专题14 整式中数字类和图形类规律探究问题（3知识点+6大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题14 整式中数字类和图形类规律探究问题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 1.数字规律：若是一列整数，可考虑相邻两数的和、差、积、商等规律，也可能是奇、偶、平方等方面的规律；若是等式，可将每个等式对应写好，比较每一行、每一列数字间的关系找规律；若是分数，则分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系。 2.图形规律：观察数量变化，探究由特殊到一般的关系，用代数式抽象出来；观察图形的拼接，发现规律并类推得到图形的规律性。 3.探索方法：从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，尤其关注变化时与序数的关系，归纳出一般性结论。 【题型1 数字类规律探索之排列问题】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ． 2．（24-25七年级下·黑龙江绥化·开学考试）有一列数：，，，，，则第个数表示为 ． 3．（2025·西藏日喀则·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ． 【题型3 数字类规律探索之新运算问题】 例题：（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知．设为正整数，请用关于的等式表示这个规律 ． 2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于 ． 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则第26个“智慧数”是 ；2025是第 个“智慧数”． 4．（2025·山东枣庄·一模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ． 【题型4 数字类规律探索之等式问题】 例题：（24-25八年级上·吉林·期中）观察下列算式： ① ② ③ …… 把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知根据以上规律，可得，猜想： ．经检验，猜想 （填“正确”或“错误”）． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）观察下列式子： …探索以上式子的规律，请写出第n个等式： ． 3．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【题型5 图形类规律探索之数字问题】 例题：（24-25六年级上·山东泰安·期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 2．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 4．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）综合与实践 如图所示，某同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形． 【观察思考】 （1）第1个图中的彩色正方形有：； 第2个图中的彩色正方形有：： 第3个图中的彩色正方形有：； 第4个图中的彩色正方形有：；…， 请写出第个图中的彩色正方形有：________个；（请用含有的代数式表示） 【运用规律】 （2）根据图形的搭建规律可知，第个图中的白色正方形有________个；（请用含有的代数式表示） （3）若第个图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求的值． 5．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． ① ② ③ 阴影面积 面积 【题型6 图形类规律探索之数量问题】 例题：（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 3．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 一、单选题 1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（    ）个细胞 A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ． 7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    8．（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 9．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 10．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 三、解答题 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 12．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 13．（22-23七年级上·四川南充·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，，； ②1，，4，，16，； ③0，，3，，15，； 取每一行的第个数，依次记为． (1)当时，请依次写出的值； (2)当时，计算的值． 14．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人 (2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示） 方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）． (3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？ 16．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 11 / 11 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3．（2025·西藏日喀则·一模）按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分母是连续的奇数．据此求解即可． 【详解】解：∵、、、、、 ∴按此规律排列的第个数是， 故答案为：． 【题型2 数字类规律探索之末尾数字问题】 例题：（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，再根据即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，，…， 以此类推可得，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，个位数字以为周期按照的顺序进行循环， ， 故猜测的个位数字是． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了多项式的乘法运算以及数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知的式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的末位数字，即可得解． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， ，，，，，， 的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环， ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ． 【答案】5 【知识点】数字类规律探索、乘方的应用 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先利用二进制与十进制之间的转换公式、有理数乘方法则可得，再归纳类推出的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数），然后求出的个位数字，由此即可得． 【详解】解：由题意得： ， ∵，，，，，， ∴的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数）， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即为6， ∴的个位数字为， 即把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是5， 故答案为：5． 【题型3 数字类规律探索之新运算问题】 例题：（24-25七年级上·河北邢台·期中）已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【答案】 /0.75 【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【分析】根据题意求得代数式的值，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解．本题考查了代数式求值，有理数的混合与运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：，． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知．设为正整数，请用关于的等式表示这个规律 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题干已有式子结构，得的等式表示这个规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴关于的等式表示这个规律为， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于 ． 【答案】4 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按重复出现是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， 由此可知，这列数按重复出现， ， ， 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如，，，，，，，，）从上面的例子中可以看到所有大于3的奇数都是智慧数，则第26个“智慧数”是 ；2025是第 个“智慧数”． 【答案】 37 1517 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了探索规律，找出规律是解题的关键． 把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组一个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，根据规律解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴第26个“智慧数”是37； ∵， ∴（个）， ∴2025是第1517个“智慧数”． 故答案为：37；1517． 4．（2025·山东枣庄·一模）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】1 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是， 第6次“F”运算的结果是， 第7次“F”运算的结果是， … 以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“F”运算的结果是1， 故答案为：1． 【题型4 数字类规律探索之等式问题】 例题：（24-25八年级上·吉林·期中）观察下列算式： ① ② ③ …… 把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律研所，根据已知算式发现规律是解题关键．观察所给算式可知，对于三个连续自然数，最大和最小的自然数的积与中间一个自然数平方的差等于，即可用含n的式子表示出来即可． 【详解】解：观察已知算式把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知根据以上规律，可得，猜想： ．经检验，猜想 （填“正确”或“错误”）． 【答案】 80 正确 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现为大于1的整数）是解题的关键．根据所给等式，发现其各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， ， ， ， 所以为大于1的整数）． 当时， ． 因为； ， 经检验，猜想正确． 故答案为：80，正确． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）观察下列式子： …探索以上式子的规律，请写出第n个等式： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可知两个连续的奇数的乘积加上1等于较小的奇数加上1之后的平方，据此规律可得答案． 【详解】解：第一个式子为， 第二次式子为， 第三个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 【题型5 图形类规律探索之数字问题】 例题：（24-25六年级上·山东泰安·期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，且上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，据此求出，则，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， 以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和， 观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第幅图，右上角的数为，左下角的数为，左上角的数为， 当时，解得， 把，代入得： ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 【答案】819 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，理解表格中数轴的变换规律是解题的关键． 根据题意，上方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是的整数，下方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是，由此列式求解． 【详解】解：表格从左往右，从上往下， 上方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是的整数， 下方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：819 ． 2．（2025·安徽合肥·一模）【问题呈现】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）225；（2）；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键， （1）按题意计算画图即可得解； （2）由图找到数的规律进行计算即可得解； （3）由图找到数的规律进行计算即可得解； 【详解】（1）解：画图如下，    ， 故答案为：； （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， …； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ， ∴， 故答案为：； （3）解：由图知，， ， ， ， ， ∴第个等式， 故答案为：． 4．（24-25九年级下·海南海口·阶段练习）综合与实践 如图所示，某同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形． 【观察思考】 （1）第1个图中的彩色正方形有：； 第2个图中的彩色正方形有：： 第3个图中的彩色正方形有：； 第4个图中的彩色正方形有：；…， 请写出第个图中的彩色正方形有：________个；（请用含有的代数式表示） 【运用规律】 （2）根据图形的搭建规律可知，第个图中的白色正方形有________个；（请用含有的代数式表示） （3）若第个图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）第个图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，的值为． 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，解题的关键是根据规律得出代数式． （1）求出前面几个图形中彩色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）求出前面几个图形中白色正方形比彩色正方形的多的个数，进而得到规律求解即可； （3）求出前面几个图形中等边三角形的个数，进而得到规律求解即可． 【详解】解：（1）第1个图中的彩色正方形有：； 第2个图中的彩色正方形有：； 第3个图中的彩色正方形有：； 第4个图中的彩色正方形有：； …， 以此类推可知，图的彩色正方形有； 故答案为：； （2）图1中，白色正方形比彩色正方形多个； 图中，白色正方形比彩色正方形多个； 图 中，白色正方形比彩色正方形多个； ……， 以此类推可知，图的白色正方形比彩色正方形多个， 图的白色正方形有个， 故答案为：； （3）图1中，等边三角形的个数为个； 图中，等边三角形的个数为个； 图中，等边三角形的个数为个； 图中，等边三角形的个数为个； ……， 以此类推可知，图中等边三角形的个数为个， 图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多个， ， 解得，或（舍去）， ． 第个图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，的值为． 5．（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 【题型6 图形类规律探索之数量问题】 例题：（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2) (3)1601 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 【答案】(1) (2) (3)分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 (4)（答案不唯一） 【知识点】图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律是解题的关键． （1）由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； （4）按照（2）的规律写出一个新的化合物即可． 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， （2）由(1)可知:第n个结构式的分子式是， 故答案为: ； （3）令，， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物． （4）（答案不唯一）． 2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． （1）根据所给图形可得a，b的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）把n的值代入（2）的规律式中可求值． 【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得， 由图①②③④可得图⑤为：， 故； 故答案为：17；21． （2）解：由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为， 故答案为：； （3）解：将代入中得：． 即第2024个图形需要的火柴棒根数为8097根． 3．（2025·安徽宣城·一模）如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 【答案】(1)35 (2)或个 (3)个 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解． 【详解】（1）解：观察图形： 第1个图案中“●”的个数是个， 第2个图案中“●”的个数是个， 第3个图案中“●”的个数是个， 第4个图案中“●”的个数是个， ∴第5个图案中“●”的个数是个， 故答案为：35； （2）解：， ， ， ， …… 由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或； （3）解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2， 第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3， 第3个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…， ∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为． 一、单选题 1．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，分别从系数、字母的指数两方面找出规律求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ， …， ∴第n个单项式为：． 故选：C． 2．（2025·云南文山·模拟预测）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过1小时便由1个分裂成2个．根据此规律可得，那么经过（为正整数）小时后可分裂成（    ）个细胞 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用及规律问题，理解题意，找出相应规律是解题关键． 规律：每分裂一次，细胞数量扩大到原来的2倍，据此求解即可． 【详解】一个细胞1小时分裂成2个，即个细胞； 一个细胞2小时分裂成4个，即个细胞； 一个细胞3小时分裂成8个，即个细胞； … 依此类推，一个细胞小时分裂成个细胞； 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，正确理解烷烃中碳原子和氢原子个数的规律是解题的关键．根据烷烃中碳原子和氢原子个数的规律，即得答案． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为， ， 按照此规律，十二烷的化学式为，即． 故选：A． 5．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ． 【答案】109 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到规律是解题的关键； 根据前几个等式可以得到规律：，进而求解． 【详解】解：因为， ， ， ……， 所以第n个等式为：， 所以若、b均为整数)，则， 所以； 故答案为：109． 7．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 8．（2025·山东日照·模拟预测）发现：依据上述规律，通过计算判断的结果的个位数字是 ． 【答案】1 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查找规律，先由题中式子，联系到，将原式化简得到，再由得到规律即可确定答案．由式子的特点化简，并找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 对于，当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 当时，的结果的个位数字是， 综上所述，，则的结果的个位数字是， 故答案为：． 9．（2025·广西贺州·三模）据《九章算术·方田》记载：“今有叠方累砖，内方一尺，每层外扩，各边广增二尺，砖皆方正，层间新砖数循律而增．”如图所示，第1层（中心层）为边长1尺的正方形，用砖1块；第2层为边长3尺的正方形，新增外围砖8块；第3层为边长5尺的正方形，新增外围砖16块；第4层为边长7尺的正方形，新增外围砖24块；……，依此规律，则第16层新增外围砖为 块． 【答案】120 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题考查了图形规律，根据图形找到规律是解答关键． 根据题意，找到规律来求解． 【详解】解：第1层，用砖1块，新增外围用砖（块）， 第2层，新增外围用砖（块）， 第3层，新增外围用砖（块）， 第4 层，新增外围用砖（块）， 所以第层新增外围用砖为块， 所以第16层，新增外围用砖为（块）． 故答案为：． 10．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 【答案】45 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 分别计算、、、、、，发现规律为每5次是一组循环即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ， ， ， ∴可知每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：45． 三、解答题 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作），白球是氢原子（记作），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个和6个，分子式是，简称为乙烷．按照图示规律，回答下列问题． (1)壬烷的分子式是_____，第个结构式的分子式是_____； (2)请问分子式为的化合物是否属于上述的烷烃，并说明理由． 【答案】(1)； (2)分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由见解析 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知对应的模型中，碳原子个数为序号，氢原子个数为序号的2倍加上2，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求出时，的值即可得到结论． 【详解】（1）解；第1个模型中有1个和4个，分子式是， 第2个模型中有2个和6个，分子式是， 第3个模型中有3个和8个，分子式是， ……， 以此类推，可知，第n个模型中有n个和个，分子式是， ∴壬烷的分子式是； （2）解：分子式为的化合物属于上述的烷烃，理由如下： 当时，， ∴分子式为的化合物属于上述的烷烃． 12．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、有理数加法运算 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 13．（22-23七年级上·四川南充·期中）观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，，； ②1，，4，，16，； ③0，，3，，15，； 取每一行的第个数，依次记为． (1)当时，请依次写出的值； (2)当时，计算的值． 【答案】(1)，，； (2) 【知识点】数字类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了数字变化规律，有理数的乘方，有理数的混合运算，观察得出每行之间的关系式是解题的关键． （1）观察数字的规律，列出代数式，然后n取7计算出x、y、z的值即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：利用数字的排列规律得到： 第①行数的第n个数字为， 第②行数的第n个数字为， 第③行数的第n个数字为（n为正整数）， ∴当时， ∴， ， ； （2）解：当时， ∴ ； 14．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； (1)请根据以上规律，直接写出第④个式子：______________； (2)总结上述规律，直接写出第个等式：_____________； (3)请运用你总结的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，即可解出此题． （2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 所以第④个式子右边应该是：； （2）解：由观察可得， 第n个式子应该就是：； （3）解： ． 15．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人 (2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示） 方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）． (3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？ 【答案】(1)12 (2)； (3)选用第一种摆放方式 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索、整式的加减运算 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减计算，列代数式，代数式求值，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． （1）根据第一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，求解即可． （2）仔细观察图形并找到规律求解即可． （3）分别代入时和时两种情况求得数值即可． 【详解】（1）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，4张桌子可以坐人； （2）解：方式一：n张桌子时是； 方式二：n张桌子可以坐； （3）解：第一种，当时，， 第二种，当时，． 所以，选用第一种摆放方式． 16．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【知识点】乘方的应用、数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$