专题1.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题1.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学目标 1.学生能准确阐述二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的概念，理解函数表达式中系数a、b、c的几何意义，能够从实际情境中抽象出该形式的二次函数模型。 2.熟练掌握通过配方法将二次函数y=ax²+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)² + k的方法，进而准确确定函数图象的顶点坐标(h,k)、对称轴x = h ，并能运用描点法或利用函数性质绘制出完整、准确的函数图象。 3.深刻理解二次函数y=ax²+bx+c中系数a、b、c对图象开口方向、大小、位置的影响规律，能够根据函数表达式快速判断图象的基本特征，并能运用这些性质解决与函数图象相关的问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的概念理解，以及从实际问题中建立该形式的二次函数模型。 （2）掌握用配方法将二次函数一般式转化为顶点式的方法，进而确定函数图象的顶点坐标、对称轴等关键要素，并能绘制函数图象。 （3）理解系数a、b、c对二次函数y=ax²+bx+c图象的影响规律，能够根据函数表达式分析图象的开口方向、大小和位置。 （4）运用二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质解决实际问题，如最值问题、函数图象的平移问题等 2.难点 （1）熟练、准确地运用配方法将二次函数y=ax²+bx+c转化为顶点式，尤其是当系数较为复杂时，学生容易出现计算错误，需要深入理解配方的原理和步骤。 （2）理解系数b对二次函数图象对称轴位置的影响，以及a、b、c三个系数综合作用下对函数图象位置和形状的影响，这涉及多个变量的相互关系，学生理解起来具有一定难度。 （3）在实际问题中，准确分析数量关系，建立合适的二次函数y=ax²+bx+c模型，并运用函数性质求解问题，需要学生具备较强的综合运用知识和分析问题的能力。 知识点01 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【即学即练】 1．将二次函数化为的形式，结果为(　　) A． B． C． D． 知识点02 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即学即练】 1．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图象的顶点 D．图象与x轴有两个交点 2．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 4 6 … … 15 0 8 24 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．函数的最小值是0 C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 3．已知点，和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一坐标系中大致图象是（   ） A．B．C． D． 5．已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【即学即练】 1.若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 2.将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3.把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图象的开口方向与函数y=ax²的图象相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 知识点05 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即学即练】 1.如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型01 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数的对称轴方程和顶点坐标分别是（　　） A． B． C． D． 【变式2】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】将二次函数化为的形式，则（   ） A． B． C． D． 题型02 二次函数y=ax²+bx+c的性质 【典例2】已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 【变式2】已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式3】如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 题型03 二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系 【典例3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1】如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①，；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤；⑥；⑦．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式4】已知二次函数的图象如图，下列个结论：，，， ．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型04 二次函数y=ax²+bx+c的图象的判定 【典例4】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3】一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【典例5】一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式． 【变式1】如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【变式2】已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【变式3】已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)若该抛物线经过点，求m的值． 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线的最低点是，且经过点，，求抛物线解析式和n的值． 题型06 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例6】已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【变式1】已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式3】已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【变式4】二次函数图象上两点，则此抛物线的对称轴是直线 ． 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 【典例7】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】如图是抛物线的部分图象，且与轴的一个交点为，则它与轴另一交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知抛物线的对称轴为直线，设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3】表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（   ） x 0 y 4 0 0 a A．4 B．3 C．2 D．1 题型08 y=ax²+bx+c的最值 【典例8】已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1】二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【变式2】已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【变式3】已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 4．