】设与相切于点，则，解得， 此时，由，得， 由，解得， 此时切点为，作出函数与的图象如图， 由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点， 所以实数的取值范围是.故答案为：. 14．9 【详解】由，得. 因为数列是公差不为0的等差数列，所以. 因为关于中心对称，所以， 此时满足， 所以.故答案为：9. 15．(1)，，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” (2)分布列见解析， 【详解】（1）依题意，，， 数学优秀人数 数学非优秀人数 合计 每天都整理人数 14 6 20 不是每天都整理人数 5 15 20 合计 19 21 40 零假设为：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关 根据列联表中的数据，计算得 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. （2）不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， X的所有可能值为0，1，2，3， ，，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望. 16．(1)和；(2) 【详解】（1）函数的定义域为． 当时，，， 令，解得或，所以的单调递增区间为和； （2），， 令，解得或， 当时，当时，，在单调递增； 因为对恒成立，所以，即，移项可得， 因为，所以满足条件； 当时，当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以当时，取到最小值，即， 因为对恒成立，所以，即， 令，所以，令， 所以， 因为，所以，所以，所以在上单调递减， 所以， 即，所以在上单调递减，又因为，且， 所以． 综上，实数a的取值范围为． 17．(1)，没有常数项 (2)第项 【详解】（1）由题意得，即，解得. 展开式通项为， 由可得，故展开式中没有常数项. （2）设展开式中系数的最大的项为， 由解得，因为，故， 因此展开式中第项的系数最大. 18．(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解，所以，即． 当时，，得. 当时，①，②， ①－②得，即，即， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．即. （2）由（1）知：，则， 当时，；时，. 所以.所以当时，有最大值． 19．(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，解得，故双曲线的方程为. （2）因为，所以， 设点到直线、的距离分别为、， 所以，，所以， 故轴为的角平分线，故， 由题意可知直线不与轴重合，且点， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 由题意可得， 由韦达定理可得，，解得， ， 即， 所以对任意的恒成立， 所以，解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$