4.4 用全等三角形测距离 期末专项训练 2024～2025学年北师大版数学七年级下册

4.4 用全等三角形测距离 期末专项训练 2024~2025学年北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（　　） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 2．如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 3．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角 4．如图为某单摆装置示意图，摆线长，当摆线位于位置时，过点作于点，测得，当摆线位于位置时，与恰好垂直，则此时摆球到的水平距离的长为（　　） A． B． C． D． 5．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝a，EF＝b，圆形容器的壁厚是（　　） A．a B．b C．b﹣a D． （b﹣a） 6．如图，把两根钢条AB，CD的中点O连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得AC之间的距离，就可知工件的内径BD．其数学原理是利用△AOC≌△BOD，判断△AOC≌△BOD的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 7．小明沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0点，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：如图，AB∥OE，OE∥CD，AC与BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为点D，下列结论中不正确的是（　　） A．∠BOA=∠DOC B．AB∥CD C．∠ABD=90° D．与∠AOE相等的角共有2个 8．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 二、填空题 9．某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是　 　米． 10．数学实践活动中，为了测量校园内假山底部A，B两点之间的距离，小明首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，并测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离为　 　． 11．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置下降30cm时，这时小明离地面的高度是　 　cm. 12．如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为　 　米． 13．小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是　 　． 14．如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是　 　． 15．如图，要测量一条小河的宽度AB的长，可以在小河的岸边作AB的垂线 MN，然后在MN上取两点C，D，使BC=CD，再画出MN的垂线DE，并使点E 与点A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，其中用到的数学原理是：　 　 16．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点.然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点.小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与游艇的距离为　 　米. 三、解答题 17．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点处停有一艘游艇。他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点。然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点。那么C，D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离。你知道这是为什么吗? 18．泾河以洪水猛烈、输沙量大著称（居全国江河支流之冠），是渭河和黄河主要洪水、泥沙来源之一．李刚和王烨两位同学想测量泾河某段的宽度AB，如图李刚在河岸边的点C处用测角仪测得视线CA与河岸CB之间的夹角∠ACB的度数，王烨沿AB方向向前走，直到到达点D处时，李刚测得视线CD与河岸CB的夹角∠DCB与∠ACB相等，此时测得BD＝300米，已知A、B、D在一条直线上，CB⊥AD，请你求出泾河此段的宽度AB． 19．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇.他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着沿再往前走相同的距离，到达C点（即），然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点（在小明从A走到D的过程中，游艇未移动）.小明测得C、D两点间的距离为，求在A点处小明与游艇的距离． 20．如图是一张简易木床的侧面图，现要钉上两根木条以确保其坚固耐用，木条已经钉上了，如果为了美观，要求木条与木条等长，那么应该怎样确定点的位置?并说明理由. 21．如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E处测得楼顶A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，过点F作FG⊥AB于点G，已知BG＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，点B、E、D在一条直线上，AB⊥BD，FE⊥BD，CD⊥BD，试求单元楼AB的高．（注：BE＝FG，BG＝EF，∠1与∠3互余） 22．小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且，，测得． （1）求证：； （2）若，，求池塘的长度． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵AC⊥BD， ∴∠ACB=∠ACD=90°， 在△ACB和△ACD中， ， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， ∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． 故选B． 【分析】根据SAS即可证明△ACB≌△ACD，由此即可解决问题． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：B． 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE=90°， ∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠BDO=∠OEC=90°， ∴∠B+∠BOD=90°， ∴∠COE=∠B， 在△OBD和△COE中 ∴△OBD≌△COE（AAS） ∴OD=CE=15cm. 故答案为：B. 【分析】利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BDO=∠OEC=90°，∠COE=∠B，利用AAS证明△OBD≌△COE，利用全等三角形的对应边相等，可求出CE的长. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：在 和 中， ∴ ≌ ， ∴ ∵EF＝b ∴圆形容器的壁厚是 故答案为：D. 【分析】先证明 ≌ ，根据全等三角形的性质得到 即可求出圆形容器的壁厚. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵两根钢条AB，CD的中点O连在一起， ∴OA=OB，OC=OA， ∵∠AOC=∠BOD， ∴△AOC≌△BOD． ∴AC=BD， 用的是SAS的判定定理． 故选A． 【分析】因为是用两钢条AB，CD的中点O中点连在一起做成一个测量工件，可求出两边分别对应相等，再加上对顶角相等，可判断出两个三角形全等，且用的是SAS． 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、∠BOA和∠DOC是对顶角，因此∠BOA=∠DOC正确，故此选项不合题意； B、∵AB∥OE，OE∥CD， ∴AB∥CD，正确，故此选项不合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵OD⊥CD， ∴∠ADO=90°， ∴∠DBA=90°，正确，故此选项不合题意； D、∵AB∥OE， ∴∠BAO=∠AOE， ∵CD∥EO， ∴∠OCD=∠AOE， ∵∠AOE=∠1， ∴与∠AOE相等的角有3个，原题说法错误，故此选项符合题意， 故选：D． 【分析】根据对顶角相等，平行线的性质分别进行分析即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接AB、CD， 在△ABO和△DCO中，， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， ∴AB=CD． 故选：B． 【分析】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答． 9．【答案】10.2 【解析】【解答】解：，， ， 在和中， ， ， （米）， 故答案为：10.2． 【分析】由题意，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得即可求解. 10．【答案】 【解析】【解答】解：由题意，得：，，， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【分析】结合对顶角相等，由SAS判断出△ACB≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AB=DE=8m. 11．【答案】80 【解析】【解答】解：在和中 ∴ ∴ ∴小明离地面的高度为： 故答案为：80. 【分析】利用"SAS"证明，得到：进而即可得到小明离地面的高度. 12．【答案】16 【解析】【解答】解：根据题意可知，BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 又∵BC＝DC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC≌△EDC， ∴AB＝ED＝16 故答案为：16. 【分析】证明△ABC≌△EDC可得AB＝ED。 13．【答案】 【解析】【解答】解：由图形可知：三角形保留了一条边和两个角， ∴作图的依据是：ASA； 故答案为：ASA. 【分析】图形中已知两个角和它们的夹边，根据ASA进行作图即可. 14．【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等 【解析】【解答】由题意知：∠MPO=∠NPO，PO=PO，PM=PN， ∴△PMO≌△PNO（SAS）， ∴NO=MO， 故答案为： 两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等 . 【分析】根据三角形的判定：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等进行解答即可. 15．【答案】ASA，全等三角形对应边相等 【解析】【解答】解：∵AB⊥MN，DE⊥MN， ∴∠ABC=∠EDC=90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴DE=AB． 【分析】根据题意可得∠ABC=∠EDC=90°，再加上条件BC=CD，对顶角∠ACB=∠DCE，可利用ASA定理判定△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等可得DE=AB． 16．【答案】90 【解析】【解答】解：在△ABS与△CBD中， ∵， ∴△ABS≌△CBD（ASA）， ∴AS＝CD=90（米）. 故答案为：90. 【分析】根据条件，利用ASA证明△ABS≌△CBD，得出AS＝CD，即可解答. 17．【答案】解：在△ABS与△CBD中， ∠A=∠C=90°，AB=CB，∠ABS=∠CBD， ∴△ABS≌△CBD(ASA)， ∴AS＝CD 【解析】【分析】根据图形结合题意得到∠A=∠C=90°，AB=CB，∠ABS=∠CBD，再根据三角形全等的判定与性质证明△ABS≌△CBD(ASA)即可得到AS＝CD. 18．【答案】解：∵ ∠DCB=∠ACB， CB⊥AD，即∠ABC=∠DBC， 在Rt△ABC和Rt△DBC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL）， ∴AB=BD=300（米）， 答： 泾河此段的宽度AB300米. 【解析】【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DBC，得出AB=BD，即可解答. 19．【答案】解：在与中， ， ， ， ， ， 答：在点处小明与游艇的距离为． 【解析】【分析】由题意可得AB=CB，根据对顶角的性质可得∠ABS=∠CBD，证明△ABS≌△CBD，得到AS=CD，据此解答. 20．【答案】解：利用刻度尺测量使BC=DF，AC=DE，此时木条EF与木条AB等长. 理由：∵AC⊥BC，DE⊥DF， ∴∠ACB=∠EDF=90°， 在△ACB和△EDF中 ∴△ACB≌△EDF（SAS） ∴EF=AB. ∴使BC=DF，AC=DE，此时木条EF与木条AB等长. 【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ACB=∠EDF=90°，利用SAS证明△ACB≌△EDF，利用全等三角形的对应边相等，可证得EF=AB，即可求解. 21．【答案】解：∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， ∵CD⊥BD， FG⊥AB ， ∴∠AGF=∠CDE=90°， ∵GF=BE， BE＝CD ， ∴GF=CD， 在△AGF和△EDC中， ， ∴△AGF≌△EDC（ASA）， ∴AG=ED， ∵ED=BD-BE=58-20=38（米）， ∴AG=ED=38米， ∴AB=AG+GB=38+1=39（米）， 答：单元楼AB的高为39米. 【解析】【分析】先根据余角的性质求出∠2=∠3，根据垂直的定义求出∠AGF=∠CDE=90°，根据线段间关系求出GF=CD，再利用ASA证明△AGF≌△EDC，得出AG=ED，最后根据线段的和差关系求高AB长，即可解答. 22．【答案】（1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴池塘的长为． 【解析】【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得，根据全等三角形判定得证； （2）结合（1）的结论，根据全等三角形对应边相等得，从而得的值，进而可求出的长. （1）解：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴池塘的长为 学科网（北京）股份有限公司 $$