精品解析：山东省武城县2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试题

2024~2025学年第二学期期中教学质量检测七年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 在（相邻两个1之间0的个数逐次增加）．这7个数中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 如图，若∠1=∠3，则下列结论一定成立的是（ ） A. ∠1=∠4 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠2=180° D. ∠2+∠4=180° 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在数轴上表示的点可能是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 6. 有以下命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段：②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥16的平方根是，用式子表示是；其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 8. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（　　） A. 32° B. 28° C. 26° D. 23° 9. 如图，把正方形网格放在某平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，将周长为12的沿方向平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；② ；③四边形的周长是16；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，已知．则结论①；②平分；③；④．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 12. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是( ) A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 的立方根为______，121的平方根为______，的绝对值为______． 14. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 15. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 16. 如图，将直角三角形沿射线的方向平移5个单位得到三角形．设图中，，，，求图中阴影部分的面积_____． 17. 已知点的坐标为，若点在轴上，则点的坐标为_____；若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是_____． 18. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ____________________． 三、解答题（共78分） 19. （1）计算： ① ② （2）解方程： ① ② 20. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）画出把先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后所得到的； （3）求； （4）设点在坐标轴上，且与的面积相等，则点的坐标为_____． 21. 如图，已知，求证：． 22. 如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 23. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． （1）试说明； （2）若，求的度数． 24. 如图，的两边分别与的两边平行，即，． （1）在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． （2）根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______． （3）在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 25. 教材中的探究：估算纸的长与宽 【知识储备】已知，连接正方形不相邻的两个顶点的线段，叫做正方形的对角线．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形． （1）如图①中，则大正方形的对角线长：____，大正方形的边长：_____． （2）以一个小正方形为例，可以得到一般结论：正方形的对角线与边长的比为_____； 【任务探究】 （3）人教版七年级数学下册页数学活动：按照国际标准，系列纸为长方形纸（长宽比相同），其中纸的面积为，将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸．将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸．将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸．将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸……现将一张纸按如图②所示的方式进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点恰好与点重合，求纸的长宽的比． 【解决问题】 （4）根据上述结论，估算A0纸的长与宽分别是多少毫米？（结果取整数，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期期中教学质量检测七年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，理解并掌握对顶角的定义是解题关键．如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是对顶角，本选项不符合题意； B. 是对顶角，本选项符合题意； C. 不是对顶角，本选项不符合题意； D. 不是对顶角，本选项不符合题意． 故选：B． 2. 在（相邻两个1之间0的个数逐次增加）．这7个数中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义，即可求解． 【详解】解：， 无理数有：，共有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义．解答本题的关键是熟练掌握无理数的定义．无限不循环小数叫做无理数．无理数有三类：开方开不尽的数的，如；特定结构的数，如（相邻两个1之间0的个数逐次加）；特定意义的数，如：． 3. 如图，若∠1=∠3，则下列结论一定成立的是（ ） A. ∠1=∠4 B. ∠3=∠4 C. ∠1+∠2=180° D. ∠2+∠4=180° 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠1=∠3， ∴AD∥BC， ∴∠1+∠2=180°，即C一定成立； 由于AB和CD不一定互相平行， ∴A、B、D中结论不一定成立. 故选：C. 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在数轴上表示的点可能是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 利用无理数的估算得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即在数轴上表示的点在3和4之间， ∴在数轴上表示的点可能是点M． 故选：C． 6. 