一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 6．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 7．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 二、填空题 8．二次函数的最大值为 ． 9．将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 10．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 11．当时，函数的最大值是8，则 ． 三、解答题 12．已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 13． 已知一个二次函数的图象经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 14．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 15．如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于一点，其中点B的坐标为，求点A的坐标和抛物线的解析式． 16．已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 教学目标 1.学生能准确阐述二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的概念，理解函数表达式中系数a、b、c的几何意义，能够从实际情境中抽象出该形式的二次函数模型。 2.熟练掌握通过配方法将二次函数y=ax²+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)² + k的方法，进而准确确定函数图象的顶点坐标(h,k)、对称轴x = h ，并能运用描点法或利用函数性质绘制出完整、准确的函数图象。 3.深刻理解二次函数y=ax²+bx+c中系数a、b、c对图象开口方向、大小、位置的影响规律，能够根据函数表达式快速判断图象的基本特征，并能运用这些性质解决与函数图象相关的问题。 教学重难点 1.重点 （1）二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的概念理解，以及从实际问题中建立该形式的二次函数模型。 （2）掌握用配方法将二次函数一般式转化为顶点式的方法，进而确定函数图象的顶点坐标、对称轴等关键要素，并能绘制函数图象。 （3）理解系数a、b、c对二次函数y=ax²+bx+c图象的影响规律，能够根据函数表达式分析图象的开口方向、大小和位置。 （4）运用二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质解决实际问题，如最值问题、函数图象的平移问题等 2.难点 （1）熟练、准确地运用配方法将二次函数y=ax²+bx+c转化为顶点式，尤其是当系数较为复杂时，学生容易出现计算错误，需要深入理解配方的原理和步骤。 （2）理解系数b对二次函数图象对称轴位置的影响，以及a、b、c三个系数综合作用下对函数图象位置和形状的影响，这涉及多个变量的相互关系，学生理解起来具有一定难度。 （3）在实际问题中，准确分析数量关系，建立合适的二次函数y=ax²+bx+c模型，并运用函数性质求解问题，需要学生具备较强的综合运用知识和分析问题的能力。 知识点01 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【即学即练】 1．将二次函数化为的形式，结果为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式，依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵二次函数为， ∴二次函数化为顶点式为． 故选：D． 知识点02 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即学即练】 1．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图象的顶点 D．图象与x轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；把二次函数化为顶点式，根据顶点式即可对各选项进行判断． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 2．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 4 6 … … 15 0 8 24 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．函数的最小值是0 C．当时，的值随值的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． 将，，代入得到，于是得到对称轴为直线，最小值为，图象的开口向上，当时，y的值随x的值增大而增大；由图象可知，函数图象经过第一、二、四象限，即可得到A、B、C错误，故不符合要求；D正确，故符合要求． 【详解】解：将，，代入得， 解得，，，， ∴， ∴对称轴为直线，最小值为，图象的开口向上，当时，y的值随x的值增大而增大； 由图象可知，函数图象经过第一、二、四象限， ∴A、B、C错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 故选：D． 3．已知点，和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．首先求出抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， ∵，，， ∴． 故选：C． 4．二次函数图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一坐标系中大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据二次函数的图象得到，得出反比例函数图象在第一、三象限，一次函数的图象在第一、二、四象限，只有选项C符合题意． 【详解】解：由二次函数图象得， 反比例函数图象在第一、三象限， 一次函数的图象在第一、二、四象限， 只有选项C符合题意， 故选：C． 5．已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解． 【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线， 则比距离对称轴远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值， 当时，， 当时，， 则，解得，， 故选：C． 知识点03 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【即学即练】 1.若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的规律是解题的关键． 根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位， 得到的抛物线的表达式是． 故选：C． 2.将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础题． 根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标． 【详解】解：将的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度可得： ， 则平移后的二次函数图象的顶点为． 故选：B． 3.把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数与坐标轴的交点问题，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式为，再根据平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且抛物线与y轴一定会有交点，得到，据此可得答案． 【详解】解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为，即， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且抛物线与y轴一定会有交点， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 知识点04 待定系数法求二次函数解析式 （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图象的开口方向与函数y=ax²的图象相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 知识点05 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即学即练】 1.