21.2.3解一元二次方程：因式分解法（题型专练）数学人教版九年级上册

21.2.3解一元二次方程：因式分解法 【题型1】利用乘积为零解一元二次方程 1．（2024秋•北京期中）一元二次方程的解是　　 A．， B． C．， D． 【答案】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】， 或， 所以，． 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 2．方程的解是　　 A．3 B．2 C．3和2 D．0 【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】方程， 可得或， 解得：或3． 故选：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 3．（2025•河南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【分析】解一元二次方程得或，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，即可求出的值． 【详解】， 解得或， ， ． 故选：． 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2025•鞍山模拟）已知一元二次方程，则方程的根为　，　 ． 【答案】，． 【分析】根据两个数的积为0，则其中至少一个为0即可求解． 【详解】一元二次方程， 原方程可化为或， 方程的根为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【题型2】利用因式分解法（提公因式）解一元二次方程 5．（2024秋•建邺区校级月考）一元二次方程的解为　　 A．， B．， C． D． 【答案】 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】， ， 则， 或， 解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 6．（2023•新华区校级模拟）方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】方程分解得：， 可得或， 解得：，， 故选：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．（2025•武汉模拟）一元二次方程的根是　　 A． B．， C．， D． 【答案】 【分析】把方程右边的部分移到左边，再利用提取公因式法分解因式，然后转化成两个一元一次方程求解即可． 【详解】， ， ， 或， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握利用分解因式法解一元二次方程． 8．（2025•浦口区校级模拟）一元二次方程的解是　，　 ． 【答案】，． 【分析】移项后，左边提取公因式，将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】， ， 则， 或， ，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 9．用因式分解法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）， ， ， ， 或， 解得，； （2）， ， ， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 10．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），； （5），； （6）． 【分析】（1）利用提公因式法因式分解，可得结论； （2）（3）（5）若方程右边不是0，通过移项将方程右边化为0，与（1）同理利用提公因式法对方程左边因式分解，再求同解方程的解即可； （4）（6）利用公式法对方程左边因式分解，再求同解方程的解即可． 【详解】（1）， ， 或， ，； （2）， ， 或， ，； （3）， ， ，即， 或， ，； （4）， ，即， 或， ，； （5）， ， ， 或， ，； （6）， ， ， ． 【点睛】本题考查一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的方法，属于中考常考题型． 11．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）把右边的项移到左边，用完全平方公式求出方程的根．（3）用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． 【详解】（1）原方程可变形为： ， 或． ，． （2）原方程可变形为 ， ． ． （3）原方程可变形为 ， 或 ，． （4）原方程可变形为 ， ， 即． 或． ，． 【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）用完全平方公式因式分解求出方程的根．（3）题用提公因式法因式分解求出方程的根．（4）方程整理后用提公因式法因式分解求出方程的根． 【题型3】利用因式分解法（乘法公式）解一元二次方程 12．运用平方差解方程：． 【答案】，． 【分析】方程移项后，左边利用平方差公式分解，再利用两数相乘积为0两数至少有一个为0转化为两个一元一次方程求出解即可． 【详解】方程移项得：， 分解因式得：， 整理得：， 所以或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13．解方程：． 【分析】移项后根据平方差公式因式分解，再解两个关于的一元一次方程即可得原方程的解． 【详解】移项，得：， 即， 因式分解，得：， 整理，得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 14．用因式分解法解方程：． 【答案】，． 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】， ， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 15．（2024秋•静安区校级期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】， ， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了分式的混合运算． 【题型4】利用指定方法解一元二次方程 16．（2025春•蓬莱区期中）用指定的方法解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）； （4）（用适当的方法）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【分析】（1）把移到等号的右边，方程两边同时除以2把二次项系数化为1，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解即可； （2）首先找出方程中、和的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解即可； （3）利用十字相乘法，将原方程左边整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可； （4）利用平方差公式将方程右边分解因式，再移项，提取公因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可． 【详解】（1）原方程移项得，， ， ， 则， 或， 解得，； （2）， △， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； （3）， ， 或， ，； （4）， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 【题型5】用合适的方法解一元二次方程 17．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），． （4），． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）原方程可化为，即， 或， ，； （2）原方程可化为， 或， ，； （3）原方程可化为，其中，，， △， ， ，． （4）原方程可化为， ， 或， ，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法． 18．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解求出方程的根．（2）把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根．（3）用求根公式求出方程的根．（4）把常数项移到右边，用配方法解方程． 【详解】（1）原方程可变形为 ， 即， 或． 解得，； （2）原方程可变形为 ， ，，， ， ，． （3），，， ， ，． （4）原方程可变形为 ，，． ， ，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的结构特点选择适当的方法解方程，（1）题用提公因式法求出方程的根．（2）（3）题把方程化成一般形式，用求根公式求出方程的根．（4）题把常数项移到右边，用配方法解方程． 【题型6】用因式分解法解方程的过程出错问题 19．解方程：． 解：将方程两边约去，得①． 所以．② 以上解答错在第 　①　步，正确的答案是　　，　　． 【答案】①；，3． 【分析】的值不确定，所以方程两边不能同约去，由此即可得出错在哪一步． 【详解】根据解答过程可知错在第①步． ， 即， ， ，， 解得，． 故答案为：①；，3． 【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程． 20．（2024秋•尧都区期中）（1）解方程：． （2）下面是大壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 或，第四步 解得：，．第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据 　因式分解法　来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法” ； ②第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　　； 任务二：请直接写出本题的正确结果． 【答案】（1），； （2）任务一：①因式分解法． ②三，合并同类项出错． 任务二，． 【分析】（1）由公式法可得出答案； （2）由因式分解法可得出答案． 【详解】（1），，， △， ， ，． （2）任务一：①因式分解法． ②三，合并同类项出错． 任务二：， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 21．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 【答案】；；，．正确的解答过程见解析． 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】两个都错：； ， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 【题型1】因式分解法进行求值 22．（2025春•怀宁县期中）已知是实数，且满足，则的值为　　 A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】 【分析】把看作一个整体，将已知方程左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】， 分解因式得：， 可得或， 而中，△，无解， 则． 故选：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 23．（2024秋•福田区期末）已知，，则的值为　2　． 【答案】2． 【分析】将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】， ， ， ， ， ， 或， （舍去）或， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 24．（2024秋•郫都区校级期中）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】由题意知，再将展开即可得出答案． 【详解】由题意知， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 【题型2】因式分解法的应用 25．（2024秋•梓潼县期末）三角形两边的长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 　25或21　． 【答案】25或21． 【分析】已知方程利用因式分解法求出解，得到第三边长，分类讨论求出三角形的周长即可． 【详解】方程， 分解因式得：， 解得：或， 当时，， 三角形的周长为：； 当时，， 三角形的周长为：； 综上所述，三角形的周长是25或21． 故答案为：25或21． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 26．（2024秋•潮阳区期末）已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　 A．48 B．24 C．24或 D．48或 【答案】 【分析】解，可得，，如图，，，则，由，可得，由勾股定理得，，则，根据，计算求解即可． 【详解】， ， 解得，，， 如图，，，则， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，菱形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 27．（2025春•嵊州市期中）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　 A．24或 B．24 C． D．或24 【答案】 【分析】先解方程得到或，当第三边长为10时，则可利用勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6，据此利用三角形面积公式求解即可；当第三边长为6时，如图所示，不妨设，，过点作于，则，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解方程得或， 该三角形的第三边的长为10或6， 当第三边长为10时， ， 该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为8和6， 该三角形的面积为； 当第三边长为6时，如图所示，不妨设，， 过点作于，则， ， 该三角形的面积为； 综上所述，该三角形的面积为或24， 故选：． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型3】新定义问题 28．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　　 A． B．4 C．或4 D．1或 【分析】原式根据题中的新定义，进行列式计算即可得到结果． 【详解】对于任意实数，，都有★， ★， 即：， ， ， 或， ，． 故选：． 【点睛】此题考查了用因式分解的方法解一元二次方程，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 29．（2025•番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 　，　 ． 【答案】，． 【分析】根据新运算法则列出一元二次方程，然后求解即可． 【详解】☆★6， ， ， ， ，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，理解题中的新定义运算法则是解题的关键． 30．（2024•椒江区校级模拟）对于实数，，先定义一种运算“”如下：，若，则实数的值为 　3　 ． 【分析】分两种情况：当时，当时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答． 【详解】分两种情况： 当时， ， ， ， ， 或， （舍去），， 当时， ， ， （舍去）， 综上所述：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键． 【题型4】含绝对值的一元二次方程 31．先阅读例题，再解答问题． 例：解方程． 解：当时，， 解得（不合题意，舍去），； 当时，， 解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上述解法解方程：． 【答案】或． 【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】当时，， ， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏． 32．先阅读题例，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，．解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【答案】或． 【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据因式分解法解方程，可得答案． 【详解】当时，， ， 解得（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）； 当时，， ， 解得，． 综上所述，原方程的解为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元二次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏． 【题型5】利用十字相乘法解一元二次方程 33．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即 所以． 我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为． 依照上面的方法，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 34．用十字相乘法解方程 （1）； （2）． 【分析】各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）方程整理得：， 解得：，； （2）方程整理得：， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 35．我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程． （1）； （2）． 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）， ， ，， ，； （2）， ， ，， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 36．（2025春•肥城市期中）方程的根是　　 A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 【答案】 【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】由原方程，得， ， 或， 解得，． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 37．（2025春•龙泉市期中）若△的两边长是方程的两个根，则△的斜边长为　　 A．6 B．或 C．6或 D．6或 【答案】 【分析】首先用因式分解法解方程，求出方程的解，再分析所有情况，利用勾股定理即可求出斜边． 【详解】， ， ，， △的两直角边的长都是方程的根， 有以下情况： （1）两直角边是4，6，由勾股定理得： 斜边为：， （2）一直角边是4，一斜边是6， 令一直角边为：， 故选：． 【点睛】解此题的关键是解方程求出方程的解，难点是分析出各种可能出现的情况，进一步求出斜边长．难度不大． 38．（2025春•蜀山区校级期中）分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是　　 A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 【答案】 【分析】先求出一元二次方程的解，再结合三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】由题知， 解方程得， ，． 因为此方程的两根为等腰三角形的腰和底， 当2为腰时，， 故此种情况舍去； 当2为底时，， 则， 所以等腰三角形的周长为10． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法、一元二次方程的解、三角形三边关系及等腰三角形的性质，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及三角形三边的关系是解题的关键． 39．（2024秋•崆峒区校级期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是　14　． 【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可． 【详解】解方程得：或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 40．（2025春•温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是　0或2　 ． 【答案】0或2． 【分析】按照相应的运算方法与顺序，让得到的含的一元二次方程的结果为，列式求值即可． 【详解】由题意得：， ， ， 解得或2． 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；理解新定义的运算方法是解决本题的关键． 41．（2024春•拱墅区期末）已知，为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则　　． 【答案】． 【分析】先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题． 【详解】由方程得， ，． 因为方程的两个根与方程的两个根相同， 则将代入得， ， 解方程得， ，， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 42．（2025•丰城市一模）习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程， 解：方程两边同时除以得， 第一步， 第二步， 第三步， （1）嘉嘉的解答过程从第　第一　 步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 【答案】（1）第一； （2）见解析． 【分析】（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可； （2）根据因式分解法解答即可． 【详解】（1）根据解一元二次方程的计算的步骤可知： 嘉嘉是第一步， 故答案为：第一； （2）原方程移项得：， 分解因式， 即或， 所以，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 43．（2025•福田区校级三模）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，，． 解得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， ．解得，． 