专题1.5 二次函数的应用（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题1.5二次函数的应用 教学目标 1. 学生能熟练从实际生活场景中识别二次函数问题，精准建立二次函数模型，如利用二次函数描述销售利润与售价、销售量的关系，抛物线形建筑高度与水平距离的关系等。 1. 掌握运用二次函数的性质（顶点坐标、对称轴、开口方向等）求解实际问题中的最值、变化趋势等问题，例如求出商品销售的最大利润、物体抛物线运动的最大高度等。 3.能够正确解读二次函数图象在实际问题中的意义，通过分析图象获取关键信息，解决与时间、距离、数量等相关的实际问题。 教学重难点 1.重点 (1)学会从实际问题中分析数量关系，建立二次函数模型，准确找出实际问题中的变量和常量，确定函数表达式。 (2)熟练运用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题，如利润最大化、材料最省、面积最大等问题。 (3)能够将实际问题中的条件与二次函数的图象和性质相结合，通过分析函数图象解决实际问题 2.难点 (1)准确从复杂的实际情境中抽象出数学模型，尤其是当实际问题中的数量关系不明显时，学生难以判断是否能用二次函数解决问题，以及如何建立函数关系。 (2)理解实际问题中自变量的取值范围对函数图象和问题答案的限制，正确处理函数在实际情境中的定义域和值域问题，避免出现不符合实际意义的结果。 (3）综合运用二次函数与其他数学知识（如方程、不等式等）解决综合性较强的实际问题，需要学生具备较高的知识整合和应用能力。 知识点01 二次函数应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【即学即练】 1．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)此时x的值为2 (2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为，长为，可得，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是，根据墙的长度为13m，可得，而，由二次函数性质即得当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）解：根据题意知：较大矩形的宽为，长为， ， 解得或， 经检验，时，，不符合题意，舍去， ， 答：此时x的值为2； （2）设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为13m， ， 根据题意得：， ， 当时，y取最大值，最大值为48， 答：当时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为 2．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 3．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度 ，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，先得再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，得， 解得，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵中间大孔水面宽度 ，顶点距离水面的高度， ∴ 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为， （2）解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴． 即此时大孔的水面宽度的值为． 4．某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数关系式； (2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当每千克售价80元时，销售利润最大，销售利润最大为4800元 【分析】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，正确列出关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设，把，分别代入中得 解得， 所以． （2）解：设这批水果的利润为w元． 由题意得： 开口向下， 有最大值 ，， 当时，（元） 答：当每千克售价80元时，销售利润最大为4800元． 5．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 【答案】(1) (2)前移动 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）由顶点式，可设抛物线的解析式为，再把代入求出a的值即可； （2）求出时，即可解得． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线顶点为． 故可设抛物线的解析式为， 又抛物线过， ， ， 解析式为； （2）当时， 即 （舍），， ， 应将布幔向前移动． 6．某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且．如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为．以过点O并垂直于地面的直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷泉在y轴两侧的水流最高点C与之间的距离为，喷泉水流近似抛物线． (1)求点C所在抛物线的函数表达式． (2)现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为，花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持，则花架的最大高度为多少？ 【答案】(1) (2)花架的最大高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）首先根据题意求出点B的坐标为，点C的坐标为，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，然后将当代入解析式求解即可． 【详解】（1）由题意，得， ∴点C所在抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点B的坐标为，点A的坐标为． 设点C所在抛物线的函数表达式为． ∵， ∴． 将点代入表达式，得， 解得， ∴点C所在抛物线的函数表达式为； （2）∵花架的直径为，且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，． ∵喷泉与花架上边缘的距离至少保持， ∴花架的最大高度为． 7．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 题型01图形问题 【典例1】如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，为 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系． （1）根据即可求得； （2）根据配方法求出二次函数最值即可． 【详解】（1）解： （2）， ， 又 ， 当时，S有最大值，为． 【变式1】明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米． (1)用含的代数式表示． (2)当菜园的面积是平方米时，求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数关系式，二次函数的应用； （1）根据题意先求得，进而根据矩形面积公式，即可求解； （2）当时，，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设的长为米，矩形面积为平方米， ∴，， （2）解：当时， 解得： 【变式2】某社区委员会决定把一块长，宽的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多4米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．    (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S与x之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：由题意解得：； （2）解：∵， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：活动区域面积S的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 【变式3】如图，有长为24米的篱笆，一面利用足够长的墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长是x米，矩形的面积为S平方米． (1)直接写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围________________． (2)当x为何值时，S有最大值，并求出最大值？ 【答案】(1)， (2)当米时，最大值为48平方米 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用， （1）设边的长是x米，则，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式根据得出自变量的取值范围； （2）利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设边的长是x米，则米， ， 由题意可得：， 解得：； 故答案为：； （2）解：， ， 有最大值，当米时，最大值为48平方米． 题型02图形运动问题 【典例2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，面积最大，最大值为． 【分析】（1）根据题意得出，，则即可； （2）当时，列出方程，求出方程的解即可； （3）先列出函数解析式，再化成顶点式，最后求出最值即可； 本题考查了列函数关系式，解一元二次方程，二次函数的最值等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得：，，则， ∴； （2）当时， ∴，解得，， ∴的值为或； （3）， ∴当时，面积最大，最大值为． 【变式1】如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)或2 (2)当为时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： （1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵两点的距离为， ∴， 解得：或2； （2）解：设的面积为，根据题意得： ， ∴当时，S取得最大值，最大值为9， 即当为时，的面积最大，最大面积为． 【变式2】如图，在中，，，动点和分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点出发，点沿方向运动，到达点即停止运动，点沿方向运动，到达点即停止运动．设运动时间为秒，，．    (1)请直接写出和关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的值，保留1位小数，误差小于． 【答案】(1)，， (2)作图见详解，在时，的函数图象关于轴对称 (3)时，， 【分析】本题主要考查了求解一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的图象与性质； （1）根据运动的特点有：，，且，问题随之得解； （2）由题意画出图象，由二次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象及一次函数与二次函数的交点可得出答案． 【详解】（1）根据运动的特点有：，，且， ∵在中，，，， ∴，， ，； （2）如图，    函数的一条性质为：在时，函数图象关于轴对称； （3）由图象可知：时，，． 【变式3】如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 题型03 拱桥问题 【典例3】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 【变式1】图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥抛物线的解析式； (2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意得出，该抛物线顶点坐标为，设该抛物线解析式为，把代入求出a的值即可； （2）根据题意得出水位上升了2米，把代入求出自变量的值，即可求解． 本题主要考查了二次函数的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】（1）∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，， ∵水面离桥洞最大距离为4米， ∴该抛物线顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）（米）， ∴水位上升了2米， 把代入 得：， 解得：， （米）， 答：拱桥内水面的宽度米． 【变式2】如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】，能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用， （1）根据题意代点求出值， （2）根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】（1）∵点在图象上， ， 解得： 故答案为： （2） 在抛物线中， 当时， 故可以判断货车能完全停到车棚内． 故答案为：能 【变式3】如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 【答案】(1)； (2)工人不会碰到头，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点 ，先设抛物线的顶点式，再根据图象过原点，求出的值即可； （2）先求出工人距原点的距离，再把距离代入函数解析式求出的值，然后和1.68比较即可． 【详解】（1）解：如图②，由题意得：水面宽是，桥拱顶点到水面的距离是， 结合函数图象可知，顶点，点， 设二次函数的表达式为， 将点代入函数表达式， 解得：， 二次函数的表达式为， 即； （2）解：工人不会碰到头，理由如下： 小船距点，小船宽，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距点距离为， 将代入， 解得： ， 此时工人不会碰到头． 题型04 销售问题 【典例4】某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克． (1)请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式． (2)当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元 ． 【答案】(1) (2)当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意可以得到日销售量为，根据销售利润每千克利润日销售量，即可得出答案； （2）根据（1）中的关系式化为顶点式即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）， 又由可知抛物线的开口向下， ∴当时，最大值为900 ， 故当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元． 