如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到，即可判断①；根据函数性质即可判断②；根据抛物线经过点和时，，得到，，即可判断③；根据图象对称轴为直线，可知，即可求得，根据二次函数的图象顶点坐标为，求得，得到即可判断④． 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大； 故②错误； ③∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，即； 故③正确； ④∵图象对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的有①③共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 题型01 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式 【典例1】将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 【变式1】二次函数的对称轴方程和顶点坐标分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查把抛物线的一般式化为顶点式，求抛物线的顶点坐标，对称轴方程，利用配方法把变形为顶点式即可． 【详解】解：， 可得对称轴方程为，顶点坐标为， 故选：A． 【变式2】抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，将原抛物线代为顶点式，再写出顶点坐标即可． 【详解】解： ； 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：A． 【变式3】将二次函数化为的形式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了将一般式化为顶点式，根据配方法计算即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：B． 题型02 二次函数y=ax²+bx+c的性质 【典例2】已知二次函数，当时，则y的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先化为顶点式，再确定开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质确定取值范围． 【详解】解：∵， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∵当时，；当时，， 当时，． 故选：A． 【变式1】关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为即可得到A选项错误；根据抛物线的增减性即可得到B选项错误；根据点是抛物线上的点得到，把代入得到，即可得到C选项正确；把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，即可得到点不在图象上，得到D选项错误，问题得解． 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 【变式2】已知抛物线过，，三点，关于这个抛物线下列结论正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与轴的交点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键．先求解二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点判断作答即可． 【详解】解：∵设抛物线为，把，，代入得： ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，当时，y随着x增大而减小， ∴A、B错误，故不符合要求；D正确，故符合要求； 当时，，即抛物线与y轴交点坐标是， ∴C错误，故不符合要求； 故选：D． 【变式3】如图，抛物线过点，对称轴为直线，有以下结论正确的为（   ） A． B． C． D．方程两根分别为，4 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程，根据图象判断的符号，判断A，特殊值，判断B，对称轴判断C，对称性和图象法求出方程的根，判断D． 【详解】解：由图象可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故C选项错误， ∴，故选项A错误； 由图象可知，当时，，故选项B错误； ∵抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为， ∴方程两根分别为，4；故选项D正确； 故选D． 题型03 二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系 【典例3】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，．其中所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．根据抛物线与y轴的交点的位置可判断①，根据抛物线的对称轴可判断②，根据当时的函数值可判断③；根据抛物线在的位置可判断④． 【详解】解：∵由图象可知，抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故②正确； ∵由图象可得，当时，， ∴，故③正确； ∵由图象可得，当时，抛物线部分在x轴上方，部分在x轴下方， ∴当时，的结论错误，即④错误． 综上所述，正确的结论是②③． 故选：C 【变式1】如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①该图象经过点；②；③；④，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标判断①，开口方向，对称轴，与轴的交点判断②和④，特殊点判断③即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴该图象经过点；故①正确； 由图象可知：， ∵对称轴为， ∴， ∴；故②④错误； ∵图象经过点； ∴，故③正确； 故选B． 【变式2】在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算等知识是关键． 根据二次函数图象可得，结合题意判定即可． 【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点， ∴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图象与轴有两个交点， ∴，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴与时，值相等， ∴当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式3】如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论：①，；②；③；④当时，随的增大而减小；⑤；⑥；⑦．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，解题的关键是会利用特殊值代入法求得特殊的式子． 由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点得出的符号，然后根据抛物线与轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①根据二次函数图象开口向下可得，对称轴在轴的右侧可得符号相异， ∴，故①错误； ②当时，代入抛物线解析式得，通过图象可得，即，故②正确； ③当时，代入抛物线解析式得，通过图象可得，即，故③正确； ④通过图象可知，当时，随的增大而减小，故④正确； ⑤通过图象可知，抛物线与轴有两个交点，所以，故⑤正确； ⑥通过图象可知，抛物线对称轴是直线，横坐标为2和横坐标为0的两点是对称点，所以当时函数值与时函数值相等，即，故⑥正确； ⑦由顶点横坐标为1，顶点为最高点，所以顶点函数值最大， ∴ 即 故⑦正确． 故选：C． 【变式4】已知二次函数的图象如图，下列个结论：，，， ．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据函数图象开口向下，可以判断，再根据对称轴，可以得到，然后观察图象与轴交于正半轴可以得到，从而可以判断；根据对称轴为直线，变形可以判断；根据图象知：当时，，可以判断；根据当时，，可以判断． 