期末综合复习解答题专题训练2024-2025学年苏科版八年级数学下册

期末综合复习解答题专题训练2024-2025学年苏科版八年级数学下册 1．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 2．观察下列各式及其验证过程： （1）， 验证：； （2）， 验证：． (1)按照上述两个等式及验证过程的基本思路，猜想第（3）个式子的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出第n个式子（的整数）． 3．某数学兴趣小组对对角线互相垂直的四边形进行了探究． (1)探究：如图，若四边形的对角线与相交于点，且，请你证明四边形的四条边长满足：． (2)应用一：如图，若，分别是中，边上的中线．且垂足为，求证：； (3)应用二：如图，中，点、、分别是，，的中点．若，，．求线段的长． 4．如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形． (1)如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度； (2)如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹） (3)在上一问的图形中，若已知，，，请求出当最短时，的长． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 6．如图，在和中，，；，不动，绕点旋转，连接、，为的中点，连接． (1)如图①，当．时，求证： ①； ②； (2)当时，（1）中的结论是否成立？请结合图②说明理由． 7．【问题情境】 如图 1，在矩形中，E是边上的一点，过点D作，过点D作，过点A作，且． 【基础探究】（1）如图1，求证：． 【深入探究】（2）如图2，当E在延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并证明． 【拓展迁移】（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，当E在延长线上的位置发生改变时，判断的大小是否发生变化，请说明理由． 8．如图，在中，对角线相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A、C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． (1)如图，四边形是平行四边形吗？说明理由； (2)若，当运动时间t为何值时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形？ 9．列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，，，，点A的坐标为．动点的运动速度为每秒个单位长度，动点的运动速度为每秒个单位长度，且．设运动时间为，动点、相遇则停止运动． (1)求，的值； (2)动点，同时从点出发，点沿长方形的边界逆时针方向运动，点沿长方形的边界顺时针方向运动，当为何值时、两点相遇？求出相遇时、所在位置的坐标； (3)动点从点出发，同时动点从点出发：若点、均沿长方形的边界逆时针方向运动，为何值时，、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，求出此时、所在位置的坐标． 11．观察下列等式： ①； ②； ③； … 根据上述规律，解答下列问题． (1)______； (2)猜想：______； (3)计算：． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A、C两点的坐标分别为．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位长度，得到平行四边形，其中边与x轴交于点G，边与交于点H． (1)请直接写出点N，M的坐标以及直线的表达式__________． (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形，请求出重叠部分的面积． (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使以点O、N、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 13．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，将线段向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段，其中点与点是对应点，点与点是对应点，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)分别连接，交点为， ①如图，连接，当时，求的值； ②作与关于点成中心对称的，当点位于的内部或边上时，直接写出的取值范围． 14．问题提出 （1）如图1，在中，，，，求点B到边的距离； 问题探究 （2）如图2，在中，，，以为斜边作等腰，连接，求的最大值； 问题解决 （3）如图3是某试验田的示意图，其中，，且，A、C之间的距离为．现要求从点A处修建一条笔直的水渠（点P在四边形的任意一条边上），且平分该试验田的面积，请问小王能否找到满足条件的点P？如果能，求出点P到的距离；如果不能，请说明理由． 15．（一）类比探究 已知是等腰直角三角形，，，点为平面内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，当点在斜边上时，线段与线段的数量关系是，与的位置关系是； （2）如图2，当点为的边左侧一点时，延长，交于点，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； （二）学以致用 （3）如图3，已知是等腰直角三角形，，，点D为的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)、款哪吒玩偶每个各6元和9元 (2)购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用． （1）设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．根据用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案． （2）设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，根据其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则（元）， 、款哪吒玩偶每个各6元和9元． （2）解：设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个， 款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的， ， 解得， ，且为正整数． 根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用， ， 随的增大而减小， ，且为正整数， 当时，取最小值，此时， 即购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 2．(1)，验证见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，分解因式的应用，异分母分式的加减，解题关键是将根号内通分． （1）先将根号内通分，再利用二次根式的性质化简； （2）先将根号的分式内通分，再将分子分解因式，然后利用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 3．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解答本题的关键. （1）由勾股定理可得出结论； （2）连接，由，可得出结论； （3）连接交于，设与的交点为，由点、分别是，的中点，得到是的中位线于是证出，由四边形是平行四边形，得到，，分别是，的中点，得到，证出四边形是平行四边形，证得，推出，分别是的中线，由（2）的结论得即可得到结果. 【详解】（1） 如图由勾股定理得： ， ， （2） 证明：连接， ， ， ，， ，， ， ，，， ， （3）解：如图3，连接，交于，与交于点，设与的交点为， 点、分别是，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 4．(1)； (2)见解析； (3)的长为． 【分析】（）连接，根据矩形的性质得到，，，求得，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到结论； （）由（）知：，根据题意作出图形即可； （）当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）知：， ∴， 作法：作，连接，再作的垂直平分线，交于，得四边形即为所求作的内接菱形； （3）解：如图，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于， 在中， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即当的长最短时，的长为． 【点睛】本题主要考查新定义——四边形的内接菱形，基本作图——线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，垂线段最短，平行四边形、菱形和矩形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．(1); (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积．熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点代入，求出反比例函数的表达式；可求出点坐标，再将，两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线的表达式； （2）设直线与轴交于点，平移后的直线与轴交于点，连接，，则，依据，即可得出的面积与的面积相等，可求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【详解】（1）解：反比例函数的图象过点，点的坐标是， ，即， 反比例函数的表达式为， 反比例函数的图象过点，的纵坐标是， 时，， ． 把点，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：如图，设直线与轴交于点，平移后的直线与轴交于点，连接，， 令，则， ， ， 的面积与的面积相等， ， 即， ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为． 6．(1)①见解析；②见解析； (2)成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理： （1）①根据，可得，即可证明；②根据全等三角形的性质可得，然后根据直角三角形的性质解答即可； （2）延长交于点G，在上截取，证明，可得，再由是的中位线，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：①，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 如图，延长交于点G，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴． 7．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）证明即可得证； （2）证明四边形是矩形，结合，可得四边形是正方形，所以，进一步即可得出结论； （3）过点作于点，在上截取，连接，证明，可得，，，证明，可得，证明，进一步可得结论． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 又，，， ， ， ， ， 又，， ， ； （2），证明如下： ，，， 四边形是矩形， 同（1）理可得， ，， 四边形是正方形， ， ； （3）的大小没发生变化，理由如下： 过点作于点，在上截取，连接， ，， 由（2）得， ， 矩形是正方形， 又四边形是正方形形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， 又， ． 8．(1)是平行四边形，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质以及分类讨论思想是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）由题意可知，，当时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，分两种情况，①点E在上，点F在上，②点F在上，点E在上，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F两动点、C两点以相同的速度向C， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由题意可知，， ∵四边形是平行四边形， ∴时， 当以D、E、B、F为顶点构成四边形，则需分两种情况： ①点E在上，点F在上，则， ∴，解得：； ②点F在上，点E在上，则， ∴，解得：； 综上所述，当运动时间t为或时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形． 9．(1)一台机器人每分钟采茶的片数为30，则一名工人每分钟采茶的片数为25 (2) 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用， （1）设一台机器人每分钟采茶的片数为x，则一名工人每分钟采茶的片数为，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】（1）设一台机器人每分钟采茶的片数为x，则一名工人每分钟采茶的片数为 根据题意得， 解得 ∴ ∴一台机器人每分钟采茶的片数为30，则一名工人每分钟采茶的片数为25； （2）根据题意得， 解得 经检验，是原方程的解． 10．(1)， (2)时，、两点相遇，此时，两点的坐标为 (3)时，P坐标为，Q坐标为 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据路程之和等于矩形的周长构建方程即可解决问题； （3）根据题意得到两点的位置关于原点O对称，进而求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负数的性质，相遇问题等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题． 【详解】（1）解：∵． 又∵． ∴，． （2）由题意可得：点P运动路程为t，点Q运动路程为，长方形的周长为， 根据题意得， ， 即时，、两点相遇． 此时点P所走路程：， ∵， ∴在边相遇， ∵，，点A的坐标为 ∴点D的坐标为 ∴相遇时横坐标为：，纵坐标为：， 此时，两点的坐标为． （3）由题意：、两点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 ∴两点的位置关于原点O对称， 当时，此时点P所走的路程4，坐标为 此时Q坐标为，满足条件， 所以此时P坐标为，Q坐标为． 11．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查数字规律以及二次根式的运算，正确进行分母有理化是解答本题的关键． （1）根据题例进行计算即可； （2）依照所给示例和（1）总结规律即可； （3）根据规律解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 12．(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）由平移的性质即可求得点N，M的坐标，根据待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；对于直线的解析式为，令，求出，则，过点M作轴于F，则，，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为：， （2）解：过点M作轴于F， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，平移的性质，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合等等，熟知平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 13．(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)①；②图见解析， 【分析】（1）根据平移的性质得到，即可得到结论； （2）①根据题意得，连接，得到，继而得到，得到； ②分别求出直线的解析式，得到，解得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， 根据平移的性质得到， 四边形是平行四边形； （2）解：①，， 根据题意得， 如图，连接， 由（1）知四边形是平行四边形， 是的中点， ， ， ，， ， ， ； ②如图，即为所求， 是的中点， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 令， ，，， 直线的解析式为， 点位于的内部或边上，， ， 解得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，一次函数的图象和性质，两点间距离公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14．（1）；（2）；（3）能， 【分析】（1）先利用勾股定理求得,再根据三角形面积公式，得到，求出即可； （2）将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合，根据旋转的性质可得，再根据，可得出当点三点重合时，得出的最大值为8，再利用等腰直角三角形的性质求得即可； （3）先判断为能，再说理，先将绕点顺时针旋转得到，使得与重合，根据旋转的性质可得，再说明三点共线，然后利用三角形面积公式求得，再说明，从而可得，接着利用旋转的性质，得出，从而可得，再证明，列出，求得即可． 【详解】（1）解：如解图1，过点作于点， ∵在中，， ∴． ∴． ∴． ∴点到边的距离为； （2）如解图2，将绕点顺时针旋转得到，使点与点重合． ∴． ∵， ∴当点三点重合时，有最大值， ∴的最大值为8． ∵， ∴． ∴的最大值为； （3）能． 如解图3，将绕点顺时针旋转得到，使得与重合， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴三点共线． ∵， ∴， ∴． 过点作交的延长线于点，连接． ∵与均是以为底边的三角形，且高相等， ∴． ∴． ∵由旋转性质可得，． ∴． 取的中点，连接，过点作于点，则即为所求． ∴． ∴． 解得． ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查了利用旋转的性质求面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是利用旋转的性质说明相关线段相等． 15．（1）；；（2）结论依然成立，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，四边形和三角形的面积等知识点，利用旋转构造全等三角形是解答本题的关键． （1）根据题意通过把逆时针旋转得到，然后根据旋转前后对应边相等及对应角相等，即可得出结论． （2）同理（1）得出通过把逆时针旋转得到，即可得出结论不变． （）通过把线段绕点逆时针旋转构造，然后求出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得绕点逆时针旋转得到， 又线段绕点逆时针旋转得到线段， 则可视为通过逆时针旋转得到． 根据旋转的性质，旋转前后对应边相等；对应角度， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， 即． 故答案为：；． （2）根据题意，，，，同理（）也可视为通过逆时针旋转得到． 则，且， ∵，， ∴， 即． 故结论依然成立． （3）如图，把逆时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形． ，，， ∴， ． ，， ， ， 点在线段上， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，，， ， ，且当取最小值时取得最大值． ，由点到直线的最短距离可知当时，取最小值：， 的最大值为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$