上述过程中的，，，表示的数分别为 　7　，　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 【答案】（1）7，2，，； （2），． 【分析】（1）先根据“平均数法”确定，的值，再根据“直接开平方法”解方程，从而确定，的值即可； （2）仿照“平均值法”的步骤解答即可． 【详解】（1）由题意，得， ， 由此原方程可变形，得， ， ， 解得，． ， ，． 故答案为：7，2，，； （2）原方程可变形，得， ， ． 解得，． 【点睛】本题以阅读理解的形式考查一元二次方程的解法，准确解答需要一定的数感、理解能力等，解答中涉及平均数，平方差公式，直接开平方法解一元二次方程等知识，理解题目中提供的解答过程和每步的依据是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3解一元二次方程：因式分解法 【题型1】利用乘积为零解一元二次方程 1．（2024秋•北京期中）一元二次方程的解是　　 A．， B． C．， D． 2．方程的解是　　 A．3 B．2 C．3和2 D．0 3．（2025•河南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为　　 A．2 B．1 C． D． 4．（2025•鞍山模拟）已知一元二次方程，则方程的根为　　 ． 【题型2】利用因式分解法（提公因式）解一元二次方程 5．（2024秋•建邺区校级月考）一元二次方程的解为　　 A．， B．， C． D． 6．（2023•新华区校级模拟）方程的解是　　 A． B． C．， D．， 7．（2025•武汉模拟）一元二次方程的根是　　 A． B．， C．， D． 8．（2025•浦口区校级模拟）一元二次方程的解是　　 ． 9．用因式分解法解方程： （1）； （2）． 10．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 11．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3】利用因式分解法（乘法公式）解一元二次方程 12．运用平方差解方程：． 13．解方程：． 14．用因式分解法解方程：． 15．（2024秋•静安区校级期中）解方程：． 【题型4】利用指定方法解一元二次方程 16．（2025春•蓬莱区期中）用指定的方法解方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）（因式分解法）； （4）（用适当的方法）． 【题型5】用合适的方法解一元二次方程 17．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3） ； （4）． （4） 【题型6】用因式分解法解方程的过程出错问题 19．解方程：． 解：将方程两边约去，得①． 所以．② 以上解答错在第 　　步，正确的答案是　　，　　． 20．（2024秋•尧都区期中）（1）解方程：． （2）下面是大壮同学进行解方程的过程，请你认真阅读并完成相应任务： 解方程：． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 或，第四步 解得：，．第五步 任务一：①以上解方程过程中，主要是依据 　　来求解的（填“配方法”或“公式法”或“因式分解法” ； ②第 　　步开始出现错误，错误的原因是 　　 ； 任务二：请直接写出本题的正确结果． 21．（2025•嘉兴二模）小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 【题型1】因式分解法进行求值 22．（2025春•怀宁县期中）已知是实数，且满足，则的值为　　 A．3 B．3或 C．或6 D．6 23．（2024秋•福田区期末）已知，，则的值为　　． 24．（2024秋•郫都区校级期中）用因式分解法解方程，将左边分解因式后有一个因式是，则的值是 　　． 【题型2】因式分解法的应用 25．（2024秋•梓潼县期末）三角形两边的长分别是8和7，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是 　　． 26．（2024秋•潮阳区期末）已知一个菱形的边长是方程的一个根，该菱形一条对角线长为8，则该菱形的面积为　　 A．48 B．24 C．24或 D．48或 27．（2025春•嵊州市期中）已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　 A．24或 B．24 C． D．或24 【题型3】新定义问题 28．（2025•南岗区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数，，都有★，如：3★，若★，则实数的值是　　 A． B．4 C．或4 D．1或 29．（2025•番禺区二模）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，，则方程2☆★6的解为 　　 ． 30．（2024•椒江区校级模拟）对于实数，，先定义一种运算“”如下：，若，则实数的值为 　　 ． 【题型4】含绝对值的一元二次方程 31．先阅读例题，再解答问题． 例：解方程． 解：当时，， 解得（不合题意，舍去），； 当时，， 解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上述解法解方程：． 32．先阅读题例，再解答问题： 例：解方程． 解：当时，．解得（不合题意，舍去），； 当时，．解得（不合题意，舍去），． 综上所述，原方程的解为或． 依照上例解法解方程：． 【题型5】利用十字相乘法解一元二次方程 33．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，即 所以． 我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为． 依照上面的方法，解下列方程： （1）； （2）． 34．用十字相乘法解方程 （1）； （2）． 35．我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程． （1）； （2）． 36．（2025春•肥城市期中）方程的根是　　 A．0 B．2 C．0或1 D．0或2 37．（2025春•龙泉市期中）若△的两边长是方程的两个根，则△的斜边长为　　 A．6 B．或 C．6或 D．6或 38．（2025春•蜀山区校级期中）分别以一元二次方程的两根为腰和底画一个等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是　　 A．10 B．8 C．10或8 D．10或6 39．（2024秋•崆峒区校级期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是　　． 40．（2025春•温州期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数，则的值是　　 ． 41．（2024春•拱墅区期末）已知，为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则　　． 42．（2025•丰城市一模）习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程， 解：方程两边同时除以得， 第一步， 第二步， 第三步， （1）嘉嘉的解答过程从第　　 步开始出现错误的； （2）请给出这道题的正确解答过程． 43．（2025•福田区校级三模）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法．如：解方程． 解：原方程可变形，得，，． 解得，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得，， ．解得，． 上述过程中的，，，表示的数分别为 　　，　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$