专题1.2 二次函数的图象和性质（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题1.2 二次函数的图象和性质 教学目标 1. 熟练掌握使用描点法绘制二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k的图象，清晰认识其图象形状为抛物线，准确理解抛物线顶点、对称轴等关键要素，并能根据函数表达式分析图象的基本特征 。 1. 深入理解二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k中系数a对图象开口方向、大小的影响规律，能通过观察图象归纳出a的正负与开口方向、|a|与开口大小之间的关系。 1. 能够运用二次函数图象的性质，解决简单的实际问题，如利用二次函数图象分析物体的抛物线运动轨迹等。 1. 掌握y = ax²平移的法则，遵循“左同右异”法则。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握用描点法绘制二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k的图象，理解图象的基本特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。 （2）深入理解系数a对二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k图象的影响规律，能够根据a的取值判断图象的大致形状和变化趋势 2.难点 （1）理解二次函数图象（抛物线）与一次函数、反比例函数图象的本质区别，掌握抛物线形状、位置与函数表达式中系数的内在联系。 （2）探究系数a对二次函数图象开口大小的影响时，学生容易混淆a的绝对值大小与开口宽窄的关系，需要通过大量实例和直观演示帮助学生理解。 知识点01 二次函数y=ax²的图象和性质 【即学即练】 1．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 知识点02 二次函数y=ax²+c（a≠0）的图象和性质 【即学即练】 1．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．函数有最小值 D．当时，函数随的增大而增大 知识点03 二次函数y=a（x-h）² y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 【即学即练】 1．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 知识点04 y=a(x-h)²+k的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【即学即练】 1．关于抛物线，下列说法中正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 知识点05 y=a(x-h)²+k的图象变换 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【即学即练】 1．将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（   ） A． B． C． D． 题型01 y=ax²的图象和性质 【典例1】下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【变式1】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【变式4】二次函数的图象是（　　） A．B．C． D． 题型02 y=ax²+k的图象和性质 【典例2】关于二次函数图象的说法错误是（   ）． A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．有最大值 D．顶点坐标 【变式1】二次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2】对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【变式3】已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 题型03 y=a(x-h)²的图象和性质 【典例3】对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【变式1】顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【变式2】函数图象的顶点坐标为 ． 【变式3】已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 题型04 y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例4】关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【变式1】二次函数的最大值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式2】已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【变式3】二次函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知二次函数，当点在函数图象上时，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5】已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 题型05 y=a(x-h)²+k的图象变换 【典例5】将抛物线向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【变式2】若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 3．抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 4．对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 5．已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（    ） A． B． C． D． 8．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．二次函数的最小值是 ． 11．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 12．抛物线的顶点坐标是 ． 13．已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 14．把二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的图象解析式为 ． 15．若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 16．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 17．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 三、解答题 18．已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 19．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 20．已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 二次函数的图象和性质 教学目标 1. 熟练掌握使用描点法绘制二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k的图象，清晰认识其图象形状为抛物线，准确理解抛物线顶点、对称轴等关键要素，并能根据函数表达式分析图象的基本特征 。 1. 深入理解二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k中系数a对图象开口方向、大小的影响规律，能通过观察图象归纳出a的正负与开口方向、|a|与开口大小之间的关系。 1. 能够运用二次函数图象的性质，解决简单的实际问题，如利用二次函数图象分析物体的抛物线运动轨迹等。 1. 掌握y = ax²平移的法则，遵循“左同右异”法则。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握用描点法绘制二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k的图象，理解图象的基本特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。 （2）深入理解系数a对二次函数y = ax²，y = ax²+k,y = a(x-h)²,y = a(x-h)²+k图象的影响规律，能够根据a的取值判断图象的大致形状和变化趋势 2.难点 （1）理解二次函数图象（抛物线）与一次函数、反比例函数图象的本质区别，掌握抛物线形状、位置与函数表达式中系数的内在联系。 （2）探究系数a对二次函数图象开口大小的影响时，学生容易混淆a的绝对值大小与开口宽窄的关系，需要通过大量实例和直观演示帮助学生理解。 知识点01 二次函数y=ax²的图象和性质 【即学即练】 1．下列关于抛物线的说法正确的是（   ） A．图象开口向下 B．对称轴是轴 C．有最高点 D．随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 知识点02 二次函数y=ax²+c（a≠0）的图象和性质 【即学即练】 1．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是轴 C．函数有最小值 D．当时，函数随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为y轴， 当时，函数有最大值，为； 当时，函数值随x的增大而减小． ∴四个选项中只有B选项的说法正确． 故选：B 知识点03 二次函数y=a（x-h）² y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 【即学即练】 1．对于二次函数的图象，下列说法错误的是（   ） A．顶点坐标为 B．时，的值随值的增大而减少 C．对称轴为 D．函数的最小值为0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴时，的值随值的增大而减少，当时，函数的最大值为0； 综上，只有选项D说法错误； 故选D． 知识点04 y=a(x-h)²+k的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 【即学即练】 1．关于抛物线，下列说法中正确的是（）． A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与x轴无交点 D．函数的最大值是3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数系数与图象的关系，理解并掌握二次函数中系数与图象开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案． 【详解】A．在抛物线中，由于，所以该抛物线开口向下，故该选项错误，不符合题意； B．在抛物线中，对称轴是直线，而不是直线，故该选项错误，不符合题意； C．令，即，解得．这表明抛物线与轴有两个交点，故该选项错误，不符合题意； D．因为抛物线中，所以抛物线开口向下，函数有最大值．当时，函数的最大值是，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 知识点05 y=a(x-h)²+k的图象变换 平移步骤：（1）先将函数化成y=a(x-h)²+k，顶点坐标为（h,k） 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【即学即练】 1．将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】解：二次函数的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为， 故选：D． 题型01 y=ax²的图象和性质 【典例1】下列关于二次函数的性质，说法不正确的是(    ) A．它的图象经过点 B．它的图象的对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．有最大值 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，难度较小． 【详解】A、因为，把代入，解得，故它的图象经过点，故该选项是正确的，不符合题意； B、的图象的对称轴是y轴, 故该选项是正确的，不符合题意； C、的图象的对称轴是y轴, 开口向上，当时，y随x的增大而减小，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为的图象开口向上，有最小值，故该选项是错误的，符合题意． 故选：D． 【变式1】已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性及增减性即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象关于轴对称， 关于轴的对称点为， ，且时，函数值随自变量的增大而减小， ； 故选：D． 【变式2】下列二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由题意可得二次项系数，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数图象与 的开口大小、方向、形状完全相同， ∴二次项系数， 故选：． 【变式3】二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 【变式4】二次函数的图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴是轴，顶点为， 由可知，抛物线开口向下， 故选：D． 题型02 y=ax²+k的图象和性质 【典例2】关于二次函数图象的说法错误是（   ）． A．开口向下 B．对称轴为y轴 C．有最大值 D．顶点坐标 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向及与函数最大值，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质．根据二次函数的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：对于，，故开口向下； 对称轴是直线（或轴），顶点坐标是；函数有最大值． 故选：D． 【变式1】二次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把每个点的坐标代入函数解析式，即可得出答案． 【详解】解：A．把代入得：， ∴不在二次函数的图象上，故A不符合题意； B．把代入得：， ∴不在二次函数的图象上，故B不符合题意； C．把代入得：， ∴在二次函数的图象上，故C符合题意； D．把代入得：， ∴不在二次函数的图象上，故D不符合题意． 故选：C． 【变式2】对于抛物线 ，下列说法不正确的是（    ） A．图象开口向下 B．最小值是1 C．顶点坐标为 D．对称轴为y轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的相关性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，故A正确，不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，顶点坐标为，故C、D正确，不符合题意； ∴当时，函数的最大值为，故B不正确，符合题意； 故选：B． 【变式3】已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为轴，开口向上， 可知，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 题型03 y=a(x-h)²的图象和性质 【典例3】对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】顶点为且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数图象与系数的关系，熟记抛物线中，值确定抛物线的开口方向和抛物线的形状是解题的关键．根据抛物线的形状开口方向和抛物线的形状与值有关，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，且开口方向，形状与函数的图象相同， 这个二次函数的解析式为． 故选：A． 【变式2】函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：函数图象的顶点坐标为， 故答案为： 【变式3】已知二次函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴两个因素决定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案。 【详解】解：∵二次函数， ， ∴二次函数的图象开口向上， 且对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 故答案为：增大． 题型04 y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例4】关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 【变式1】二次函数的最大值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知：当时，函数有最大值． 【详解】解：∵中；， ∴此函数的顶点坐标是，有最大值， 即当时，函数有最大值． 故选C． 【变式2】已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、对称轴为，故此选项说法错误，不符合题意； B、顶点坐标为，故此选项说法错误，不符合题意； C、函数的最大值是，故此选项说法正确，符合题意； D、当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】二次函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选：B． 【变式4】已知二次函数，当点在函数图象上时，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征， 根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线， 点在函数图象上， 且 ∴． 故选：C． 【变式5】已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 题型05 y=a(x-h)²+k的图象变换 【典例5】将抛物线向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．根据抛物线的平移规律，即得答案． 【详解】将抛物线向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 【变式1】要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解： 与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． 【变式2】若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数图象的平移变换，熟练掌握二次函数图形的平移规律是解答本题的关键，“二次函数图形的平移规律是左加右减，上加下减”，据此规律解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即， ∴平移后的二次函数的顶点坐标为， 故选：D． 【变式3】将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线：，即， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，上加下减，左加右减，是解题的关键． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式．根据抛物线的顶点坐标为，可知抛物线的顶点坐标是． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 2．对于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向下 B．函数的最大值是5 C．顶点坐标 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线是顶点式，可得对称轴是直线，函数的最大值是3，开口向下，顶点坐标，当时，随的增大而减小,据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、对于抛物线的，开口向下，选项说法正确，符合题意； B、对于抛物线，开口向下，在时，函数的最大值是3，选项说法不正确，不符合题意； C、对于抛物线，开口向下，顶点坐标，选项说法不正确，不符合题意； D、对于抛物线，当时，随的增大而减小，选项说法不正确，不符合题意； 故选：A． 3．抛物线的对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称轴为可直接得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 故选：B． 4．对于二次函数的图象，下列叙述正确的是（   ） A．顶点坐标为 B．与轴有两个交点 C．函数有最大值2 D．当时，随增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、二次函数的图象的顶点为，故本选项说法错误； B、令，则，该方程没有实数解 ， ∴二次函数的图象与x轴没有交点，故本选项说法错误； C、∵二次函数的图象开口向上，顶点为， ∴函数y有最小值，为，本选项说法错误； D、∵二次函数的图象开口向上，故对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确． 故选：D 5．已知，，在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质．根据题意可得对称轴为，继而利用对称性可得点关于对称轴对称的点为，后利用二次函数增减性即可得到本题答案． 【详解】解：∵的对称轴为， ∴点关于对称轴对称的点为， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵，，在函数（m为常数）的图象上， ∵， ∴， 故选：A． 6．已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 7．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数与二次函数的系数与图象的关系是解题的关键．先利用一次函数的图象得出，的取值范围，再判断的图象． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， ∴对于二次函数的图象，开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， 又∵的图象的对称轴为轴， 只有选项B的图象符合， 故选：B． 8．已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 由顶点坐标可设抛物线解析式为，再根据抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同可得得到即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ∴， ∴抛物线的解析式为． 故选：D． 9．直线过点且与轴垂直，若二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，且其对称轴在轴右侧，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的判别式，先得出直线的解析式为，因为二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点，故建立方程，整理得出，则，解得，结合其对称轴在轴右侧，故，即可作答． 【详解】解：∵直线过点且与轴垂直， ∴直线的解析式为， ∵二次函数（其中是自变量）的图象与直线有两个不同的交点， ∴，对称轴为， 整理得出， 则， 解得， ∵其对称轴在轴右侧， ∴， 故选：B 二、填空题 10．二次函数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值3， 故答案为：3． 11．如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 12．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为：，进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 13．已知函数，当时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性，掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧随的增大而增大，在对称轴的左侧随的增大而减小是解题的关键． 根据其顶点式函数可知，抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而增大，可得到答案． 【详解】解：由题意可知：函数，开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大， 又 ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 14．把二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到新的图象解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象，根据二次函数的图象的平移法则：左加右减、上加下减，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度， ∴． 故答案为：． 15．若抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 16．已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键．分，时，由点A，B和抛物线的位置结合图象求解． 【详解】解：当时，抛物线开口向下，此时抛物线与线段没有交点，不合题意； 当时，若抛物线与线段只有一个公共点，如图所示： ∴由图象可知：需满足当时，且当时，， 即， 解得， 故答案为． 17．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 三、解答题 18．已知二次函数． (1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； (2)当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 19．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 20．已知抛物线． (1)当时，y随着x的增大而减小，求h的最小值； (2)已知A、B两点在x轴上，A点坐标为，B点坐标为，若抛物线与线段只有一个公共点，求h的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的增减性求解即可； （2）分别求得抛物线经过、两点时的h值，结合二次函数的对称性求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y随着x的增大而减小， ∴，则h的最小值为1； （2）解：由题意得， 当抛物线经过点时， 解得或， 当抛物线经过点时， 解得或． 当时，抛物线同时经过点A和点B，不合题意， ， 则h的取值范围是，且． 18 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$