专题1.4 二次函数与一元二次方程（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题1.4二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 学生能够清晰阐述二次函数与一元二次方程的概念，准确说出二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）与一元二次方程 ax²+ bx + c = 0（a≠0）在表达式上的联系与区别。 1. 熟练掌握通过观察二次函数的图象与 x 轴的交点情况，确定相应一元二次方程根的个数；反之，能依据一元二次方程根的判别式，推断二次函数图象与 x 轴的位置关系 。 1. 学会运用二次函数的图象来求解一元二次方程的近似解，掌握用一元二次方程的知识分析二次函数的性质，如函数图象与 x 轴交点坐标的求解等。 1. 能够利用二次函数与一元二次方程的关系，解决实际生活中的问题，如抛物线形拱桥的高度计算、物体抛物线运动的落地时间等问题 教学重难点 1.重点 （1）理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握通过二次函数图象确定一元二次方程根的方法，以及利用一元二次方程根的情况判断二次函数图象与 x 轴的位置关系。 （2）学会运用二次函数图象求一元二次方程的近似解，能够运用一元二次方程的知识分析二次函数的相关性质。 2.难点 （1）深入理解二次函数图象与 x 轴交点坐标和一元二次方程根之间的对应关系，特别是当方程有两个相等实根时，对应二次函数图象与 x 轴只有一个交点这种特殊情况的理解。 （2）灵活运用数形结合思想，从二次函数图象的变化趋势分析一元二次方程根的变化情况，以及根据一元二次方程根的条件确定二次函数图象的特征，这需要学生具备较强的综合分析能力。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【即学即练】 1．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 知识点02 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【即学即练】 1．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 知识点03 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【即学即练】 1．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 题型01二次函数与x轴交点问题 【典例 1】抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 【变式3】二次函数的图象与x轴的交点的情况是（    ） A．只有一个交点 B．没有交点 C．有两个交点且在y轴的同侧 D．有两个交点且在y轴的两侧 题型02图象法确定-元二次方程的根 【典例2】二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（   ） … … 3 4 … … 3.25 1 … … A． B． C． D． 【变式1】下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值： … … … … 则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到）（      ） A． B． C． D． 【变式2】根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（    ） A． B． C． D． 【变式3】根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.06 0.18 A． B． C． D． 题型03利用图象法求一元二次不等式 【典例3】已知的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【变式1】如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 题型04利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例4】已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【变式1】已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【变式2】二次函数的图象顶点坐标为，且过． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 【变式3】已知二次函数（a为常数，且）经过点． (1)求该二次函数图象的表达式； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，求y的最大值与最小值的差． 题型05根据交点不等式的解集 【典例5】抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【变式1】如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．    【变式3】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是 ． 1、 单选题 1.观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 3．如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 4.已知一次函数和二次函数部分自变量和相应的函数值如表，当时，自变量的取值范围是(   ) A． B． C．或 D．或 二、填空题 5．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 6．如图，抛物线和直线的图象在同一直角坐标系中．当时，x的取值范围是 ． 7．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 8.已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 10．二次函数的与轴交点坐标为 ． 11．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 三、解答题 12．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 13．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4二次函数与一元二次方程 教学目标 1. 学生能够清晰阐述二次函数与一元二次方程的概念，准确说出二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）与一元二次方程 ax²+ bx + c = 0（a≠0）在表达式上的联系与区别。 1. 熟练掌握通过观察二次函数的图象与 x 轴的交点情况，确定相应一元二次方程根的个数；反之，能依据一元二次方程根的判别式，推断二次函数图象与 x 轴的位置关系 。 1. 学会运用二次函数的图象来求解一元二次方程的近似解，掌握用一元二次方程的知识分析二次函数的性质，如函数图象与 x 轴交点坐标的求解等。 1. 能够利用二次函数与一元二次方程的关系，解决实际生活中的问题，如抛物线形拱桥的高度计算、物体抛物线运动的落地时间等问题 教学重难点 1.重点 （1）理解二次函数与一元二次方程的内在联系，掌握通过二次函数图象确定一元二次方程根的方法，以及利用一元二次方程根的情况判断二次函数图象与 x 轴的位置关系。 （2）学会运用二次函数图象求一元二次方程的近似解，能够运用一元二次方程的知识分析二次函数的相关性质。 2.难点 （1）深入理解二次函数图象与 x 轴交点坐标和一元二次方程根之间的对应关系，特别是当方程有两个相等实根时，对应二次函数图象与 x 轴只有一个交点这种特殊情况的理解。 （2）灵活运用数形结合思想，从二次函数图象的变化趋势分析一元二次方程根的变化情况，以及根据一元二次方程根的条件确定二次函数图象的特征，这需要学生具备较强的综合分析能力。 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 　求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 注意： 　二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的. (1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.． 【即学即练】 1．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 2．若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系， 根据抛物线的图象与x轴有两个不同的交点，可知一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，再求出解集即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与x轴有两个不同的交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即， 解得． 故选：B． 知识点02 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 注意： 　　求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： 　(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； 　(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； 　(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根. 【即学即练】 1．已知二次函数中部分和的值如下表所示： 则方程的一个较大的根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】解：由表格数据可得： ∵函数的对称轴为直线， 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 知识点03 抛物线与不等式的关系 二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下： 【即学即练】 1．已知二次函数的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题；求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】根据图象可得，，则的取值范围是， 故选：B． 2．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 题型01二次函数与x轴交点问题 【典例 1】抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 【变式1】若关于x的函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值是（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数和一次函数和x轴交点问题，根据题意分两种情况：①函数为二次函数，函数的图象与x轴只有一个交点，可得，从而解出a值；②函数为一次函数，此时，从而求解． 【详解】解：①函数为二次函数，， ∴， ∴， ②函数为一次函数， ∴， 解得，； ∴a的值为或； 故选：D． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为是 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物线与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称． 【变式3】二次函数的图象与x轴的交点的情况是（    ） A．只有一个交点 B．没有交点 C．有两个交点且在y轴的同侧 D．有两个交点且在y轴的两侧 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及韦达定理：对于二次函数，，是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 先计算对应方程判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断，再通过韦达定理判断两个方程的根的符号，再进行判断即可． 【详解】解：解：令，则， ∵，， ∴方程有两个不同的实数解，同时两个解异号， ∴二次函数图象与x轴有两个交点，且在y轴的两侧， 故选：D． 题型02图象法确定-元二次方程的根 【典例2】二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表所示，根据表中数据判断方程（，，，为常数）的正数解的取值范围可能是（   ） … … 3 4 … … 3.25 1 … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，由表格可发现y的值在间最接近0，再看对应的正整数x的值即可． 【详解】解：由表格可发现y的值在最接近0， 时，对应的x就是方程的解， ∴正数解的取值范围可能是． 故选：D． 【变式1】下表是若干组二次函数的自变量与函数值的对应值： … … … … 则下面哪个数是关于的方程的一个近似根（精确到）（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据表格可知，二次函数值为0时，x的一个值在之间，由于比更接近0，则二次函数值为0时，x的一个值的近似值为（精确到）再求出对称轴为直线，据此得到二次函数值为0时，x的另一个值的近似值为，据此可得答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴二次函数值为0时，x的一个值在之间， ∵比更接近0， ∴二次函数值为0时，x的一个值的近似值为（精确到） ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数值为0时，x的另一个值的近似值为， ∴关于的方程的一个近似根是， 故选：C． 【变式2】根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，根据函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根来解决此题即可． 【详解】解：方程的一个根就是函数的图象与轴的一个交点， 即关于函数，时的值， 由表格可得：当的值是时，函数值与0最接近．因而方程的近似解是． 故选：C． 【变式3】根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（    ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 0.06 0.18 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的根，根据表格得到当时，，当时，，即可得到在时，存在一个的值，使，即可． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是； 故选C． 题型03利用图象法求一元二次不等式 【典例3】已知的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根二次函数的图象，可知函数的对称轴为直线，二次函数与直线的两个交点横坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，可得，的对称轴为直线，当时，， ∴时，，且中，， ∴当或时，， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，图象法解不等式，掌握二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． 【变式1】如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图象与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 【变式2】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 题型04利用不等式求自变量或函数值的范围 【典例4】已知二次函数，其中，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质和数形结合是解题的关键． 【详解】解：由， 当时，随的增大而减小， ∴在时，当时，有最大值， 最大值为：， 故选：． 【变式1】已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 【变式2】二次函数的图象顶点坐标为，且过． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键． （1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解； （2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴设抛物线顶点式为：， ∵二次函数的图象过， 代入抛物线解析式得：， 解得：， 故二次函数解析式为：； （2）解：∵，其中，对称轴为直线， ∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大， 又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，， ∴当时，函数值的取值范围是． 【变式3】已知二次函数（a为常数，且）经过点． (1)求该二次函数图象的表达式； (2)当时，x的取值范围是______； (3)当时，求y的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2)或 (3)9 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据抛物线与x轴的交点及其开口方向即可得到答案； （3）分别求出最大值和最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数经过点， ∴将点代入函数表达式中，可得： 解得． 将代入原二次函数表达式中， 可得． （2）当， 所以时，或 （3） 由此可知该二次函数的对称轴为直线，且二次项系数，所以函数图象开口向上．因为函数图象开口向上，对称轴为直线，且，所以当时，y取得最小值， ． 求y的最大值：分别计算和时y的值：当时，；当时，．比较和5的大小，可得， 当时，y取得最大值，． y的最大值与最小值的差为：． 题型05根据交点不等式的解集 【典例5】抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 【变式1】如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和4，则当时的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应x的范围即为时的取值范围，利用交点坐标即可解答． 【详解】解：根据图象：当时的取值范围为， 故选：C． 【变式2】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】根据图象，写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：抛物线与直线交于，， 不等式的解集是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键在于数形结合思想的运用． 【变式3】已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】/-2<x<1.5． 【分析】先求得两个图象的交点坐标，再找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x值即可． 【详解】解：由题意得x2= －x＋3， 整理得， 因式分解得， 解得， ∵y1＜ y2， ∴函数y1＝x2图象在函数y2＝－x＋3的图象的下方，自变量x的取值范围在两交点横坐标之间， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，解方程的能力是初中数学学习中极为重要的基本功，在中考中极为常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意数形结合思想的应用． 1、 单选题 1.观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 2.已知二次函数，当时，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得：当时，即， 解得：， ∵， ∴图象开口向上， ∵， ∴或 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键． 3．如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，，， 结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或． 故选：C． 4.已知一次函数和二次函数部分自变量和相应的函数值如表，当时，自变量的取值范围是(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5),−1<x<4时,y1>y2,从而得到当y2>y1时，自变量x的取值范围. 【详解】∵当x=0时,y1=y2=0;当x=4时,y1=y2=5； ∴直线与抛物线的交点为(−1,0)和(4,5)， 而−1<x<4时, y1>y2， ∴当y2>y1时，自变量x的取值范围是x<−1或x>4. 故选D. 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义. 二、填空题 5．已知函数，当时，有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，y有最小值2，再把代入，求出x的值，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵，， ∴当时，y有最小值2， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值3，最小值2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 6．如图，抛物线和直线的图象在同一直角坐标系中．当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，先联立抛物线与直线的解析式，求出两个图象的交点坐标，再结合图象找到抛物线在直线上方时的自变量的范围即可． 【详解】解：联立，解得：或， ∴两个图象的交点坐标为：，； 由图象可知：时，； 故答案为：． 7．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．观察图象得：当时，一次函数图象位于二次函数图象的下方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，一次函数图象位于二次函数图象的下方， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 8.已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【答案】和 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数图象；根据题意将，分别代入，即可求解． 【详解】解：∵物线与直线的两个交点， ∴的解为，的横坐标， ∴将，分别代入得， ∴交点，的坐标分别为和 故答案为：和． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题，根据的大小与抛物线与x轴交点个数的关系求解． 【详解】解：抛物线（是常数）与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 10．二次函数的与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次函数与轴的交点，掌握坐标轴上的点的特点是解答本题的关键．令横坐标，求得的值即可解答． 【详解】解：将代入，得， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 11．如图，过点且平行于轴的直线与二次函数图象的交点坐标为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次不等式，根据二次函数的图象与直线的交点坐标即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点且平行于轴， ∴直线， ∵直线与二次函数图象的交点坐标为，，且，即， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 12．已知二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的解析式； (2)求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)和； 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据解析式求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 本题考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和点． ∴， 解得， ∴． （2）解：由， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 13．已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$