【详解】解：由二次函数开口向下得， 对称轴， ， 二次函数交轴正半轴， ， ，故正确； 对称轴， ， ，故正确； 当时，，故错误； 当时，，故错误； 正确的结论有，共个， 故选：B． 题型04 二次函数y=ax²+bx+c的图象的判定 【典例4】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 【变式2】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 【变式3】一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 题型05 待定系数法求二次函数解析式 【典例5】一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式． 【答案】． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，设出顶点式，把，代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴． 【变式1】如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 【变式2】已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式． 【答案】 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入计算出的值即可． 【详解】解：根据题意，设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 所以二次函数的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式3】已知二次函数经过点与． (1)求b，c的值． (2)若该抛物线经过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特点，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把点P坐标代入函数解析式中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点与 ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∵该抛物线经过点， ∴， 解得． 【变式4】在平面直角坐标系中，抛物线的最低点是，且经过点，，求抛物线解析式和n的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式及二次函数的最值，熟知待定系数法及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意得出抛物线的顶点坐标为，据此设抛物线的解析式为顶点式，再将点M坐标代入求出解析式，最后将点N坐标代入所求解析式即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线的最低点是， 所以抛物线顶点坐标是 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 所以抛物线的解析式为 将点代入，得，． 题型06 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【典例6】已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案． 【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点和点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故选：B． 【变式1】已知二次函数的图象上有两点，若，当函数值取得最大值时，对应的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，顶点坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据两个对称点确定抛物线的对称轴，判定顶点为最高点即可确定的值． 【详解】解：由抛物线上可知，纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， 所以抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线的顶点为最高点， 所以，当函数值取得最大值时，对应的值为1． 故选：B 【变式2】将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线相交于，，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移以及二次函数的性质，先求出平移前后的对称轴，然后根据平移的性质列方程求解即可． 【详解】解：的对称轴是直线． ∵新抛物线与直线相交于，， ∴新抛物线对称轴是直线， ∵抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线， ∴， ∴． 故选C． 【变式3】已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察和，得与关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且和两点的纵坐标相等， 所以和关于对称轴对称， 即， 故答案为：． 【变式4】二次函数图象上两点，则此抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解对称点的特征，本题属于基础题型．由于两点的纵坐标相等，故对称轴是两点横坐标之和的一半． 【详解】解：函数的图象上有两点, 且两点的纵坐标相等， 关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为：直线， 故答案为：3． 题型07 根据二次函数的对称性求函数值 【典例7】抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图象可知抛物线过点，利用对称轴求出点的对称点，结合图象求出当时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知：抛物线过点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， 由图象可知，当时，或； 故选： B． 【变式1】如图是抛物线的部分图象，且与轴的一个交点为，则它与轴另一交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，先由抛物线解析式得对称轴为直线，再根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 故选：A． 【变式2】已知抛物线的对称轴为直线，设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先判断抛物线的开口方向，对称轴，即可知其增减性，再根据各点与对称轴的距离可得答案． 【详解】∵抛物线中，对称轴是， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，离对称轴越近函数值越小． ∵， ∴． 故选：C． 【变式3】表格列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，其中，a的值为（   ） x 0 y 4 0 0 a A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的对称性．掌握二次函数图象关于其对称轴对称是解题关键．根据表格可求出该抛物线的对称轴为，从而得出当时，y的值和当时，y的值相等，即得出a的值为4． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y的值和当时，y的值相等． ∵当时，， ∴当时，， ∴a的值为4． 故选：A． 题型08 y=ax²+bx+c的最值 【典例8】已知二次函数（），若时，函数的最大值与最小值的差为4，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．分或两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解； 【详解】解：当时， 对称轴为 ， 当时，有最小值为，当时，有最大值为， ． ， 当时，同理可得 有最大值为； 有最小值为， ， ， 综上，的值为 故选：C 【变式1】二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得 ，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． 【变式2】已知二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（   ） A．