第八章 实数（思维导图+考点串讲+题型精练+章节测试）2024-2025学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 一．平方根的概念及性质 平方根 内容 示例 定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根． 就是说，如果，那么x叫做a的平方根 因为，所以9的平方根是 表示方法 正数a的平方根表示为，读作“正、负根号a” 9的平方根记为，即 性质 ①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根 16的平方根是，0的平方根是0，没有平方根 注意： ①求一个数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数． ②被开方数a一定是非负数（即正数或0）． ③平方与开平方是互逆运算． ④一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 二．算术平方根的概念及表示方法 算术平方根 内容 示例 定义 正数a有两个平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根． 规定：0的算术平方根是0 ①因为，所以5是25的算术平方根； ②因为，所以是的算术平方根； ③因为，所以0.1是0.01的算术平方根 表示方法 非负数a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数 7的算术平方根记为，7是被开方数 注意： ①算术平方根具有双重非负性：被开方数一定是非负数，即且． ②求一个数的算术平方根与求一个正数的平方恰好是互逆的两种运算． ③只有正数和0有算术平方根，负数没有算术平方根． ④实际上省略了中的根指数2，因此也读作“二次根号a”． 三．1~30的平方数 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 数 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 平方 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 数 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 平方 441 484 529 576 625 676 729 784 841 900 四．估算 对算术平方根的估算，通常取与被开方数最近的两个完全平方数的算术平方根相比较．例如：估算的大小，可以取和10最近的两个完全平方数9和16．因为，所以，即． 五．算术平方根与平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义不同 一般地，如果一个正数的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 个数不同 正数的算术平方根只有1个 正数的平方根有2个 表示方法不同 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相反数 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的平方根 存在的条件相同 只有非负数才有平方根和算术平方根 特殊值0 0的平方根与算术平方根均为0 六．立方根的概念及性质 1．定义：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．例如，，那么5是125的立方根． 2．表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数． 3．性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 七．立方根与平方根的区别和联系 平方根 立方根 区别 定义不同 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数a的平方根表示为，“”的根指数为2，可以省略不写 数a的立方根，用符号“”表示，这里的根指数3不能省略 被开方数的取值范围不同 中，被开方数a的取值范围是 中，被开方数a的取值范围是任意数 平方根 立方根 联系 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 转化条件 都可以归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可以转化为正数的立方根来研究 0的方根 0的立方根和平方根都是0 注意： ①中的根指数3不能省略，若省略了就表示a的算术平方根了． ②利用“”可以把求一个负数的立方根转化为求一个正数的立方根的相反数． 八．开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方．开立方与立方互为逆运算，开立方所得的结果就是立方根． 注意： ①开立方时，被开方数可以是正数、负数或零． ②当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的立方根． 九．无理数 1．定义：无限不循环小数叫做无理数．如：，，等． 2．主要形式： ①开方开不尽的数的方根，如：，，，…； ②圆周率以及一些含有的数，如：，，等； ③具有特定结构的数，如0.1010010001…（相邻的两个1之间依次多一个0）． 注意： ①无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数． ②某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数，如：，，，…． 十．实数的概念及分类 1．概念：有理数和无理数统称实数． 2．分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 十一．实数与数轴的关系 1．实数与数轴上的点是一一对应关系． 2．实数的大小比较 ①数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大； ②正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数； ③两个负实数比较，绝对值大的反而小． 十二．实数的有关概念 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数． 十三．实数的运算 1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用． 2．实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 【题型精练】 题型一、平方根、算术平方根、立方根 1．的算术平方根是 　 　． 2．已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则的值为 　 　． 3．一个正数的平方根为和，则的值为 4．按要求填空： （1）填表并观察规律： a 0.0004 0.04 4 400 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则＝　 　； 已知：，，则x＝　 　； （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 5. 下列说法中正确的个数是（　　） ①的平方根是； ②没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根； ⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知实数的一个平方根是，的立方根是． (1)求a与b的值；(2)求的立方根． 7．求下列各式中的x： (1)；(2). 题型二、代数式的平方根和立方根 8．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 9．已知的平方根为，的算术平方根为4，求的立方根． 10．（1）已知与是正数的两个不同的平方根，求的值． （2）已知：的立方根是，的算术平方根是，是整数部分，求的平方根． 11．已知是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 12．已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求的值；(2)求的平方根． 13．已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值；(2)求的算术平方根． 14． 已知，的算术平方根是6，求的值． 题型三、实数的分类 15．下列各数是负无理数的是（    ） A． B． C． D． 16．在0，，，，，中，无理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．下列各数：3.1，，0，，，，，中，负有理数有（    ）个 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．将下列各数填在相应的集合里． ，， ，， (每两个3之间依次多1个0)，0，，， 有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 正实数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}． 题型四、实数与数轴 19．如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 20．如图，点和表示的数分别为和，下列式子中，错误的是（   ） A． B． C． D． 21．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（    ）    A． B． C． D． 23．如图，数轴上表示0，1，的点分别为A，B，C，点B到点C的距离与点B到点D的距离相等，则点D所表示的数为（     ） A． B． C． D． 24．如图，，数轴上点表示的数为，则的立方根是 ．    25．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型五、实数比较大小 26．在0、、、这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 27．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 28．已知a是的负的平方根，，，则中最大的实数与最小的实数的差是（   ） A．6 B． C． D． 29． 比较大小： ， ， 题型六、实数的估算 30．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着美丽“黄金分割”，如图，，这个比值介于整数和之间，则的值是（    ） A． B． C． D． 31．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 32．如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 33．把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 题型七、实数的混合运算 34．计算： (1)；(2)． 35．计算： (1) (2)； 36．（1）计算：（2）求x的值： 37．计算： (1) (2) (3) (4) 题型八、实数的新定义运算 38．现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，，若有理数满足，则的值为（    ） A．21或4 B．5或21 C．4 D．5 39．我们规定：表示不超过x的最大整数，如：，，，那么的值为 ． 40．定义新运算“”如下：当时（“≥”是指大于或等于），；当时，． (1)求的值； (2)求的值；若，求m的值； (3)若，求x的值． 题型九、与实数运算有关的规律题 41．按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 42．一列数，其中则，则 ． 43．观察： ，即； ，即； 猜想： 44．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2)根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3)类比应用：__________； (4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【章节测试】 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．实数9的算术平方根是（　　） A．3 B． C． D． 2．下面各数没有平方根（    ） A．55 B． C．0 D． 3．在，，0，9，，，，，，（相邻两个1之间有1个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列等式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．若实数有两个不相等的平方根是和，则的值为（    ） A．25 B．49 C．5 D．7 6．若，为实数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知数轴上A，B两点分别对应实数和，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．下列说法错误的是（    ） A．与相等 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D．与互为相反数 9．按如图所示程序框图计算，若输入的值为，则输出结果为（    ） A． B． C．3 D． 10．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对16进行如下操作：16第一次第二次第三次，这样对16只需进行3次操作后变为1．类似的，对121只需进行（   ）次操作后变为1． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．的算术平方根是 . 12．比较大小： （填“”或“”） 13．的平方根是 ；的立方根是 ；的平方根是 ． 14．已知的整数部分为，的整数部分为，则 ． 15．已知，的立方根 . 16．有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算： (1)； (2)． 18．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 19．已知的立方根是的算术平方根为． (1)分别求的值；(2)求的平方根． 20．如图，是一块体积为立方厘米的立方体铁块． (1)求出这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为厘米，求长方形铁块底面正方形的边长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 22．归纳与探究： (1)计算：___________，，_________，_____________________，…； (2)猜想：对于任意实数一定等于吗？利用（1）中的计算，你发现的值等于多少呢？ (3)应用：有理数在数轴上所对应的点如图所示，是4平方根．计算： 23．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数________“完美组合数”（填“是”或“不是”）． (2)若三个数是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求m的值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 25．如图，将面积分别为和的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，    (1)点表示的数为 ；点表示的数为 ，线段的长度为 ； (2)一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，设点表示的数为， ①实数的值为 ；②求的值； (3)在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$