专题1.2 直线的点斜式方程（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题1.2 直线的点斜式方程 教学目标 1. 掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，了解斜截式方程是点斜式方程的特殊情况． 2. 理解直线的点斜式方程、斜截式方程的形式特点和适用范围． 3. 能正确利用直线的点斜式、斜截式方程求直线的方程． 4.通过推导直线的点斜式方程和斜截式方程，发展直观想象和逻辑推理素养，在运用直线的点斜式方程和斜截式方程的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 直线的点斜式方程和斜截式方程的推导和应用． 2.难点 能根据实际情况选择正确的直线方程，理解“截距”与“距离”的区别． 知识点01 直线的点斜式方程 我们把方程______________称为过点P1(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)叫作直线的______________ 注意： （1）点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． （3）当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是______________；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是______________ （4）求直线点斜式方程的一般步骤： ①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 ②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 【即学即练】 1．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 知识点02 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的______________叫作直线l在y轴上的截距． 2．把方程______________叫作直线的斜截式方程． 注意： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练】 1．根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 题型01 直线的点斜式方程 【典例1】写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 求直线的点斜式方程的步骤及注意点： (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【变式1】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 【变式2】直线的点斜式方程可以表示（　　） A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 题型02 直线的斜截式方程 【典例1】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 求直线的斜截式方程的方法： (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【变式1】(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 题型03 根据直线的点斜式（斜截式）方程求直线的斜率与倾斜角 【典例1】（1）已知直线的方程是，则（　　） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 （2）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【变式1】直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 题型04 直线图像的辨析 【典例1】(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是（　　） 【变式1】已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，直线与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若直线的方程为，则此直线必不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型05 直线的点斜式（斜截式）方程的应用 【典例1】（1）若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是（　　） A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 （2）直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． （3）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式1】直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程． 【变式3】 【变式4】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 1．经过点且斜率为2的直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．过点，且倾斜角为的直线方程为（　　） A． B． C． D． 3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 4．在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 5．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（　　） A．   B．   C．   D．   6．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7.（多选）下列说法中不正确的是（　　） A.过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成 B.y轴所在直线方程为 C.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离． D.过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． 8.（多选）下列说法正确的是（　　） A.任何一条直线在y轴上都有截距； B.直线在y轴上的截距一定是正数； C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线; D．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 9．（多选）直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（　　） A． B． C． D． 10．一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为 ． 11．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 12．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 13．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 14．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时求直线l的方程. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 直线的点斜式方程 教学目标 1. 掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，了解斜截式方程是点斜式方程的特殊情况． 2. 理解直线的点斜式方程、斜截式方程的形式特点和适用范围． 3. 能正确利用直线的点斜式、斜截式方程求直线的方程． 4.通过推导直线的点斜式方程和斜截式方程，发展直观想象和逻辑推理素养，在运用直线的点斜式方程和斜截式方程的过程中，发展数学运算素养． 教学重难点 1.重点 直线的点斜式方程和斜截式方程的推导和应用． 2.难点 能根据实际情况选择正确的直线方程，理解“截距”与“距离”的区别． 知识点01 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P1(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)叫作直线的点斜式方程． 注意： （1）点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． （3）当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. （4）求直线点斜式方程的一般步骤： ①求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 ②点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 【即学即练】 1．写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【解析】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 知识点02 直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程． 注意： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (4)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 【即学即练】 1．根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为，在y轴上的截距是. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可. （2）求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可. 【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为. （2）因为直线的倾斜角，则该直线的斜率. 所以该直线的斜截式方程为. 题型01 直线的点斜式方程 【典例1】写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 【答案】(1)y－5＝x－2.；(2)y－4＝－(x－3)；(3)y＝－1；（4）直线没有点斜式方程 【分析】（1）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；（2）先利用直线斜率计算出倾斜角，再利用旋转求出l的倾斜角进而求出斜率，直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （3）由直线与x轴平行，斜率为0;（4）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【解析】(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 求直线的点斜式方程的步骤及注意点： (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 【变式1】求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 【答案】(1)x－y－2－3＝0；(2)x＝5；(3)x＋y－1＝0 【分析】（1）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；（2）先由直线与y轴平行，斜率不存可得出结果；（3）先通过斜率公式求出直线斜率，然后将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果 【解析】(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 【变式2】直线的点斜式方程可以表示（　　） A．任何一条直线         B．不过原点的直线 C．不与y轴垂直的直线         D．不与x轴垂直的直线 【答案】D 【分析】由点斜式方程的定义可得答案. 【解析】点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线． 故选：D. 题型02 直线的斜截式方程 【典例1】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 【答案】(1)y＝3x－3；(2)y＝x＋5；(3)y＝－5x－7 【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的倾斜角求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程写出方程即可，（3）先通过斜率公式求出直线斜率，然后将点的坐标和斜率代入点斜式方程再化为斜截式. 【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3. (2)∵倾斜角是60°， ∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程为y＝x＋5. (3)斜率为k＝＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7. 求直线的斜截式方程的方法： (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【变式1】(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)y＝－x－2；(2)y＝－x＋4；(3)直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1) 【分析】（1）利用直线的斜截式方程直接写出方程即可；（2）先求出点斜式方程再化为斜截式方程；（3）先将方程化为斜截式再求. 【解析】　(1)易知k＝－1，b＝－2， 故直线的斜截式方程为y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 题型03 根据直线的点斜式（斜截式）方程求直线的斜率与倾斜角 【典例1】（1）已知直线的方程是，则（　　） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【答案】D 【分析】根据直线的点斜式方程，即可得到答案. 【解析】直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． 故选：D （2）直线的倾斜角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即得. 【解析】直线的斜率，则该直线的倾斜角. 故选：A 【变式1】直线的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可. 【解析】直线的倾斜角为，因为直线的斜率为， ，所以. 故选：C. 【变式2】已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线倾斜角的大小. 【解析】由直线经过点，可得，解之得， 设直线倾斜角为，则， 又，则 则直线倾斜角的大小为 故答案为： 题型04 直线图像的辨析 【典例1】(多选)在同一直角坐标系中，下列选项能正确表示直线y＝ax与y＝x＋a的是（　　） 【答案】BC 【分析】由两直线的解析式可得两直线的斜率和纵截距，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【解析】①当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，B成立； ②当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，A，B，C，D都不成立； ③当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0，C成立． 故选：BC 【变式1】已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【解析】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，D错误. 故选：B. 【变式2】如图所示，直线与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜截式方程的系数的几何意义，逐一判断各选项即得. 【解析】对于A，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故A错误； 对于B，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误； 对于C，由的图象，可知，，即，， 此时由的图象，可知，，两者一致，故C正确； 对于D，由的图象，可知，，即，， 而由的图象，可知，，产生矛盾，故B错误. 故选：C. 【变式3】若直线的方程为，则此直线必不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由条件判断直线的斜率和纵截距的正负，结合图象分析即得. 【解析】由可得，， 即直线的斜率为负数，在轴上的截距为负数， 故直线经过第二、三、四象限，即不经过第一象限. 故选：A. 题型05 直线的点斜式（斜截式）方程的应用 【典例1】（1）若y＝a|x|与y＝x＋a(a>0)有两个公共点，则a的取值范围是（　　） A．a>1 B．0<a<1 C．a＝1 D．0<a<1或a>1 （2）直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________． （3）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】（1）A；（2）(－∞，－1]∪[1，＋∞)；（3）A 【分析】(1)注意对参数的分类讨论，在同一坐标系中作两条曲线，确定一条，判断另一条． (2)在求面积时，要将截距转化为距离．（3）由直线恒过定点，分别计算，结合图象即可得的范围. 【解析】（1）y＝x＋a(a>0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a>0)的直线，y＝a|x|表示关于y轴对称的两条射线．所以当0<a≤1时，只有一个公共点，如图①；当a>1时，有两个公共点，如图②； （2）令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 所以k≤－1或k≥1. 故答案为：(－∞，－1]∪[1，＋∞) （3）直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与线段相交， 所以由图可知. 故答案为：. 一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【变式1】直线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解析】由题知， 直线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为． 故选：C. 【变式2】已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成的三角形的面积为3，求直线l的方程． 【答案】y＝x－1或y＝x＋1 【分析】根据直线方程得出与坐标轴交点坐标，即可求出结果. 【解析】设直线l的斜截式方程为y＝x＋b， 则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b. 由已知可得|b|·|－6b|＝3， 即b2＝1， 所以b＝±1. 从而所求直线l的方程为y＝x－1或y＝x＋1. 【变式3】 【变式4】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【解析】直线，过定点， 则， 直线和以为端点的线段相交， 由图可知，或， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 1．经过点且斜率为2的直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程写出即可. 【解析】由点斜式可得直线的方程为， 化为. 故选：C. 2．过点，且倾斜角为的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】倾斜角为的直线斜率不存在，可解. 【解析】过点，且倾斜角为的直线垂直于轴， 其方程为. 故选：B． 3．经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【解析】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A. 4．在等腰三角形中，，、，点在轴的正半轴上，则直线的点斜式方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设线段的中点为，连接，可知轴，求出点的坐标，进而可求得直线的点斜式方程. 【解析】设线段的中点为，连接， ，则轴，则点，故点， 所以，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为． 故选：D 5．直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】化简直线方程分别为和，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解析】化简直线方程分别为和， 显然的斜率是的纵截距, 的纵截距是的斜率， 对于A中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 对于B中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然成立； 对于C中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 对于D中，由的图象，可得，即； 由的图象，可得，即，显然不成立； 故选：B. 6．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可. 【解析】设直线的斜率为， 则直线方程为， 令，得， 故直线在轴上的截距为， 令， 得或者， 故选： 7． （多选）下列说法中不正确的是（　　） A.过点、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成 B.y轴所在直线方程为 C.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离． D.过点的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来． 【答案】ACD 【分析】对于A，由点不满足即可判断；对于B，由y轴所在直线方程为即可判断；对于C根据直线在y轴上的截距的定义即可判断；对于D，由点斜式的限制条件即可判断. 【解析】A错误．点不满足，所以不能表示过点斜率为k的直线． B正确．y轴所在直线方程为． C错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标． D错误．过点且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来． 故选：ACD 8.（多选）下列说法正确的是（　　） A.任何一条直线在y轴上都有截距； B.直线在y轴上的截距一定是正数； C.直线方程的斜截式可以表示不垂直于x轴的任何直线; D．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示过点(1,0)且不垂直于x轴的一切直线 【答案】CD 【分析】选项D根据直线的斜率为分析 【解析】因为当直线垂直于x轴时，直线在y轴上的截距不存在，所以A错误； 直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标， 截距是一个数值，可正、可负、可为0，所以B错误； 不垂直于x轴的任何直线都有斜率， 所以都能用直线方程的斜截式表示，所以C正确． 直线的点斜式方程y＝k(x－1)表示经过点(1,0)且斜率为k的直线, 显然不垂直于x轴,所以D正确 故选：CD. 9．（多选）直线l1：ax﹣y+b＝0，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意利用直线的斜率和直线在y轴上的截距，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【解析】解：直线l1：ax﹣y+b＝0的斜率为a，在y轴上的截距为b，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，在y轴上的截距为a， A中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a小于零，矛盾，故排除A； B中，直线l1的斜率a大于零，而直线l2在y轴上的截距a大于零， 直线l1在y轴上的截距b大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零，满足题意； C中，直线l1在y轴上的截距为b，大于零，l2：bx+y﹣a＝0（ab≠0）的斜率为﹣b，小于零， 直线l1的斜率a小于零，直线l2在y轴上的截距a小于零，故C满足题意； D中，直线l1的斜率为a大于零，直线l2在y轴上的截距为a 小于零，矛盾，故排除D， 故选：BC. 10．一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【解析】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为 故答案为： 11．过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是 ． 【答案】或 【分析】由题意设直线l为，从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得到关于的二次方程，解之即可. 【解析】由题意所求直线l的斜率必存在，且不为，设其斜率为，则直线l方程为， 令，得，令，得， 故所围三角形面积为，即， 当时，上式可化为，解得或； 当时，上式可化为，方程无解； 综上：直线的斜截式方程是或. 故答案为：或 12．已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是 ． 【答案】 【分析】由直线过定点结合图象即可得的范围，进而求直线的倾斜角范围. 【解析】如下图，由题意， 由直线 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 13．求分别满足下列条件的直线方程，如果能用点斜式表示的，请用点斜式表示. (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (3)经过点，且平行于y轴． 【答案】(1)；(2)；(3)不能用点斜式， 【分析】（1）根据直线的点斜式可求得直线方程； （2）由已知求得所求直线的倾斜角和斜率，根据直线的点斜式可求得直线方程； （3）由于与y轴平行的直线，其斜率k不存在，由直线上的点的横坐标可求得直线方程； 【解析】（1）因为直线过点，斜率， 由直线的点斜式方程得直线方程为． （2）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为， 可知所求直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为． （3）因为直线平行于y轴，则直线的斜率不存在， 所以不能用点斜式方程，直线方程为. 14．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，当取最大值时求直线l的方程. 【答案】 【分析】由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，分别求出A，B点坐标，进而得到PA,PB的表达式，故，通过换元法将原式转化为二次式，进而求得,取得最值时k的值 【解析】由题意可知直线l的斜率k＜0，由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋1.令x＝0，代入方程得y＝－2k＋1，令y＝0，代入方程得x＝， ∴直线l与x轴，y轴的交点坐标分别是点A(，0  )，点B(0，－2k＋1)． ∴PA＝＝，PB＝， . 令t＝，有 (4－t)k2－4k＋1－t＝0， 故Δ＝16－4(4－t)(1－t)≥0. 解得 0≤t≤5，故t＝5时，取最大值． 此时，解得k＝－2，直线l的方程为y＝－2x－2k＋1， 即2x＋y－5＝0. 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$