或5 B．或5 C．或7 D．或7 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，为最高点， ①当时，抛物线随的增大而增大， ∴当，即，函数有最大值4， ∴， 解得，， ∵， ∴； ②当时，抛物线随的增大而减小， ∴当时，即函数有最大值4， ∴， 解得，， ∵， ∴； 综上，的值为或5， 故选：B． 【变式3】已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为，最小值为， 又当时，函数的最小值为， ， ，且当时，函数取得最大值， ， 解得：， 综上所述，m的取值范围是． 故选：C． 一、单选题 1．二次函数的图象过，两点，则此抛物线的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，解题关键是正确利用待定系数法求出抛物线解析式，牢记对称轴公式．将A点和B点坐标代入解析式即可求出解析式，利用对称轴是即可求解． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ， 抛物线的对称轴是． 故选：C ． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的一般式化顶点式， 将二次函数的一般式化成顶点式，再结合二次函数性质可得答案. 【详解】解：抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是. 故选：B. 3．二次函数的最小值是（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，本题考查了将二次函数写成顶点式，即可得出答案． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ∴当时，二次函数有最小值是， 故选：A． 4．一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 5．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 6．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性确定的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴点关于直线的对称点为， 当时，， ∴函数值y大于3的自变量x的取值可以是，不能是、0、2． 故选：B． 7．二次函数的图象经过点，，与轴的交点在轴的下方．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．二次函数的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据二次函数的图象经过点，，可得对称轴为，由函数图象与轴的交点在轴的下方，得到，，从而可得，即，判断A选项；根据函数的增减性得到当时，，判断B选项；根据函数图象经过点，，得到，求解有，判断C选项；将二次函数化为顶点式，即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴该函数图象的对称轴为， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的下方， ∴，， ∵该函数图象的对称轴为，即， ∴，故A选项错误； ∵，对称轴为， ∴该函数图象开口向上，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，，即，故B选项错误； ∵二次函数的图象经过点，， ∴， ∴，故C选项错误； ∴二次函数可化为，即， ∴二次函数的最小值为，故D选项正确． 故选：D 二、填空题 8．二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值，将解析式配方，进而求得函数的最大值． 【详解】解：二次函数 ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为 故答案为：． 9．将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，将二次函数解析式化为顶点式，先将原抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数的平移法则求出平移后的解析式，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的解析式为， ∴将抛物线向右平移1个单位长度得到的新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 10．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 11．当时，函数的最大值是8，则 ． 【答案】或 【详解】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．先求得对称轴，根据的取值，再分和两种情况讨论求得即可． 【解答】解：函数的对称轴为直线， ①当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得； ②当时，则时，函数的最大值是8， 把代入得，， 解得， 故答案为：或． 三、解答题 12．已知二次函数的图象过点，且顶点坐标为．求此二次函数的表达式； 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将代入计算即可确定出抛物线解析式． 【详解】解：∵顶点坐标为，设二次函数解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴这个二次函数解析式为． 13．已知一个二次函数的图象经过、、三点．求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入，列出方程组求解即可． 【详解】解：设这个二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过、、三点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：． 14．已知二次函数的图象经过点，． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)求出此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的顶点坐标为 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象及性质等知识点， (1)根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出，即可得到此二次函数的解析式； (2)把解析式化成顶点式即可得解； 熟练掌握其性质并能灵活将解析式化成顶点式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：将代入中得， ，解得， ； （2）解：， ∴此抛物线的顶点坐标为． 15．如图，抛物线的对称轴为，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于一点，其中点B的坐标为，求点A的坐标和抛物线的解析式． 【答案】点A的坐标为，抛物线的解析式为 【分析】本题主要待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的对称轴，对称性，掌握待定系数，二次函数图象的性质是解题的关键． 根据对称轴直线为，可得，根据A，B两点关于对称轴对称，可得，把代入，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：∵对称轴为， ∴， 解得：， ∵ 抛物线与x轴相交于A，B两点， ∴A，B两点关于对称轴对称，且， ∴， ∵抛物线经过点B， ∴把代入， 解得，． ∴抛物线的解析式为，点A的坐标为． 16．已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线过点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，从而可求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，由（1），又抛物线过点，，从而求出的值，代入代数式进而得到答案． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的解析式为． 又∵抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）中求得的解析式， 抛物线过点，， ， ． 2 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $$