专题1.3（2） 正方形的性质与判定（专项练习）（夯实基础）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3（2） 正方形的性质与判定（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025八年级下·全国·专题练习）正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 4．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·上海·阶段练习）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（   ） A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直 C．相等 D．互相垂直 6．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 7．（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 8．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·浙江温州·三模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，使点落在正方形内部，延长交的平分线于点，连接交于点，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·河南周口·期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是 ；具有性质“两条对角线互相垂直”的是 ． 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ． 13．（2025·陕西榆林·一模）如图是一个长为x的矩形纸片，在其左侧剪掉一个最大的正方形．若剩余矩形的周长为y，则y与x之间的关系为 ． 14．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为 ． 15．（2024·河南郑州·模拟预测）在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为 ． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则 ． 17．（2025·安徽六安·三模）如图，现有正方形纸片，点，分别在，边上，分别沿，折叠，使得，两点均落在点处，然后还原． （1） ． （2）连接，分别交两条折痕，于点，，已知，，则的长为 ． 18．（2025·河南周口·二模）如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求． 22．（本小题满分10分）（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿对折，点恰好落在边上的处，在上取点，使得，连接． （1）求证：四边形为正方形； （2）判断是什么三角形，并说明理由． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数：______； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若，请直接写出线段的长：______． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西·阶段练习）综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3（2） 正方形的性质与判定（专项练习）（夯实基础） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2025八年级下·全国·专题练习）正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（   ）． A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可． 解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，根据旋转的性质可得，进而根据，即可求解． 解：∵在正方形中，，为的中点， ∴，， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·湖南岳阳·一模）数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具．老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定定理是解题的关键． 利用有一个角为直角的菱形为正方形即可得出答案． 解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D. 该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A． 4．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判断和性质，勾股定理，过点作于，由正方形的性质可得，，即可得四边形是矩形，进而得到四边形是正方形，得到，再利用勾股定理求出可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，过点作于，则， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：． 5．（24-25九年级下·上海·阶段练习）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形．如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（   ） A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直 C．相等 D．互相垂直 【答案】D 【分析】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题的关键． 由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点所得四边形是矩形． 解：根据题意画出图形如下： 与的位置关系是互相垂直． 证明：点E、F、H、G分别是、、、的中点， 连接，，，，与交于点M， ∵四边形是矩形， ∴， ∵E、F、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴E、H、分别是、的中点， ∴， 又∵点E、H分别是、各边的中点， ∴， 即． 故选：D． 6．（2025·浙江绍兴·三模）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点拨】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 7．（22-23八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，矩形的面积为288，分别是边的三等分点，若，则阴影四边形的周长为（    ）    A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】A 【分析】证明四边形是菱形，根据矩形的面积为288，得出，根据，设，则，得出，求出，负值舍去，得出，，根据勾股定理得出，得出，求出菱形的周长即可． 解：连接，如图所示：    ∵矩形， ∴ ∵分别是边的三等分点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形 ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ，即， 同理可证， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵矩形的面积为288， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的周长为， 即阴影部分的周长为20． 故选：A． 【点拨】本题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定和性质的应用，菱形的周长，熟练掌握平行四边形的特殊平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 8．（2025·山西大同·三模）如图，四边形是正方形，对角线，交于点O，点E在正方形的内部，且．连接并延长交边于点F，线段，分别与，交于点M，N，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到是的垂直平分线，即可得到，进而判断A；有等边对等角得到，，即可得到，进而判断B；证明出，得到，即可判断C；只有当时，，即可判断D． 解：∵四边形是正方形，对角线，交于点O， ∴ ∵ ∴是的垂直平分线 ∴，故A不符合题意； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即，故B不符合题意； ∵，， ∴ ∴，故C不符合题意； 只有当时，， 根据题意无法求出，故不一定成立，故D符合题意． 故选：D． 【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，等边对等角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．（2025·浙江温州·三模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，使点落在正方形内部，延长交的平分线于点，连接交于点，则下列比值是定值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，设，由正方形的性质可得，则，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，，，则可证明，则是等腰直角三角形，进而得到，据此可得答案． 解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵交的平分线于点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积等知识，根据题意列出方程求出m的值是解题的关键．先表示出点A的坐标，继而表示出正方形的边长，求出点B的坐标从而待定系数法求出的解析式，再令，求出点E的坐标，从而得出并表示出直线与围成的阴影三角形的面积，继而列出方程解出m，从而判断，求出AE，继而求出的面积，从而判断C，继而得解． 解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为：， 解得：（舍去）， ∴m的值为2，正方形的边长是2，直线的解析式是，， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D． 2、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·河南周口·期末）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是 ；具有性质“两条对角线互相垂直”的是 ． 【答案】 矩形、正方形 菱形、正方形 【分析】本题考查了菱形、正方形、矩形等性质，根据正方形的对角线是互相平分、垂直、相等；矩形的对角线是互相平分、相等；菱形的对角线是互相平分、垂直等性质进行分析，即可作答． 解：∵正方形的对角线是互相平分、垂直、相等； 矩形的对角线是互相平分、相等； 菱形的对角线是互相平分、垂直 ∴具有性质“两条对角线相等”的是矩形、正方形； ∴具有性质“两条对角线互相垂直”的是菱形、正方形； 故答案为：矩形、正方形；菱形、正方形 12．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ． 故答案为：． 13．（2025·陕西榆林·一模）如图是一个长为x的矩形纸片，在其左侧剪掉一个最大的正方形．若剩余矩形的周长为y，则y与x之间的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式、矩形与正方形的性质，正确求出剩余矩形的长与宽是解题关键．设这个矩形纸片的宽为，则其左侧剪掉的最大正方形的边长为，从而可得剩余矩形的长与宽，再利用矩形的周长公式求解即可得． 解：设这个矩形纸片的宽为，则其左侧剪掉的最大正方形的边长为， 由题意得：， 整理得：． 故答案为：． 14．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，以适当长为半径画弧，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点；再分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧在第二象限相交于点，连接，．若，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的运算，熟练根据作图确定是解题的关键．连接，，由作图可知，判定四边形是正方形，再在等腰直角中求出和即可解决． 解：如图，连接，， 由作图可知， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 15．（2024·河南郑州·模拟预测）在矩形中，，点E为射线上一点，将沿着翻折，使得点B的对应点F落在射线上，若线段，连接，则的值为 ． 【答案】或 【分析】 分两种情况：①如图1所示，点F落在线段上，②如图2所示，点F落在射线 上，证明四边形为正方形并求出正方形的边长，根据勾股定理即可求得答案． 解： 解：①如图1所示，点F落在线段上， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠的性质得 ∴四边形为正方形， ∴ 在中， ②如图2所示，点F落在射线上， ∵， ∴ ∴， ∵四边形是矩形， ∴ 由①可知四边形为正方形， ∴． 在中， 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【点拨】 本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，正方形的性质和判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明四边形为正方形是解决问题的关键． 16．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键． 由正方形的性质、轴对称的性质以及折叠的性质可得、，进而得到；如图：过点B作于点M，由等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；然后证明是等腰直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 解：∵正方形的边长为13， ∴， ∵点为点A关于的对称点， ∴， ∴， 如图：过点B作于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（2025·安徽六安·三模）如图，现有正方形纸片，点，分别在，边上，分别沿，折叠，使得，两点均落在点处，然后还原． （1） ． （2）连接，分别交两条折痕，于点，，已知，，则的长为 ． 【答案】 45度/ 【分析】该题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）由折叠得，结合，即可求解； （2）连接．由折叠可得，得出，即可得，．又根据在正方形中，，从而得出，求出．在中，根据勾股定理即可求解． 解：（1）由折叠得， ， ， ． （2）连接． 由折叠可得， ∴， ，． 又在正方形中，， ， ． 在中，． 故答案为：；． 18．（2025·河南周口·二模）如图，直线与坐标轴交于A，P两点，过点A作交y轴于点B，以为边在AB右侧作正方形，复制正方形并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，继续复制正方形（，并沿着直线向上平移，使得一边重合，得到正方形，依此类推，复制平移2025次后，顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，先求出得到，则，进而得到，则是等腰直角三角形，则，，由正方形的性质可得，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形，，可得，同理可得，，……，据此可得答案． 解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 由正方形的性质可得， ∴， 如图所示，过点C作轴于D，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，……， 以此类推可得，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知：如图，是正方形的边上的两点，，连接． （1）求证：． （2）求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，再导角即可证明． 解：（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）且，理由见分析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 解：（1）解：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求． 【答案】（1）正方形，见分析；（2） 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 解：（1）解：四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）解：如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 22．（本小题满分10分）（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，点是边上一点，将沿对折，点恰好落在边上的处，在上取点，使得，连接． （1）求证：四边形为正方形； （2）判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）是等腰直角三角形，理由见分析 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记矩形的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质结合折叠的性质即可证明； （2）先证明，推出．再证明，即可得出结论． 解：（1）证明：四边形是矩形， ． 由对折可知， 四边形为矩形． 又由对折可知， 四边形为正方形； （2）解：是等腰直角三角形．理由如下： 由（1）知，四边形为正方形， ． 在与中， ， ， ． ， ， ， 是等腰直角三角形． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京·期中）如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数：______； （2）在（1）的条件下，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若，请直接写出线段的长：______． 【答案】（1）见详解，；（2），证明见分析；（3）或 【分析】（1）由题意画出图形； （2）过点作，交于点，证明，得出，，则可得出结论； （3）分两种情况，由等腰直角三角形的性质可得出结论． 解：（1）解：（1）由题意补全图形如下： 作点关于射线的对称点， ， 四边形是正方形， ， ， ， 故答案为：； （2）． 证明：过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）由对称可知， ， ， 当时，如图，由（2）可知； 当时，如图， 同理可得． 综上所述，的长为或． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级下·山西·阶段练习）综合与实践 如图，在等腰直角中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造等腰，，连接． 特例感知 （1）如图1，请判断与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 （2）点F与点C关于对称，连接，，，如图2．已知，设． ①的面积为_______（用含x的代数式表示）； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1）,  （2）①  ②或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）利用等腰直角三角形的性质，根据证明，即可得到结论； （2）①连接交于，根据勾股定理求出的长，然后根据（1）的结论，根据勾股定理表示，然后根据对称得到四边形是正方形，即可得到解题即可；②作于， 连接，表示，长，利用勾股定理求出长，然后根据求出x值即可． 解：（1），， ∵， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴， 即； （2）解：①连接交于， 则， ， ， ，且，， ， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴故答案为：； ②过作于， 则是等腰直角三角形， ， ， 连接，由直角三角形性质得， ， ， ， ， 则， ， ， 解得或 或 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$