第1、2章 数学与我们同行 有理数 单元测试-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第1、2章 数学与我们同行 有理数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．对下面生活数据估计最合理的是（　　） A．一个鸡蛋重约 B．课桌面的面积约是50 C．六年级学生跑50最快用50秒 D．一瓶矿泉水约有500 2．2025的相反数是（   ） A．2025 B． C．-2025 D． 3．中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 4．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 5．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 6．已知两数在数轴上对应的位置如图所示：下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．一个人唱《可可托海的牧羊人》需要5分40秒，全班50人合唱需要 ． 10．学校为了完善学生学籍信息，需要统计一位家长的身份证号码．顿珠家长的身份证号码为．这位家长是 性（填“男”或“女”）． 11． ， 12．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ． 13．计算： ． 14．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ． 15．观察下列式子：，，，…请计算( ) 16．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 19．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 20．有理数、在数轴上的位置如图所示，观察数轴，并回答下列问题： (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)用“”连接、、、． 21．阅读所给材料，并解答问题． 正数和负数是表示两种具有相反意义的量．如：胜与负、收入与支出、零上温度与零下温度、海平面以上与海平面以下、东与西、升与降等．这些都是具有相反意义的量，因此可以用正、负数来表示它们．例如：若规定向东走200米记作米，则向西走300米记作米；反之，若规定向西300米记作米，则向东走200米记作米． 根据上述材料，回答下列问题： 出租车司机小王某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上行驶的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下：（单位：千米） ，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油率为升/千米，则这天下午汽车共耗油多少升？ 22．阅读材料，回答下列问题，通过计算容易发现： ①，②，③； ④，⑤，⑥ (1)通过观察①②③，计算的值． (2)探究④⑤⑥运算规律，计算的值 23．阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 24．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 25．综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1、2章 数学与我们同行 有理数 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．对下面生活数据估计最合理的是（　　） A．一个鸡蛋重约 B．课桌面的面积约是50 C．六年级学生跑50最快用50秒 D．一瓶矿泉水约有500 【答案】D 【分析】本题考查了对生活数据的估计，根据相关生活经验判断各项，即可解题． 【详解】解：A、一个鸡蛋重约，不合理，不符合题意； B、课桌面的面积约是50，不合理，不符合题意； C、六年级学生跑50最快用50秒，不合理，不符合题意； D、一瓶矿泉水约有500，合理，符合题意； 故选：D． 2．2025的相反数是（   ） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】C 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：2025的相反数是-2025． 故选：C． 3．中国古代数学著作《九章算术》“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果水位上升3米记作米，那么水位下降8米记作（   ）米． A． B．11 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用，结合题中所给的信息解答是解答的关键． 根据题意向上为正，下降为负结合负数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，水位上升3米记作+3米，则水位下降应记为负数． 下降8米即与上升方向相反，数值为8米， 故记作米． 故选C． 4．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数是（         ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，解题的关键是熟练掌握原点左边的点表示的数为负数，原点右边的点表示的数为正数，左边的点表示的数比右边的点表示的数小．根据数轴表示数的方法，一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位，再向右移动2个单位，这时该点所表示的数为，然后计算即可． 【详解】解：， 该点所表示的数为， 故选：A． 5．一批食品，标准质量为每袋．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，绝对值的意义，根据绝对值越小的数是最接近标准质量的，故先化简各个数值的绝对值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴最接近标准质量的是， 故选：C 6．已知两数在数轴上对应的位置如图所示：下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数的大小比较，有理数的乘法和减法法则，绝对值意义，熟知数的大小比较法则和有理数的乘法和减法法则是解答本题的关键，首先由图可知，结合两个数相乘同号得正，绝对值的意义即可得到答案． 【详解】解：由图可知， 则，故选项A，C，D错误，选项B正确， 故选：B． 7．张丽用计算器计算“”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（ ）． A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法运算的灵活应用，以及通过分解、转化等方法解决实际问题的能力，解题的关键是在避免直接使用数字“9”的情况下，等价表示．据题意，由于计算器的“9”键损坏，需将转换为不含数字9的表达式进行计算，同时验证各选项是否与原式等价． 【详解】解：选项A、，计算正确，故此选项不符合题意； 选项B、正确拆分应为，但选项B直接减去0.1，无法得到正确答案，故此选项符合题意； 选项C、根据乘法结合律，，计算正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，由题意得两人背单词的总数量为个，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两人背单词的总数量为个， 同学比同学多背诵的单词数量为个， ∴同学背诵的单词数量为个， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．一个人唱《可可托海的牧羊人》需要5分40秒，全班50人合唱需要 ． 【答案】5分40秒 【分析】根据题意和数学常识求解即可． 【详解】解：50个人合唱这首歌用的时间和一人唱这首歌用的时间相同，都是5分40秒． 故答案为：5分40秒． 【点睛】此题考查了数学常识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 10．学校为了完善学生学籍信息，需要统计一位家长的身份证号码．顿珠家长的身份证号码为．这位家长是 性（填“男”或“女”）． 【答案】女 【分析】根据身份证号码的编码规则可知，第17位数字是单数就表示男性，是双数就表示女性．本题主要考查身份证编码规律的应用． 【详解】解：∵第17位数字是单数就表示男性，是双数就表示女性，且是双数 ∴顿珠家长的身份证号码为．