有以下命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段：②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑥16的平方根是，用式子表示是；其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了基本概念和性质，熟练掌握关联定义和性质是解题的关键．根据定义和性质，逐一判断后解答即可． 【详解】解：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，原说法错误； ②两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定相等，原说法错误； ③在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； ④对顶角相等，正确； ⑤在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ⑥16的平方根是，用式子表示是，原说法错误． 故选：A． 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行， ，. ， ，. . 故选：C. 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质. 8. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（　　） A. 32° B. 28° C. 26° D. 23° 【答案】D 【解析】 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE． 【详解】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE=92°， ∴∠CFE=92°， 又∵∠DCE=115°， ∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 9. 如图，把正方形网格放在某平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形，平面直角坐标系，关键是利用数形结合的思想解决问题．以点A向右2个单位，向下2个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点C的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示， ∴点C的坐标为， 故选：A． 10. 如图，在中，，将周长为12的沿方向平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；② ；③四边形的周长是16；④，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：∵将周长为12的沿方向平移2个单位得到，， ∴，，，，，， ∴，故①②正确； 四边形的周长．故③正确； 由平移性质得， ∴， ∴，故④正确， 即结论正确的有4个． 故选：D． 11. 如图，已知．则结论①；②平分；③；④．正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到FG∥AD，判断①正确； 根据∠ADE+∠BDE=90°，∠B+∠BDE=90°，得到③正确； 根据， 证明∠BDE=∠C，进行角的代换证明∠BDE+∠CFG=90°，得到④正确； 证明∠ADE+∠BDE=90°，判断②不正确． 【详解】解：∵ ∴∠FGB=∠ADB=90°， ∴FG∥AD，∠ADE+∠BDE=90°， 故①正确； ∵DE∥AC， ∴∠DEB=∠CAB=90°， ∴∠B+∠BDE=90°， ∴， ∴③正确； ∵， ∴∠BDE=∠C， ∵∠FGC=90°， ∴∠C+∠CFG=90°， ∴∠BDE+∠CFG=90°， ∴④正确； ∵∠ADB=90°， ∴∠ADE+∠BDE=90°， ∴②不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，熟知相关定理是解题关键． 12. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据前几次运动的规律可知第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次从原点运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次接着运动到点， 第次从原点运动到点， 第次接着运动到点， ， 第2023次接着运动到点， 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 的立方根为______，121的平方根为______，的绝对值为______． 【答案】 ①. 2 ②. ③. ## 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的性质．直接利用立方根以及平方根、绝对值的性质分别分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴的立方根为2； ∵， ∴121的平方根为； ∵， ∴的绝对值为． 故答案为：2；；． 14. 如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作于点，将水泵房建在了处．这样做最节省水管长度，其数学道理是_______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键． 15. 将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 16. 如图，将直角三角形沿射线的方向平移5个单位得到三角形．设图中，，，，求图中阴影部分的面积_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质（平移前后图形全等、对应线段相等 ）以及梯形面积公式的应用，熟练掌握平移性质并能将阴影部分面积进行转化是解题的关键．利用平移的性质，得出两个三角形面积相等，进而将阴影部分面积转化为梯形面积来计算，通过分析平移后线段的关系，确定梯形的上底、下底和高． 【详解】解：三角形沿射线方向平移个单位得到三角形 ，， ， ， 梯形的上底，下底，高 ∴ 故答案为： ． 17. 已知点的坐标为，若点在轴上，则点的坐标为_____；若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，列方程求出的值，再代入求横坐标，确定点坐标．点到两坐标轴距离相等时，横、纵坐标相等或互为相反数，据此列方程求，进而得点坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征（轴上点纵坐标为、点到两坐标轴距离相等时横纵坐标的关系 ），熟练掌握这些坐标特征并据此列方程求解是解题的关键． 【详解】解：点在轴上，轴上点的纵坐标为 解得 把代入，得 点坐标为 点到两坐标轴距离相等 有或 当时： 移项可得，即，解得 把代入坐标，横坐标，纵坐标，此时 当时： 去括号得，移项，即，解得 把代入坐标，横坐标，纵坐标，此时 点坐标为或 故答案为：；或． 18. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为 ____________________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据题意画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可，掌握平行线的性质是解答此题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，则：， ∴； 当时，则， ∴． 故答案为：或或或． 三、解答题（共78分） 19. （1）计算： ① ② （2）解方程： ① ② 【答案】（1）①；②；（2）①或；② 【解析】 【分析】（1）① 根据计算即可． ② 根据解答即可． （2）①根据平方根解方程解答即可． ②根据立方根解方程即可． 【详解】（1）解：① ． ② 解： ． （2）①解： ， 或， 解得或． ②解： 解得． 