第13章 三角形能力提升测试卷-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第13章 三角形能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，，点E在直线上，点F，G在直线上，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，为边上的点，满足，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（　　） A． B．和面积相等 C． D． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 12．已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 13．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 14．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则的度数为 ． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 16．（8分）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 17．（8分）如图，已知在中，． (1)请在图中画出的边上的高； (2)已知E为边上一点． ①若是中线，，则与的周长差为_____________； ②若，求的度数． 18．（8分）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 19．（8分）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 20．（8分）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 21．（10分）如图1，，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．光线是由镜面反射得到． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)调整后镜面的位置如图2，光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜面反射得到，若，且，求和的度数； (3)在（2）的条件下，增添镜面，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，直接写出镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，，点E在直线上，点F，G在直线上，已知，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用三角形内角和求出，再结合平行线性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质定理和外角的性质定理，熟记性质定理是解题关键． 根据，可得，根据外角的性质，可得－． 【详解】解： ， ， 是的外角，， －． 故选：C． 3．如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 4．如图，在中，为边上的点，满足，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等边对等角是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到，，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 5．如图，是的边上的中线，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，倍长至点，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：倍长至点，连接，则， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选A． 6．如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7．在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据在中，，可求出各角的度数，进而得出结论． 【详解】解：解：∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 8．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 9．如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题运用三角形外角的性质，角平分线的定义，连接，根据外角和角平分线得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵、相邻的两外角平分线交于点E， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（　　） A． B．和面积相等 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中线、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和角平分线的定义，根据题意得，利用即可证明；利用的边和的边上的高相同，和面积相等；由于不一定是的角平分线，则和不一定相等；由于，则有． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， 的边和的边上的高相同， ∴和面积相等，选项B正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴不一定是的角平分线， ∴和不一定相等，选项C不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 2、 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 【答案】/128度 【分析】本题考查平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，根据平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，结合邻补角求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知中，，如果按角分类，那么是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，熟练运用三角形内角和定理是解题的关键． 先设，则，根据三角形内角和定理得到求得，进而求得的度数，进而判断三角形的形状． 【详解】解： ， 设，则， 解得 是直角三角形． 故答案为：直角． 13．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 14．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点F，若，且，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，折叠性质，平行线性质；由两直线平行同位角相等可得，由折叠性质可得，，再根据三角形外角性质可得，再根据折叠的性质即可得出最后结果． 【详解】解：如图： ， ， 将纸片沿折叠，使点A落在点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 16．（8分）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E． (1)试说明； (2)若，试着求出的度数； (3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)= 【分析】（１），为边上的高，得 ，，即得； （２）根据， ，∵平分，可得； （３）根据. . ，，即得． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴. ∵， ∴. ∵平分， ∴， ∴. ∵， ∴， 即． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形内角和．熟练掌握直角三角形两锐角性质，角平分线定义，余角性质，三角形外角性质，是解题的关键． 17．（8分）如图，已知在中，． (1)请在图中画出的边上的高； (2)已知E为边上一点． ①若是中线，，则与的周长差为_____________； ②若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）过点A作交延长线于D，则即为所求； （2）①由三角形中线的定义得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；②由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作交延长线于D，则即为所求； （2）解：①∵是中线， ∴， ∴ ， ∴与的周长差为； ②∵， ∴， ∴， ∴． 18．（8分）如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可；根据及三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用、表示出的度数，再根据直角三角形的性质用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； 【详解】解：（1）如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 20．（8分）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 21．（10分）如图1，，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．光线是由镜面反射得到． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)调整后镜面的位置如图2，光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜面反射得到，若，且，求和的度数； (3)在（2）的条件下，增添镜面，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，直接写出镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)或 【分析】此题考查了平行线性质的应用，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和准确作图是关键． （1）证明，即可得到结论； （2）利用平行线的性质和三角形内角和定理进行求解即可； （3）分两种情况画图进行解答即可． 【详解】（1）， 证明∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴； （3）如图，过点T作， ∵反射光线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即此时镜面与镜面的夹角为， 如图，可知，， ∴， ∵， ∴， 即此时镜面与镜面的夹角为， 综上可知，镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$