2024-2025学年深圳市盐田高级中学高二数学下学期期末考试模拟卷（3）人教A版选择性必修一、二、三

2025学年盐田高级中学高二下期末考试模拟卷（3） 姓名：___________班级：___________命题人：李博 审题人：张亚凡 一、单选题 1．下列说法中错误的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．越接近1，相关性越强 D．越接近0，相关性越弱 2．若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 3．某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5．，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 6．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 7．若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 10．双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 11．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 三、填空题 12．在的展开式中，常数项是 . 13．若是函数的极值点，则 14．一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望 . 四、解答题 15．已知数列中，，，数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 16．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，. (1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程； (2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？ （注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，. 17．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 18．已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 19．已知函数，，． (1)若在点处的切线平行于直线：，求的值； (2)求的单调区间； (3)当时，求证：对任意，恒有成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二下期末考试模拟3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C C C B B AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误；对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 2．D【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，，于是，则，即.故选：D 3．C【详解】当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种；当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种；于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意；基本事件总数显然是，根据古典概型的计算公式，所求概率为.故选：C 4．C【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误；对于B，亩产量不低于的频数为，所以低于的稻田占比为，故B错误；对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确；对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误.故选；C. 5．C【详解】因为，所以当时，，当时，，经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为，则数列的前项和为 数列的前项和为 .故选：C 6．C【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去），所以.故选：C. 7．B【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个，∵圆心到直线的距离为：，故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 8．B【详解】设直线与轴交于点，连接，因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为，则，因为是等边三角形，的中点为，则轴，所以准线为，为矩形，则，故是边长为4的等边三角形，易知，则.因为，所以直线的斜率为,直线的方程为.故选：B    9．AD【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误；对C，，故C错误；对D，，，则，故D正确；故选：AD. 10．ACD【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确；对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且，设，则，故，故，由A得，故即，故B错误；故选：ACD. 11．ABD【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误；对D，当时，，则，令，解得或（舍去），当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则是极大值点，故D正确；故选：ABD. 12．15.【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：. 13．【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得，当时，，当单调递增，当单调递减，当单调递增，所以是函数的极小值点，符合题意；所以.故答案为：. 14．/. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故，：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种， 故，所以 .故答案为：. 15．(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）取数列的任意相邻两项与， ∴． 又，且，∴， ∴是以为首项，为公差的等差数列．∴． （2）由（1）得，∴， ∴，① ∴，② ①－②得：， 所以． 16．(1) (2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值 【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为， 由题意可得， ，则， 所以，关于的回归方程为. （2）解：由可得， 年利润 ， 当时，年利润取得最大值，此时， 所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值. 17．(1) (2)， (3) 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 18．(1) (2) 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 19．(1) (2)函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； (3)见解析 【详解】（1）， ， ， 切线平行于直线：， ，解得：； （2）， ， 当时，显然，故在上单调递增； 令，， 当时，，故在上单调递增， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故在上单调递增； 当时，令，， 当时，，故在上单调递减， 由于，故当时，， ，故在上单调递增； 故函数的单调递增区间为：，，无单调递减区间； （3）当时，需要证明：，恒有成立， 即， 化简得：， 即证：， 当时，，又， ， 当时，记，则， 记，则， ，， 所以当，单调递增，所以， 所以在单调递增，所以， 综上：对任意，恒有成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$