【点睛】本题考查了平方根解方程，立方根解方程，算术平方根，化简绝对值，有理数的乘方，去括号，熟练掌握运算是解题的关键． 20. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）画出把先向左平移3个单位，再向上平移2个单位后所得到的； （3）求； （4）设点在坐标轴上，且与的面积相等，则点的坐标为_____． 【答案】（1） 画出 ．如图 （2） 如图就是所画出图形； （3）4 （4）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形绘制（描点、画图 ）、图形的平移变换、三角形面积的计算（割补法 ）以及分类讨论思想在坐标问题中的应用，熟练掌握坐标与图形的关系、平移性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）根据坐标的含义，在平面直角坐标系中找到对应点，并连接成三角形． （2）依据平移的性质，将三角形的三个顶点按要求平移后连接得到新三角形． （3）通过作辅助线，用规则图形（长方形）面积减去周围三角形面积来计算的面积． （4）分点在轴和轴两种情况，根据三角形面积公式列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点向、轴作垂线，垂足为、． ， ，，． ． 【小问4详解】 解：当点P在轴上时， ， 解得：， 所点的坐标为或； 当点在轴上时， ， 解得：． 所以点的坐标为或． ∴点的坐标为或或或． 21. 如图，已知，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】依据，可得，再根据，可得，可得，进而可得，等量代换即可得到． 【详解】略． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 22. 如图，已知点A，B是数轴上两点，，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是______； （2）求的值； （3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1） （2） （3）的平方根为 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，非负数的性质，平方根的含义； （1）根据数轴上两点之间的距离可得答案； （2）由数轴可知：，再根据绝对值的意义化简即可； （3）根据非负数的性质求解，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵点B在数轴上点A右右侧，点A表示的数为，， ∴， 【小问2详解】 解：由数轴可知：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵与互为相反数， ∴， 又，均为非负数，故且， 即，， ∴， ∴的平方根为． 23. 如图，已知F，E分别是射线上的点．连接平分平分． （1）试说明； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）70°． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而利用等量代换可得，然后利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）根据已知可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，再利用平角定义可得，最后进行计算可求出，从而求出的度数，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 24. 如图，的两边分别与的两边平行，即，． （1）在图1中，射线与同向，与也同向；在图2中，射线与异向，与也异向；在图3中，射线与同向，与异向． 请问：在上述三种情况下，与的关系怎样？请结合三个图分别进行说明． （2）根据上述情况，归纳概括出一个结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是______． （3）在（1）（2）的探索归纳概括中，思考一下问题：若和的两边分别平行，其中比的2倍少，求和的度数． 【答案】（1）或， 如图1，， ， ， ， ； 如图2，， ， ， ， ； 如图3，， ， ， ， ； （2）相等或互补 （3）或， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由易得，结合图形，再得到或，即可得到结果； （2）根据（1）的计算得到结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补； （3）由题意得到或，，求得和度数即可． 本题考查了平行线的性质的应用，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键 【小问1详解】 略 【小问2详解】 或， 结论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角的数量关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补； 【小问3详解】 和的两边分别平行， 或， 比的2倍少， ， 或， 或， 或， 答：或， 25. 教材中的探究：估算纸的长与宽 【知识储备】已知，连接正方形不相邻的两个顶点的线段，叫做正方形的对角线．如图①，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形． （1）如图①中，则大正方形的对角线长：____，大正方形的边长：_____． （2）以一个小正方形为例，可以得到一般结论：正方形的对角线与边长的比为_____； 【任务探究】 （3）人教版七年级数学下册页数学活动：按照国际标准，系列纸为长方形纸（长宽比相同），其中纸的面积为，将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸．将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸．将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸．将纸沿长边对折，裁开，便成了两张纸……现将一张纸按如图②所示的方式进行两次折叠（折痕分别是和），观察发现点恰好与点重合，求纸的长宽的比． 【解决问题】 （4）根据上述结论，估算A0纸的长与宽分别是多少毫米？（结果取整数，，，） 【答案】（1）2，；（2）；（3）；（4）长是1189毫米，宽是841毫米 【解析】 【分析】（1）根据大正方形由两个边长为的小正方形剪开拼成，先确定大正方形边长与小正方形对角线关系，再求大正方形对角线长和边长． （2）设小正方形边长为，用勾股定理表示出对角线长，进而得出对角线与边长的比． （3）设纸长为、宽为，依据折叠性质，结合正方形对角线与边长关系建立和的等式，求出长宽比． （4）由（3）知纸长宽比，设宽为，长为，根据纸面积列方程求解． 【详解】解：（1）两个边长为的小正方形沿对角线剪开拼成大正方形，小正方形对角线长为， ∴大正方形边长为． 大正方形对角线长为边长的倍（正方形对角线性质），或由图形可知大正方形对角线长是小正方形边长的倍（从拼接看），即． ∴大正方形对角线长，边长． 故答案为：2，； （2）设小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． 正方形对角线与边长的比为． 故答案为： （3）解：设纸的长为，宽为 第一次折叠形成一个正方形，所以 第二次折叠得到：． A4纸的长宽的比为： （4）由（3）可得：纸的长宽之比是 设A0纸的宽为毫米，长为毫米 因为A0纸面积平方毫米 所以 答：A0纸的长是1189毫米，宽是841毫米． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质（对角线与边长关系、勾股定理应用 ）、图形折叠性质以及一元二次方程在实际问题中的应用，熟练掌握正方形性质和折叠性质，准确建立数量关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $