专题02 长方体和正方体的表面积-2025年新六年级数学暑假自学课（苏教版）

编者的话 随着暑假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家暑假愉快，学业进步！ 2025年新六年级数学暑假自学课 专题02 长方体和正方体的表面积 1、理解并掌握长方体、正方体表面积的含义和计算方法。 2、能运用长方体和正方体表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。 1、长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。 如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表 面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 4、利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 一、选择题 1．把三个棱长都是6分米的正方体摆成一个长方体，表面积减少了（    ）平方分米。 A．144 B．72 C．36 2．正方体的棱长之和是24分米，它的表面积是（    ）平方分米。 A．20 B．40 C．24 D．30 3．这是围成长方体的两个面（单位厘米），这个长方体上面的面积是（    ）。 A．4平方厘米 B．10平方厘米 C．20平方厘米 D．8平方厘米 4．一个长方体的底面是正方形，面积为4平方米，这个长方体的侧面展开图正好也是一个正方形，则这个长方体的侧面积是（    ）平方米。 A．16 B．64 C．48 D．56 5．如图，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相同 D．无法确定 二、填空题 6．把一个表面积是72平方分米的正方体木块放在桌面上，木块在桌面上所占的面积是( )平方分米。 7．由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 8．12盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体。已知磁带盒的长为11厘米，宽为7厘米，高为2厘米。按“规则方式”打包得到的长方体的表面积的最小值是( )平方厘米。 9．12个棱长的正方体，如图继续拼下去，拼成的新长方体，表面积减少了( )。 10．用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 三、计算题 11．计算长方体和正方体的表面积和体积。     12．如图，计算如图图形的表面积和体积。 四、解答题 13．小冬有一根长方体木料，沿着长截去3分米后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是多少？ 14．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 15．李叔叔想用18平方米的铁皮焊接做成一个无盖的长方体水箱，长2.5米、宽2米、高1米，够吗？（焊接处材料损耗忽略不计） 16．一个长方体游泳池长40米，宽20米，深1.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在这个游泳池的底面和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 17．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编者的话 随着暑假的到来，我们为大家精心准备了这份预习衔接的学习资料。希望通过这份资料，你们能够为新学期做好充分的准备。 在本套资料之前，还有一套查缺补漏、专项提升部分，我们着重强化了对上学期内容的巩固与提升。相信通过上一阶段的复习与练习，你们不仅对之前学过的知识点有了更深入的认识和领会，而且已经能够熟练地将所学知识应用于实际问题中，真正做到了学以致用。 接下来，新课衔接部分将带领大家进入新的学期。在这里，我们精选了1-2个单元的重点内容，供你们提前预习。通过这一阶段的预习，你们将能够初步感受新知识的魅力与趣味，体验到自己在学习能力上的进一步提升和跨越所带来的成就感。 新学期即将开始，我们期待你们能够继续保持积极进取的学习态度，不断突破自我，勇于探索和创新。相信在新的学期里，你们会展现出更加出色的学习状态，取得更加优异的成绩，实现自己的梦想！ 最后，祝愿大家暑假愉快，学业进步！ 2025年新六年级数学暑假自学课 专题02 长方体和正方体的表面积 1、理解并掌握长方体、正方体表面积的含义和计算方法。 2、能运用长方体和正方体表面积的计算方法解决一些简单的实际问题。 1、长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。 2、长方体的表面积=长×宽×2十长×高×2十宽×高×2=（长×宽十长×高十宽×高）×2。 如果用S来表示长方体的表面积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的表 面积的计算公式为S=（ab十ah十bh）×2。 有2个面是正方形的长方体，如果正方形的边长用a表示，那么长方体的长宽高可以用a，a，h表示，这个长方体的表面积可以表示为2a2+4ah。 3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。 如果用S表示正方体的表面积，用&表示棱长，那么正方体的表面积的计算公式为S=6a²。 4、利用长方体、正方体表面积的计算方法解决实际问题 利用长方体和正方体表面积的计算方法解决生活中的实际问题时，关键是根据实际情况确定好是求几个面的面积。 一、选择题 1．把三个棱长都是6分米的正方体摆成一个长方体，表面积减少了（    ）平方分米。 A．144 B．72 C．36 【答案】A 【分析】根据题意，把三个棱长都是6分米的正方体摆成一个长方体，长方体的表面积比三个小正方体的表面积之和减少4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可。 【解答】6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 表面积减少了144平方分米。 故答案为：A 2．正方体的棱长之和是24分米，它的表面积是（    ）平方分米。 A．20 B．40 C．24 D．30 【答案】C 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用24÷12求出棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 【解答】24÷12＝2（分米） 2×2×6＝24（平方分米） 这个正方体的表面积是24平方分米。 故答案为：C。 3．这是围成长方体的两个面（单位厘米），这个长方体上面的面积是（    ）。 A．4平方厘米 B．10平方厘米 C．20平方厘米 D．8平方厘米 【答案】C 【分析】观察可知，这个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米，已知两个相邻的面的边长分别是由长和高、宽和高组成，则另一个相邻的面的边长应是长和宽组成，根据长方形的面积＝长×宽，据此解答。 【解答】（平方厘米） 这个长方体上面的面积是20平方厘米。 故答案为：C 4．一个长方体的底面是正方形，面积为4平方米，这个长方体的侧面展开图正好也是一个正方形，则这个长方体的侧面积是（    ）平方米。 A．16 B．64 C．48 D．56 【答案】B 【分析】根据题意，结合正方形的面积公式：边长×边长，即可得出正方形的边长为2米，因为底面正方形的周长正好是侧面展开图正方形的边长，所以侧面展开图正方形的边长是底面正方形边长的4倍，即为（4×2）米，结合长方形的侧面积公式，可以得出侧面积为平方米。 【解答】2×2＝4（平方米） 正方形的边长为2米。 侧面展开图正方形的边长：4×2＝8（米） 侧面积：＝8×8＝64（平方米） 这个长方体的侧面积是64平方米。 故答案为：B 5．如图，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积（    ）。 A．比原来大 B．比原来小 C．和原来相同 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意可知，将这个长方体挖掉一个小长方体，表面积减少了小长方体的上面与前面的2个小长方形的面积，但又增加了小长方体的后面、下面、左面和右面4个小长方形的面积，根据长方体的相对的面面积相等，所以挖掉一个小长方体后的长方体比原来的长方体的表面积增加了2个小长方形的面积；据此解答。 【解答】据分析可知，张师傅在一个长方体中挖掉一个小长方体，则现在的表面积比原来大。 故答案为：A 二、填空题 6．把一个表面积是72平方分米的正方体木块放在桌面上，木块在桌面上所占的面积是( )平方分米。 【答案】12 【分析】正方体有6个完全相同的正方形面，其表面积等于6个面的面积总和，公式为S＝6a2， 已知正方体木块表面积，要求木块在桌面上所占面积，也就是求正方体其中一个面的面积，只需用正方体的表面积除以6即可。 【解答】72÷6＝12（平方分米） 所以木块在桌面上所占的面积是12平方分米。 7．由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】296 【分析】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 8．12盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面积对接，最后得到的包装形状是一个长方体。已知磁带盒的长为11厘米，宽为7厘米，高为2厘米。按“规则方式”打包得到的长方体的表面积的最小值是( )平方厘米。 【答案】908 【分析】要想使打包得到的长方体表面积最小，就应使对接的全等的面的面积尽可能地大，因此首先两盒之间应以11×7的面对接，先组装成两个相同的长方体，其体积皆为11×7×（2×6）＝11×7×12。由于12×7＞11×7，因此这个组成的长方体对接面是12×7的两个面，如图 ，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【解答】7＋7＝14（厘米） （14×11＋14×12＋11×12）×2 ＝（154＋168＋132）×2 ＝454×2 ＝908（平方厘米） 按“规则方式”打包得到的长方体的表面积的最小值是908平方厘米。 9．12个棱长的正方体，如图继续拼下去，拼成的新长方体，表面积减少了( )。 【答案】22 【分析】根据正方体的表面积棱长棱长6，长方体的表面积（长宽长高宽高），把数据代入公式求出12个正方体的表面积和与长方体的表面积差即可。 【解答】按照图示拼成的长方体的长是12cm，宽和高都是1cm。 （cm2） 则表面积减少了22cm2。 10．用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高( )cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长( )cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是( )cm2。 【答案】7 6 216 【分析】铁丝的长度就是长方体的总棱长，根据长方体的特征，长方体4条长相等，4条宽相等，4条高相等，用铁丝的长度除以4再减去一条长和一条宽，即得到一条高的长度； 根据正方体的总棱长＝棱长×12，据此可得出正方体的棱长等于铁丝长度除以12，再根据正方体的表面积公式，算出给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸的面积。 【解答】 （cm） （cm） （cm2） 用一根长72cm的铁丝既可以制作成一个长8cm，宽3cm，高7cm的长方体框架，也可以制作成一个棱长6cm的正方体框架，如果给这个正方体框架的侧面都贴上商标纸，这张商标纸的面积至少是216cm2。 三、计算题 11．计算长方体和正方体的表面积和体积。     【答案】正方体表面积：34.56dm2；体积：13.824dm3 长方体表面积：29.4cm2；体积9.8cm3 【分析】根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体表面积和体积； 根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体的表面积和体积，据此解答。 【解答】正方体表面积： 2.4×2.4×6 ＝5.76×6 ＝34.56（dm2） 正方体体积： 2.4×2.4×2.4 ＝5.76×2.4 ＝13.824（dm3） 长方体表面积： （3.5×1.4＋3.5×2＋1.4×2）×2 ＝（4.9＋7＋2.8）×2 ＝（11.9＋2.8）×2 ＝14.7×2 ＝29.4（cm2） 3.5×1.4×2 ＝4.9×2 ＝9.8（cm3） 正方体表面积是34.56dm2，体积是13.824dm3，长方体表面积是29.4cm2，长方体体积是9.8cm3。 12．如图，计算如图图形的表面积和体积。 【答案】； ； 【分析】左图中正方体的上面的面可以平移到长方体被挡住的面，则此图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的侧面积；体积＝长方体体积＋正方体体积； 右图中可以将凹进去的小正方体的三个面正好可以通过平移转化为是大正方体，则此图表面积＝正方体的表面积；体积＝正方体的体积－缺口处体积。 其中，； ，。代入数据计算即可。 【解答】左图 表面积： 体积： 则左图的表面积是，体积是。 右图 表面积： 体积： 则右图的表面积是，体积是。 四、解答题 13．小冬有一根长方体木料，沿着长截去3分米后（如图），剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是多少？ 【答案】125立方分米 【分析】根据题意可知，长方体木料的宽和高相等，减少面积是4个长为3分米，宽为长方体的宽的长方形的面积，据此就可以求出原来长方体的宽，就是剩下的正方体的棱长，根据正方体的体积棱长棱长棱长，代入数据计算即可解答。 【解答】 （分米） （立方分米） 答：剩下的正方体木料的体积是125立方分米。 14．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 15．李叔叔想用18平方米的铁皮焊接做成一个无盖的长方体水箱，长2.5米、宽2米、高1米，够吗？（焊接处材料损耗忽略不计） 【答案】够。 【分析】李叔叔要做一个无盖的长方体水箱，需要做五个面，即前面、后面、左面、右面和下面，算出这五个面的面积之和，然后与18平方米比较，即可得知铁皮够不够。 【解答】2.5×1×2＋2×1×2＋2.5×2 ＝5＋4＋5 ＝14（平方米） 14平方米＜18平方米 答：够。 16．一个长方体游泳池长40米，宽20米，深1.5米。 （1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在这个游泳池的底面和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【答案】（1）800平方米； （2）980平方米 【分析】（1）游泳池的占地面积就是长方体的底面积，长方体底面积＝长×宽； （2）求抹水泥部分的面积就是求长方体的表面积，在底部和四壁抹上水泥，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体的表面积，最后减去一个底面的面积就是抹水泥部分的面积，据此解答。 【解答】（1）40×20＝800（平方米） 答：这个游泳池的占地面积是800平方米。 （2）（40×20＋40×1.5＋20×1.5）×2－800 ＝（800＋60＋30）×2－800 ＝890×2－800 ＝1780－800 ＝980（平方米） 答：抹水泥部分的面积是980平方米。 17．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 【答案】104平方分米 【分析】沿水平方向将它锯成4片，则表面积之和比正方体的表面积增加（4－1）×2＝6个正方形面积；每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，则表面积之和又增加（3－1）×2＝4个正方形面积；每条再竖直锯成6块，则表面积之和又增加（6－1）×2＝10个正方形面积。据此先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求出原来正方体的表面积，再加上增加的（6＋4＋10）个正方形的面积即是这些长方体木块的表面积之和。 【解答】2×2×6＝24（平方分米） （4－1）×2＋（3－1）×2＋（6－1）×2 ＝6＋4＋10 ＝20（个） 2×2×20＋24 ＝80＋24 ＝104（平方分米） 答：这些长方体木块的表面积之和是104平方分米。 【点评】本题主要考查正方体和长方体表面积的应用。理解每次切分图形时表面积比原来增加了几个正方形面是解题的关键。 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