【变式1】抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. (1)涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； (2)当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数最值，解题的关键是利用代数式表示其中的量，并会通过二次函数顶点解析式求出最值． （1）根据题意用含的代数式表示出每日销售量减少的件数即可； （2）根据题意列出关于的二次函数，并利用顶点解析式求出最值即可． 【详解】（1）解：设涨价后的售价为元，则每日销量减少：件， 故答案为：； （2）解：设每日获的利润为元， 由题意可得： ， 整理得：， ， 当时，最大，最大值为720， 当售价为12元时，每日获的利润最大，最大利润为720元． 【变式2】“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹…”董宇辉在直播电商平台的山西专场直播中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某网店抓住商机，以40元/盒的进价购入一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，该商品的周销售量y（盒）是售价x（元/盒）的一次函数，部分数据如表： 售价x（元/盒） 55 65 80 85 周销售量y（盒） 90 70 40 30 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？ (3)若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？ 【答案】(1) (2)当每件售价为70元时，最大利润为1800元 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据题意和表中的数据，设，利用待定系数法求解即可； （2）设每周的利润是元，利润公式（售价-进价）销售量，根据题意列出方程，可以得到利润和售价之间的关系式，然后根据二次函数的性质即可得到当售价定为多少元时，每周可获最大利润，最大利润是多少元． （3）将代入公式求出的值即可得出售价范围． 【详解】（1） 解：设y与x之间的函数表达式为，将代入得： ， 解得：， ∴y与x的函数表达式为； （2） 由题意知：每件的利润为元，设每周可获得利润为w元，得： ， ， ∴w存在最大值， ∴当时，w的最大值为1800， ∴当每件售价为元时，周销售利润w最大，最大利润为1800元； （3） 由（2）可知， 当时，w随x增大而增大，当时，w随x增大而减小， 当时，， 解得：， 则要使得利润不低于1600元，售价x范围应该是． 【变式3】学科实践 [驱动任务] 诚诚发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． [研究步骤] 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中： 售价x（元/束） 日销售量y（束） 数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． [问题解决] (1)求日销售量y关于售价x的函数关系式； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①或；②售价定为时，每天获得的利润最大，最大利润为． 【分析】本题考查了函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是建立函数关系式，分析函数的性质． （1）由待定系数法求函数的解析式即可； （2）①根据每束鲜花的利润销售量，列出方程，解方程即可；②根据总利润每束鲜花的利润销售量列出函数解析式，由函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为． 把代入，得解得 ∴y关于x的函数关系式为． （2）①当每天获得1400元的利润时，由题意得， 解得，． 答：要想每天获得1400元的利润，应该定价为90元或30元． ②设每天获得的利润为w元． 根据题意，得． ∵， ∴当时，w取最大值3200． 答：售价定为60元时，每天获得的利润最大，最大利润为3200元． 题型05 投球问题 【典例5】某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，小明站在原地将篮球从头顶上方距地面2米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明站立点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ (3)若小明在距篮筐水平距离3.8米的位置进行投球，且篮球飞行轨迹的形状不变的情况下，通过计算说明小明要将篮球在距地面多少米处出手才能直接投中？ 【答案】(1) (2)小刚距离小明0.5米及以内 (3)2.138米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值即可； （3）求出新的函数解析式，令，求出值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， ， 由题意可知当时，， 把点代入， 解得， 抛物线的表达式为； （2）令，则， 解得． 在球上升的过程中， ， ∴小明投出球后，小刚距离小明0.5米及以内能在空中截住篮球； （3）篮球飞行轨迹的形状不变， 改变篮球出手位置只是对抛物线进行上下平移， 设改变篮球出手位置后的抛物线表达式为， 小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米， 将点代入， 得， 解得， ， 令，得， 小明要将篮球在距地面2.138米处出手才能直接投中． 【变式1】【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 飞行高度 【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【答案】任务：； 任务：米； 任务：． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的解析式解答． 任务：由表格中的数据可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为：，把点的坐标代入解析式可得：，解方程求出的值即可； 任务：把代入关于的函数表达式，可得，解方程，可得：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【详解】解：任务： 二次函数经过点，， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为：， 抛物线经过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：； 任务2： ， ， ， 整理得：， 当水火箭落地（高度为）时，， 解得：（不合题意，舍去），， 答：水火箭飞行的水平距离为米； 任务：设的长度为， 水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 【变式2】将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动． (1)若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，然后把代入解析式可求C，最后把解析式化为顶点式即可求解； ②令，得出，然后解方程即可求解； （2）先根据求出c，然后求出E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， 由题意知抛物线经过， ∴， ∴ ∴， ∴当时，y有最大值， ∴小球达到的最大高度为； ②令，则， 解得，， ∴球落地时的水平距离为； （2）解：由题意知抛物线经过， ∴， ∴， 根据题意知，， 当抛物线经过时， 则， 解得， 当抛物线经过时， 则， 解得， ∴要使小球落入筐中，则． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【变式3】在某中学举行的篮球比赛中，小刚同学因频频投进3分球（投篮时距球框水平距离大于6.25米）而惊艳全场．在其中一次投篮中，小刚在距篮圈中心水平距离7米处起跳投篮，小刚投球出手时篮球离地面的高度为2米，篮球沿一条抛物线运动，当篮球运动的水平距离为4米时达到最大高度，然后正好落入篮框内，已知学校篮圈中心距地面垂直距离为3.05米．如图，若以地面水平线为x轴，小刚起跳点为原点建立平面直角坐标系．      (1)求篮球运动路线的函数表达式； (2)在又一次投篮中，小刚改变了位置，篮球出手时的高度为1.8米，出手后篮球运动的水平距离为3米时到达最大高度4.05米，篮球运行轨迹依然是抛物线，且正好投进篮框，请你通过计算判断小刚此次投篮是否属于3分球． 【答案】(1) (2)小刚此次投篮不是3分球，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）以地面水平线为x轴，小刚起跳点为原点建立平面直角坐标系，得抛物线的顶点坐标为，列出函数解析式，待定系数法求出函数解析式，求出时的自变量的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设篮球运动路线的函数表达式为． ∵当篮球运动的水平距离为4米时达到最大高度，且抛物线经过点， ∴，解得， ∴篮球运动路线的函数表达式为． （2）根据题意，以地面水平线为x轴，小刚起跳点为原点建立平面直角坐标系． 得抛物线的顶点坐标为， ∴设此次篮球运动路线的表达式为． 把代入，得， 解得， ∴此次篮球运动路线的表达式为． 当时，，解得，（舍去）． ∵， ∴小刚此次投篮不是3分球． 题型06 喷水问题 【典例6】某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形．以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，B为该水龙头弯曲部分上的一个点，且轴，测得． (1)求抛物线的表达式； (2)已知该圆形洗手盆的宽为（洗手盆的左侧与紧挨），水龙头的出水点C（在抛物线上）在洗手盆台面中心的正上方．若当水龙头的出水点距离洗手盆台面的距离在至之间时两者匹配，请问该圆形洗手盆与安装的水龙头是否匹配． 【答案】(1) (2)匹配 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入求出y的值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：易得A点坐标为， ∵轴，，最高点P距离x轴， ∴顶点， 设抛物线的表达式为， 把点代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点C在圆形洗手盆台面中心的正上方， ∴把代入中，得：， ∵在至之间， ∴该圆形洗手盆与安装的水龙头是匹配的． 【变式1】一款可以任意扭动方向的水龙头，平鑫同学把它喷头扭向上方，如图1所示，喷头A离立杆水平距离，离台面高度为，打开水龙头，喷出的水成抛物线型，水在离立杆处达到最大高度．平鑫同学以底座O为坐标原点，立杆所在直线为y轴，建立如图2所示的坐标系． (1)写出水流抛物线的解析式； (2)计算水流喷出的最远距离（结果保留根号）； (3)已知水杯，水杯高度，直径，水杯离O点水平距离为，手拿水杯沿射线方向平推m厘米，试问m在什么样的取值范围内，水杯可以接到水． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）当时，，解方程并根据题意取舍即可得到答案； （3）分当抛物线经过点F时和当抛物线经过点E时，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为， 设水流抛物线的解析式为， 把代入得到，， 解得， ∴水流抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得（不合题意舍去）， ∴， ∴水流喷出的最远距离为 （3）解：令得， 解得，，（舍去） ∴当抛物线经过点F时， 此时点C的横坐标为， ∴， 当抛物线经过点E时， 此时点C的横坐标为， ∴， 综上可知，时，水杯可以接到水． 【变式2】图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，喷枪喷水的区域可覆盖整个圆面．如图2，以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，设喷水口为点，水柱喷出的外围路径可以近似的看作抛物线和的一部分，已知． (1)求喷枪的高度． (2)现种植一种高为的农作物，为了利用一个喷枪便能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，求抛物线解析式，抛物线与轴交点情况，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意得到点，将点代入中求解，即可解题； （2）根据题意将代入抛物线解析式求解，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， 的对称轴为直线，在轴右侧， 过点， ， 解得， 喷枪的高度； （2）解：种植一种高为的农作物，即， 当时，， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）， 农作物种植的最大半径为． 【变式3】“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘．如图①所示，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分．在如图②所示的直角坐标系中，当两辆消防车喷水口、的水平距离为时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面，喷水口、到地面的距离均为． (1)求水柱所在抛物线的表达式； (2)若两辆消防车同时后退，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点到地面的距离是多少？ 【答案】(1) (2)两条水柱相遇点距地面的距离为 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图象的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式． （1）设抛物线解析式为：，再代入即可得到答案； （2）根据原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可． 【详解】（1）解：由题意可知：、、， 设抛物线解析式为：， 将代入解析式 解得：， . （2）解：消防车同时后退20米，即抛物线向左平移后的抛物线解析式为： ， 令， 解得：， 两条水柱相遇点距地面的距离为． 题型07 增长率问题 【典例7】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【变式1】由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．原价为462元，第一次降价后的价格是元，第二次降价后的价格为元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得： y与x之间的函数关系为：． 故答案为． 【变式2】据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 【变式3】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 题型08 其他问题 【典例8】近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 【变式1】某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为． (1)求的值； (2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把代入，再由计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用配方求最值即可； （3）由题可知当时，设函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【详解】（1）解：对于，当时， ∴， ∴当时，， ， 解得：； （2）解：， ， ， ∵，且 ∴当时，最大，最大值为， 答：飞行高度的最大值为． （3）解：当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令，即， 解得， ， ∴的最小值为． 【变式2】综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： (1)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：，，，）； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)该款汽车开始刹车时的速度为； (3)有碰撞危险，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数的应用．求函数关系是计算相对复杂，需要细心，关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）观察函数图象可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的数据代入，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离y的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【详解】（1）解：函数图象如图所示， 根据图象可得该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间为二次函数， 设， 把代入可得 ， 解得， 该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间的函数关系式为； （2）解：当时，可得， 解得（舍去）， 故该款汽车开始刹车时的速度为； （3）解：有碰撞危险，理由如下： 当时，， ， 故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离． 【变式3】项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】任务一：；；任务二：（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：任务一：设，将点代入得， ， 解得：， ∴， 设，将点代入得， ， 解得：， ∴； 任务二：（1）由，当时，， 解得：， 当时， ， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （2）当时，，解得：， 当时，， ∴． 一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出为何值时取最大值即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最大值， 即飞机着陆后滑行20秒才能停下来． 故选：C． 2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 3．“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．易得抛物线的开口向下，那么当时，函数有最大值，即可求得相应的运动时间． 【详解】解：∵，， ∴当秒时，水火箭达到最高点． 故选：B． 4．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 5．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求拋物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分且过和， ∴抛物线的对称轴为直线， 设拋物线的解析式为， ∴ 解得， ∵， ∴当时，电功率P有最大值为220， 即变阻器R消耗的电功率P最大为， 故选B． 6．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键．先求出日销售量为件，再根据利润（售价支付厂家和其他的费用）日销售量即可得． 【详解】解：设每件产品售价为（元），则日销售量为件， ∵每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据正常水位时水面宽米，求出当时求得，再根据水位上升3米时，代入解析式求出x即可解答． 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升3m时，， 把代入得：，解得：， 此时水面宽米． 故答案为：8． 8．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的对称性可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， 因为抛物线与x轴的一个交点横坐标为0， 所以，抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， 所以，足球从踢出到落地所需的时间是， 故答案为：4 9．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：，若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入解析式，求得，即可求解． 【详解】解：依题意，当时， 解得： 故答案为： 10．如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 三、解答题 11．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； （2）解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 12．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 13．为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为． (1)若矩形地的面积为，求的长： (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)的长为 (2)当时，S有最大值，最大值为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，求二次函数的最值等知识，解题关键是列出函数关系式． （１）设的长为，先用表示出的长，再列出关于为的一元二次方程求解，然后通过验根后作答； （２）设矩形的面积为，列出二次函数关系式，配方后结合自变量的范围求出最值． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， ， 答：的长为； （2）设矩形的面积为， 则， ， ， ， 当时，y随x的增大而减小 ∴当时，S有最大值，最大值为． 14．如图①，篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分．将此情景抽象为平面图形，建立如图②所示的平面直角坐标系，点在该抛物线上．若线段与轴平行，点与篮球框的边缘点所在直线垂直轴于点，运动员身高，当球运动到最高处时，离该运动员站立点的水平距离为． (1)求图中抛物线的顶点坐标及函数表达式； (2)若线段，，求的长； (3)如图③，在（）的条件下，有一个横截面为矩形的盒子，长，高（不考虑盒子的宽度，将篮球看成一个点），若篮球可落入盒子内（不考虑篮球碰到盒子的端点），直接写出盒子的边到点的水平距离的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可得点的横坐标为，把代入代入函数解析式求出的长，进而即可求解； （）把代入函数解析式可得，，即得当点在抛物线上时，；当点在抛物线上时,，进而即可求解； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ， ∴， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵轴， ∴点的纵坐标相同， ∴点关于对称轴直线对称， ， ∴点的横坐标为， 把代入，得， ∴， ， ； （3）解：把代入，得， 解得，， ∴当点在抛物线上时，；当点在抛物线上时,， ∴要使篮球可落入盒子内，盒子的边到点的水平距离的取值范围是． 15．某旅游度假村有甲种风格客房20间，乙种风格客房30间．按现有定价：若全部入住，一天的营业额为12000元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天的营业额为5000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会增加2个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个居住的房间每天支出60元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元 (2)当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元 【分析】本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出方程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，根据题意列方程组并解方程组解决； （2）设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，根据题意列出函数关系式并根据二次函数性质求最值即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元， 根据题意，得：， 解得， 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； （2）解：设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲， 根据题意有： ， ， 当时，取得最大值，最大值为4840，此时房间的定价为元， 答：当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5二次函数应用 教学目标 1. 学生能熟练从实际生活场景中识别二次函数问题，精准建立二次函数模型，如利用二次函数描述销售利润与售价、销售量的关系，抛物线形建筑高度与水平距离的关系等。 1. 掌握运用二次函数的性质（顶点坐标、对称轴、开口方向等）求解实际问题中的最值、变化趋势等问题，例如求出商品销售的最大利润、物体抛物线运动的最大高度等。 3.能够正确解读二次函数图象在实际问题中的意义，通过分析图象获取关键信息，解决与时间、距离、数量等相关的实际问题。 教学重难点 1.重点 (1)学会从实际问题中分析数量关系，建立二次函数模型，准确找出实际问题中的变量和常量，确定函数表达式。 (2)熟练运用二次函数的性质解决实际问题中的最值问题，如利润最大化、材料最省、面积最大等问题。 (3)能够将实际问题中的条件与二次函数的图象和性质相结合，通过分析函数图象解决实际问题 2.难点 (1)准确从复杂的实际情境中抽象出数学模型，尤其是当实际问题中的数量关系不明显时，学生难以判断是否能用二次函数解决问题，以及如何建立函数关系。 (2)理解实际问题中自变量的取值范围对函数图象和问题答案的限制，正确处理函数在实际情境中的定义域和值域问题，避免出现不符合实际意义的结果。 (3）综合运用二次函数与其他数学知识（如方程、不等式等）解决综合性较强的实际问题，需要学生具备较高的知识整合和应用能力。 知识点01 二次函数应用 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 【即学即练】 1．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，墙的长度为13m，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为m（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 2．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 3．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度 ，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度． (1)求中间大孔抛物线的函数表达式； (2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值． 4．某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数关系式； (2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？ 5．掷沙包是一种传统儿童游戏，投掷者用内装谷粒或者沙子的布包向远处的目标进行投掷，以投中目标为胜，沙包的飞行轨迹近似抛物线．设沙包飞行的水平距离为（单位：m），相对应的飞行高度为（单位：m）．李华在处以跪蹲姿势向远处的布幔投掷沙包，沙包飞行轨迹的相关数据如图所示，为抛物线的顶点，已知布幔垂直于轴，且，布幔上的目标与的距离为0.26米． (1)求沙包飞行轨迹抛物线的解析式 （无需写出自变量的取值范围）； (2)为了击中目标，应将布幔向前或后移动多少米？ 6．某乡间民宿的院子里安装了一个喷泉装置，喷泉底座安装在点O处，喷泉的出水口为点B，且．如图，这是喷泉喷水时的截面示意图，根据实际情况调整喷泉落地点A，使点A到底座O的距离为．以过点O并垂直于地面的直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，喷泉在y轴两侧的水流最高点C与之间的距离为，喷泉水流近似抛物线． (1)求点C所在抛物线的函数表达式． (2)现打算在喷泉内侧增加圆形花架作为点缀，花架的直径为，花架的中心在喷泉所在的抛物线的对称轴上．为了不影响美观，喷泉与花架上边缘的距离至少保持，则花架的最大高度为多少？ 7．某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 题型01图形问题 【典例1】如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为 (1)请用含有x表示的长度． (2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？ 【变式1】明明的爸爸要利用家里的一面墙和铁丝网围成一个矩形菜园，围墙足够长，其余的部分用铁丝网围成，在墙所对的边留一道米宽的门，已知铁丝网总长是米．如图所示，设的长为米，矩形面积为平方米． (1)用含的代数式表示． (2)当菜园的面积是平方米时，求出的值． 【变式2】某社区委员会决定把一块长，宽的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多4米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为，健身活动区域的面积为．    (1)求出S与x之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S的最大值． 【变式3】如图，有长为24米的篱笆，一面利用足够长的墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃是如图所示的矩形．设边的长是x米，矩形的面积为S平方米． (1)直接写出S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围________________． (2)当x为何值时，S有最大值，并求出最大值？ 题型02图形运动问题 【典例2】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、两点分别从、两点同时出发，运动时间为，的面积为. (1)求随变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围. (2)当为时，的值时多少？ (3)当取何值时，面积最大，最大是多少？ 【变式1】如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【变式2】如图，在中，，，动点和分别以每秒3和4个单位长度的速度同时从点出发，点沿方向运动，到达点即停止运动，点沿方向运动，到达点即停止运动．设运动时间为秒，，．    (1)请直接写出和关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的值，保留1位小数，误差小于． 【变式3】如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 题型03 拱桥问题 【典例3】如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【变式1】图1是一座拱桥，拱桥的拱形呈抛物线形状，在拱桥中，当水面宽度为米时，水面离桥洞最大距离为4米，如图2，以水平面为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系． (1)求该拱桥抛物线的解析式； (2)当河水上涨，水面离桥洞的最大距离为2米时，求拱桥内水面的宽度． 【变式2】如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形， （1）________； （2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【变式3】如图1是汝南北城古桥，斑驳的桥面上书写着历史的痕迹．古桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图2所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式（无需写出取值范围）； (2)一只宽为的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距点时，桥下水位刚好在处，有一名身高的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）． 题型04 销售问题 【典例4】某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克． (1)请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式． (2)当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元 ． 【变式1】抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可售出160千克.通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．若想通过涨价增加每日利润，设涨价后的售价为元，每日获得的利润为元. (1)涨价后每日销量将减少______件（用含的代数式表示）； (2)当售价为多少时，每日获的利润最大？最大利润为多少？ 【变式2】“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹…”董宇辉在直播电商平台的山西专场直播中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某网店抓住商机，以40元/盒的进价购入一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，该商品的周销售量y（盒）是售价x（元/盒）的一次函数，部分数据如表： 售价x（元/盒） 55 65 80 85 周销售量y（盒） 90 70 40 30 (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？ (3)若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？ 【变式3】学科实践 [驱动任务] 诚诚发现因为“母亲节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入了销售旺季，他所在的综合实践小组以探究“鲜花最佳销售方案”为主题开展了项目调查． [研究步骤] 数据收集：综合实践小组以某款每束进价为的鲜花礼品为研究对象展开调查，收集到附近五家花店近期销售的相关信息，并将数据按一定顺序整理在下表中： 售价x（元/束） 日销售量y（束） 数据分析：分析数据的变化规律，将每组对应值描在下图中，观察表格中数据的变化规律可知日销售量y是售价x的一次函数． [问题解决] (1)求日销售量y关于售价x的函数关系式； (2)根据以上信息，在销售该款鲜花礼品时， ①要想每天获得的利润，应该如何定价？ ②当售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 题型05 投球问题 【典例5】某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，小明站在原地将篮球从头顶上方距地面2米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明站立点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ (3)若小明在距篮筐水平距离3.8米的位置进行投球，且篮球飞行轨迹的形状不变的情况下，通过计算说明小明要将篮球在距地面多少米处出手才能直接投中？ 【变式1】【问题背景】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭． 【实验操作】 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示： 飞行时间 飞行高度 【建立模型】 任务：求关于的函数表达式． 【反思优化】 图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，． 任务：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离． 任务：当水火箭落到内（包括端点，），求发射台高度的取值范围． 【变式2】将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动． (1)若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中，，若要使小球落入筐中（小球落在点或均视为入框），求的取值范围． 【变式3】在某中学举行的篮球比赛中，小刚同学因频频投进3分球（投篮时距球框水平距离大于6.25米）而惊艳全场．在其中一次投篮中，小刚在距篮圈中心水平距离7米处起跳投篮，小刚投球出手时篮球离地面的高度为2米，篮球沿一条抛物线运动，当篮球运动的水平距离为4米时达到最大高度，然后正好落入篮框内，已知学校篮圈中心距地面垂直距离为3.05米．如图，若以地面水平线为x轴，小刚起跳点为原点建立平面直角坐标系．      (1)求篮球运动路线的函数表达式； (2)在又一次投篮中，小刚改变了位置，篮球出手时的高度为1.8米，出手后篮球运动的水平距离为3米时到达最大高度4.05米，篮球运行轨迹依然是抛物线，且正好投进篮框，请你通过计算判断小刚此次投篮是否属于3分球． 题型06 喷水问题 【典例6】某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形．以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，B为该水龙头弯曲部分上的一个点，且轴，测得． (1)求抛物线的表达式； (2)已知该圆形洗手盆的宽为（洗手盆的左侧与紧挨），水龙头的出水点C（在抛物线上）在洗手盆台面中心的正上方．若当水龙头的出水点距离洗手盆台面的距离在至之间时两者匹配，请问该圆形洗手盆与安装的水龙头是否匹配． 【变式1】一款可以任意扭动方向的水龙头，平鑫同学把它喷头扭向上方，如图1所示，喷头A离立杆水平距离，离台面高度为，打开水龙头，喷出的水成抛物线型，水在离立杆处达到最大高度．平鑫同学以底座O为坐标原点，立杆所在直线为y轴，建立如图2所示的坐标系． (1)写出水流抛物线的解析式； (2)计算水流喷出的最远距离（结果保留根号）； (3)已知水杯，水杯高度，直径，水杯离O点水平距离为，手拿水杯沿射线方向平推m厘米，试问m在什么样的取值范围内，水杯可以接到水． 【变式2】图1是一种自动旋转农业灌溉摇臂喷枪，喷枪喷水的区域可覆盖整个圆面．如图2，以水平方向为轴，喷枪底座中心为原点建立平面直角坐标系，设喷水口为点，水柱喷出的外围路径可以近似的看作抛物线和的一部分，已知． (1)求喷枪的高度． (2)现种植一种高为的农作物，为了利用一个喷枪便能灌溉到所有农作物的顶端，求该农作物种植的最大半径． 【变式3】“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘．如图①所示，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分．在如图②所示的直角坐标系中，当两辆消防车喷水口、的水平距离为时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇，此时相遇点距地面，喷水口、到地面的距离均为． (1)求水柱所在抛物线的表达式； (2)若两辆消防车同时后退，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点到地面的距离是多少？ 题型07 增长率问题 【典例7】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【变式1】由于制药技术的提高，某种疫苗的成本下降了很多，因此医院对该疫苗进行了两次降价，设平均降价率为x，已知该疫苗的原价为462元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【变式2】据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 题型08 其他问题 【典例8】近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【变式1】某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为． (1)求的值； (2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值； (3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【变式2】综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： (1)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：，，，）； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【变式3】项目化学习 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后相据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度v（单位：、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 运动速度 滑行距离 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与x的函数图象、y与x的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与x的函数关系为一次函数关系，y与x的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （1）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离； （2）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，求n的取值范围． 一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间的函数关系式是，则飞机着陆后滑行（    ）秒才能停下来？ A．10 B．15 C．20 D．30 2．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 4．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 5．某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图1，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图2所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（   ） A． B． C． D． 6．某商家代销一种产品，销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件产品下降1元时，日销售量增加2件．已知每售出1件产品，该商家需支付厂家和其他费用共50元，设每件产品售价为（元），商家每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面宽为 ． 8．某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球从踢出到落地所需的时间是 ． 9．如图，硬叶柳是杨柳科柳属直立灌木，在海拔到的高山环境下，其叶片长度与海拔满足关系式：，若，则硬叶柳生长的海拔为 ． 10．如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为 ． 三、解答题 11．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 12．为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 13．为充分利用现有资源，某校“牧春园”计划用一块矩形地种植两种花卉，如图，矩形地一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为． (1)若矩形地的面积为，求的长： (2)当边为多少时，矩形地的面积最大，最大面积是多少？ 14．如图①，篮球运动员投篮时，篮球的运动轨迹可看作某条抛物线的一部分．将此情景抽象为平面图形，建立如图②所示的平面直角坐标系，点在该抛物线上．若线段与轴平行，点与篮球框的边缘点所在直线垂直轴于点，运动员身高，当球运动到最高处时，离该运动员站立点的水平距离为． (1)求图中抛物线的顶点坐标及函数表达式； (2)若线段，，求的长； (3)如图③，在（）的条件下，有一个横截面为矩形的盒子，长，高（不考虑盒子的宽度，将篮球看成一个点），若篮球可落入盒子内（不考虑篮球碰到盒子的端点），直接写出盒子的边到点的水平距离的取值范围． 15．某旅游度假村有甲种风格客房20间，乙种风格客房30间．按现有定价：若全部入住，一天的营业额为12000元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天的营业额为5000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会增加2个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个居住的房间每天支出60元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？ 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$