这位家长是女性． 故答案为：女． 11． ， 【答案】 / 【分析】本题考查的是化简绝对值及化简多重符号，熟练掌握绝对值性质及化简多重符号的方法是解题关键，根据绝对值及相反数定义直接计算即可． 【详解】解：； ； ； ， 故答案为：，，，． 12．2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地共筑未来”．国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，熟练掌握以上知识是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，即可得出答案． 【详解】解：； 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，简便计算的方法，逆用乘法的分配律将原式变为，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2025． 14．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：．例如：．则 ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义运算，有理数混合运算．理解新定义是解题的关键． 根据新定义的运算得到，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 15．观察下列式子：，，，…请计算( ) 【答案】/ 【分析】该题考查了有理数的加减运算，观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 16．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，则对于任何有理数x，取最小值时，相应的x的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的几何意义．根据绝对值的几何意义求解； 【详解】， 由表示的含义可得： 当时，有最小值，最小值为， ， 当时，的最小值为， 当时，有最小值为， 故答案为：； 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用有理数的乘除法则计算即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方及绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．如图，大小完全相同的两个直角三角形纸片，若将它们的某条边重合，能拼成几种不同形状的平面图形? 试一试，画出拼成的图形． 【答案】见解析 【分析】分别将两个直角三角形纸片的斜边、两条直角边重合，即可求解． 【详解】解：可以拼成如图的6种不同形状的图形． 【点睛】本题考查平面图形的相关知识点．将两个直角三角形的斜边、两条直角边分别重合是解题关键． 19．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 20．有理数、在数轴上的位置如图所示，观察数轴，并回答下列问题： (1)比较和的大小． (2)比较和的大小． (3)用“”连接、、、． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴、比较有理数的大小，解决本题的关键是根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，比较数的大小． 根据有理数、在数轴上的位置比较两数的大小即可； 因为表示数的点到原点的距离大于表示数的点到原点的距离，根据绝对值的定义可知； 把、、、表示在数轴上，根据它们在数轴上的位置比较大小． 【详解】（1）解：表示数的点在原点左侧， ， 表示数的点在原点右侧， ， ； （2）解：由数轴可知，表示数的点到原点的距离大于表示数的点到原点的距离， ； （3）解：把、、、表示在数轴上， 如下图所示， 数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数， ． 21．阅读所给材料，并解答问题． 正数和负数是表示两种具有相反意义的量．如：胜与负、收入与支出、零上温度与零下温度、海平面以上与海平面以下、东与西、升与降等．这些都是具有相反意义的量，因此可以用正、负数来表示它们．例如：若规定向东走200米记作米，则向西走300米记作米；反之，若规定向西300米记作米，则向东走200米记作米． 根据上述材料，回答下列问题： 出租车司机小王某天下午的营运全是在东西走向的人民大道上行驶的．如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下：（单位：千米） ，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油率为升/千米，则这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)小王距下午出车地点的距离是22千米； (2)这天下午汽车共耗油295升． 【分析】本题主要考查了正数和负数，具有相反意义的量的运用，理解数量关系，掌握正负数、相反意义的量的实际运用，有理数的加减，乘法运算法则是关键． （1）运用有理数的加法运算即可； （2）运用有理数的乘法运算即可． 【详解】（1）解：，， ∴（千米）， 答：小王距下午出车地点的距离是22千米； （2）解：（千米）， ∴（升）， 答：这天下午汽车共耗油295升． 22．阅读材料，回答下列问题，通过计算容易发现： ①，②，③； ④，⑤，⑥ (1)通过观察①②③，计算的值． (2)探究④⑤⑥运算规律，计算的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律探索，关键是观察一直算是得出规律． （1）根据规律，把每个分数转化成两个相邻自然数倒数之差，进行计算便可； （2）把每个分数，转化为两个相邻自然数倒数之差的一半，在进行计算便可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 23．阅读材料：求的值． 解：设，将等式两边同时乘以2得： ， 将下式减去上式得， 即， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘方以及有理数的混合运算，数式规律问题的有关知识，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得， 将下式减去上式得：，即， ； （2）解：设， 两边乘以3得：， 下式减去上式得：， 即， ． 24．我们知道，在数学学习中，分类讨论是一种重要的数学思想，能使思维更加严谨和全面．请你运用所学知识，解答下面的问题： (1)若都是有理数，，且，求的值； (2)若都是非零的有理数，且满足同号，求的值； (3)若都是有理数，且，则的值可能是多少？ 【答案】(1)的值是10或4； (2)的值为2或； (3)的值可能是或． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的性质等知识点， (1)根据,都是有理数，,,且,可以得到、的值，然后代入所求式子计算即可； (2)根据都是非零的有理数，且满足同号，可知或,然后代入所求式子计算即可； (3)根据都是有理数，且,可知中三正或一正两负，然后代入所求式子计算即可； 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：都是有理数,,且， 或, 当时，， 当时，； ∴由上可得，的值是10或4； （2）解：都是非零的有理数，且满足同号， ,或,, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值为2或； （3）解：都是有理数，且, 中三正或一正两负，不妨设或, 当时，， 当时，， ∴由上可得，的值可能是或． 25．综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 【答案】（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意即可填涂出来； （2）根据题意把二进制转化为十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （3）根据题意把十进制转化为二进制数的方法即可求解． 【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下： （2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级； 班级：，即为六班； （3）方法一：， 方法二：则， 补全图： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$