专题16 解一元一次方程（2知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题16 解一元一次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元一次方程的解法 1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. 2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. 4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点02 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【题型1 解一元一次方程--合并同类型与移项】 例题：（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）解方程： (1)． (2)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 3．（23-24七年级上·四川南充·期中）解方程 (1)； (2)． 4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程 (1) (2) 【题型2 解一元一次方程--去括号】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程： (1)； (2)． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型3 解一元一次方程--去分母（整数）】 例题：（24-25七年级上·河北沧州·期末）解方程： (1) (2) 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）解方程． (1) (2) 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）解下列方程 (1) (2) 3．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）解方程： (1) (2) 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【题型4 解一元一次方程--去分母（小数）】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）解方程：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 2．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）解方程： (1) (2) 3．（24-25七年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型5 一元一次方程的错解复原问题】 例题：（24-25七年级上·吉林松原·期中）以下一名同学解方程的解答过程． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项，合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 该同学的解答在第______步出现错误，请写出正确的解答过程． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林·期末）下面是小彬同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小彬解方程时；从第_______步开始出现错误； (2)以上步中，第_______步是移项，移项的依据是_______ (3)请直接写出解该方程的正确结果：_______； 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下面是“小迷糊”同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查时发现每一步都有错误，请你帮助他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，，第一步 去括号，，第二步 移项，，第三步 (1)其中第三步错误的原因是______． (2)请你写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议． 3．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：___________，得第一步 去括号，得--------第二步 移项，得--------第三步 合并同类，得--------第四步 系数化为1，得．--------第五步 (1)珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填___________． (2)珍珍的解答过程在第___________步开始出现错误，出现错误的原因是违背了___________（填字母）； A．等式的性质1    B．等式的性质2 (3)请正确解答该方程． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【题型6 利用一元一次方程同解问题求解】 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【题型7 一元一次方程整数解问题】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）已知是关于的方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 4．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程时，把分母化成整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期中）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 8．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ． 9．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）已知a，b，c，d为有理数，现规定一种运算那么当时，则x的值是 ． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 11．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 12．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) (4) 14．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 18．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 20．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 解一元一次方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 一元一次方程的解法 1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. 2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. 4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 知识点02 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【题型1 解一元一次方程--合并同类型与移项】 例题：（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法为解题关键． （1）根据移项，合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1的过程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法为解题关键． （1）根据合并同类项，系数化为1的过程求解即可； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：原式移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得； （2）解：原式移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得． 3．（23-24七年级上·四川南充·期中）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得解； （2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可得解． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： （2）解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型2 解一元一次方程--去括号】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次方程的求解，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，即去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 ． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤求解； （2）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 的步骤求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解是解决问题的关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）去括号（先去小括号、再去中括号）、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去括号得，则 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可． （2）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得， 合并同类项，得． 将未知数的系数化为1，得． （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将未知数的系数化为1，得． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程的方法，去小括号，移项，合并同类项，系数化为“”，进行解答，即可． （1）先去小括号，移项，合并同类项，系数化为“”，即可； （2）先计算小括号，然后中括号，移项，合并同类项，系数化为“”，即可． 【详解】（1）解：， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为“”，得． （2）解： ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为“”，得． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握“去括号，移项、合并同类项，最后系数化为1”的解题步骤． （1）按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求解即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求解即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求解即可； 【详解】（1）解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得； （2）解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得； （3）解：原式去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得． 【题型3 解一元一次方程--去分母（整数）】 例题：（24-25七年级上·河北沧州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·假期作业）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解方程，灵活运用等式的性质是解答本题的关键． （1）根据等式的性质，方程两边都乘12，再根据乘法分配律去括号、合并同类项后化简 为，再根据等式的性质，方程两边都加30即可得到原方程的解； （2）根据等式的性质，方程两边都乘15，再根据乘法分配律去括号、合并同类项后化简为，再根据等式的性质，方程变为，即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 3．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）要先去分母，再去括号，最后移项、合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解； （2）要先去分母，再去括号，最后移项、合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解； 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； 4．（2025七年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 解一元一次方程--去分母（小数）】 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．先把方程进行整理，然后去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案． 【详解】 整理得： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化1得： 【变式训练】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程． 【详解】（1）解： ； （2）解： 两边同乘以21，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 2．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可； （2）方程将小数化成整数，再去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． （2）解：， 变形为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． 3．（24-25七年级上·山东聊城·期末）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）方程去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （3）方程小数化为整数，整理，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （3）解：， 方程变形得：， 整理后，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 4．（24-25七年级上·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键． （1）方程去括号，移项合并同类项，把系数化为1，即可求出解； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并同类项，把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：即方程变为：， 化简：，即， ， ， ， 解得：； 【题型5 一元一次方程的错解复原问题】 例题：（24-25七年级上·吉林松原·期中）以下一名同学解方程的解答过程． 解：去分母，得① 去括号，得② 移项，合并同类项，得③ 系数化为1，得④ 该同学的解答在第______步出现错误，请写出正确的解答过程． 【答案】②，见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：该同学的解答在第②步出现错误， 正确解答如下： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林·期末）下面是小彬同学解方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解：第①步 第②步 第③步 第④步 (1)小彬解方程时；从第_______步开始出现错误； (2)以上步中，第_______步是移项，移项的依据是_______ (3)请直接写出解该方程的正确结果：_______； 【答案】(1)① (2)②，等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等 (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据去括号的特征及乘法分配律解题； （2）根据移项的特征结合等式的性质：等式的两边加（或减）同一个数，等式仍成立解题即可； （3）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后化系数为1即可得到该方程的解． 【详解】（1）解：小彬的计算从第①步就错了，错误的原因是：应用乘法分配律时漏乘了， 故答案为：①； （2）解：根据题意得，步骤②是移项，移项的依据是：等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等； 故答案为：②，等式的两边加（或减）同一个数，结果仍相等； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项提， 解得． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）下面是“小迷糊”同学解方程时的部分解题过程，同桌在给他检查时发现每一步都有错误，请你帮助他改正并写出完整的解答过程． 解：去分母，，第一步 去括号，，第二步 移项，，第三步 (1)其中第三步错误的原因是______． (2)请你写出正确的解答过程． (3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项提一条建议． 【答案】(1)移项时没有变号 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法，解题关键是掌握解方程各步骤的正确操作，如去分母，去括号，移项等规则． 分析原解题过程错误，再按正确步骤解方程，最后提解一元一次方程的注意事项． （1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号等建议． 【详解】（1）第三步错误的原因是移项时没有变号； （2） 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为1，； （3）去分母时，要防止漏乘；括号前面是减号，去掉括号时里面各项都要变号；移项要变号（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）下面是珍珍解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：___________，得第一步 去括号，得--------第二步 移项，得--------第三步 合并同类，得--------第四步 系数化为1，得．--------第五步 (1)珍珍求解过程中，第一步中的横线上应填___________． (2)珍珍的解答过程在第___________步开始出现错误，出现错误的原因是违背了___________（填字母）； A．等式的性质1    B．等式的性质2 (3)请正确解答该方程． 【答案】(1)去分母 (2)一，B (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解题的一般步骤及注意事项是解题的关键1． （1）观察解题过程，可得答案； （2）去分母时，没有同时乘以6，违背了等式的性质2； （3）把去分母的部分调整正确后，去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：第一步是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：依题意，第一步出错了，去分母时，没有同时乘以6，出现错误的原因是违背了等式的性质2； 故答案为：一，B； （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法： 解：原方程即．                                       【A】 去分母，得．                           【B】 去括号，得．                                【C】 移项，得．                                    【D】 合并同类项，得．                                                   【E】 系数化为1，得．                                                        【F】 (1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________； (2)请你帮助正确写出求解过程． 【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母 (2)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键． （1）根据去分母法则分析即可； （2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母， 故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母； （2）解：原方程即， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【题型6 利用一元一次方程同解问题求解】 例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 【变式训练】 1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】8 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ． 【答案】/ 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 【题型7 一元一次方程整数解问题】 例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）已知是关于的方程的解，则的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．-1 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，先理解题意，把代入，再解得的值，即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴把代入， 得， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 2．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， 解得． 故选：A 3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列变形正确的是（    ） A．由，移项得 B．由，去括号得 C．由，去分母得 D．由，系数化为1得 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键． 根据各方程变形得到结果后，依次判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，不符合题意； B、由，去括号得，符合题意； C、由，去分母得，不符合题意； D、由，系数化为得，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程时，把分母化成整数，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题的关键是熟练掌握利用分数的性质把分母化为整数．根据题意直接根据分数的基本性质，即可得出答案． 【详解】解： ， 把分母化成整数，得：， 即． 故选：B 5．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得：， 故选：B． 6．（24-25六年级下·山东烟台·期中）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：， 即， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ． 【答案】4 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可． 本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：解方程， 解得， ∵的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴， 故答案为：4． 8．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键． 先求出方程的解为，易得的解为，然后代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解比关于的方程的解大5， ∴方程的解为． 将代入方程得到， ∴，解得． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）已知a，b，c，d为有理数，现规定一种运算那么当时，则x的值是 ． 【答案】/ 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查新定义运算下解一元一次方程．根据新定义运算法则化简后求解一元一次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，设，则方程的可变为，即，进而根据关于的一元一次方程的解为，可得，即得，据此解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：设，则方程的可变为， 即， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ． 【答案】26或11或6 【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查的是代数式求值和一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．根据题意分别列出方程，求解后若x为正整数，则满足要求，至解得方程的解不为正整数则停止． 【详解】解：当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∵x为正整数， ∴满足条件的x的值为26或11或6． 故答案为：26或11或6． 三、解答题 13．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）先移项，在合并同类项，然后系数化为1，即可求解； （2）本题先去分母，在去括号，然后移项，在合并同类项，最后系数化为1，即可求解； （3）本题先去括号，然后移项，在合并同类项，最后系数化为1，即可求解； （4）本题先去分母，在去括号，然后移项，在合并同类项，最后系数化为1，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ； 14．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤成为解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）先化简，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （4）先将方程中的分数化成整数，然后再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ， ， ， ， ． 16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的解法，正确掌握一元一次方程的解法与步骤是解题关键． （1）移项、合并同类项，系数化1即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可； （3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可； （4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （4）解：， 乘2得：， 乘3得：， 移项、合并同类项得：， 乘4得：， ， ． 17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为．（①__________________） 去分母，得②______．（③__________________） 去括号，得．（④__________________）． （⑤______），得．（⑥__________________） （⑦__________________）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________） 【答案】见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是利用分数的基本性质将方程的系数化为整数． 先将原方程化为整系数方程，再利用一元一次方程的一般解法求解． 【详解】解：原方程可变形为（①分数的性质） 去分母，得②6（③等式的基本性质2） 去括号，得（④乘法分配律与去括号法则） （⑤移项），得（⑥等式的性质1） （⑦合并同类项）得．（合并同类项法则） 将未知数的系数化为1，得⑧（⑨等式的基本性质2）． 18．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值． (2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断是否是一元一次方程、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程，一元一次方程方程的解， （1）根据一元一次方程的定义计算即可； （2）解方程并将其解代入一元一次方程的具体形式，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：关于x的方程是一元一次方程， 解方程， 解得， 将代入， 得， 解得． 19．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题： (1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义． （1）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于的方程，解方程求出即可； （2）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于，的等式，求出，再代入所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ； （2）解：， 解得：， 关于的一元一次方程是“平均值方程”， ， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________． (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”， ∴， 故答案为：-5． （2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”， 即与互为“反对方程”， （3）的“反对方程”为， 由得，， 由，得， 由条件可知与都为整数，也为整数， 当时，，都为整数， 当时，，都为整数， 的值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$