专题23 认识二元一次方程组（4知识点+9大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版2024）

专题23 认识二元一次方程组 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 知识点02 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 知识点03 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点04 二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 【题型1 判断是否是二元一次方程】 例题：（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义进行判断即可 ． 【详解】A、，该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误； B、，该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确； C、，该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误； D、，不是方程，故本选项错误． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：A．最高次是二次，不是二元一次方程，不符合题意， B．不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意， C．含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意， D．是二元一次方程，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级下·天津·阶段练习）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：方程：②，不是整式方程，不是二元一次方程， ③，未知数的次数不都为，不是二元一次方程， ④，含未知数的项的次数不为，不是二元一次方程， ①；⑤，符合二元一次方程的定义． 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤， 是二元一次方程的是①；⑤． 故选：A． 【题型2 利用二元一次方程的定义求参数】 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：，． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如果方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程． 根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 3.（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 9 0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据未知数的次数是1列式求解即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：9，0． 【题型3 判断是否是二元一次方程的解】 例题：（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把各项中与的值代入方程检验即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解， 故选：D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 是二元一次方程的解，选项A符合题意； B．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项B不符合题意； C．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项C不符合题意； D．当时，方程左边，方程右边，， 方程左边方程右边， 不是二元一次方程的解，选项D不符合题意． 故选：A． 2.（23-24七年级下·广西贵港·期中）方程的解不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义． 根据二元一次方程的解逐项判断即可． 【详解】解：A、当，时，，所以不是方程的解； B、当，时，，所以是方程的解； C、当，时，，所以是方程的解； D、当，时，，所以是方程的解； 故选：A． 3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）下列二元一次方程组的解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【知识点】根据二元一次方程组的解的定义，将解逐一代入方程组，能够使两个方程都成立的，即为该方程组的解，即可求得． 根据二元一次方程组的解代入计算即可判断． 【详解】解：将 代入各项中的二元一次方程， A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 【题型4 写出二元一次方程的正整数解】 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是正整数， ∴，， 故答案为：，． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 2.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 故答案为：（答案不唯一）． 3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 【答案】或 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得． 【详解】解：根据题意得，， ∵ x和y为正整数， ∴ x为2的倍数， ∴或4， ∴或． 故答案为：或． 【题型5 已知二元一次方程的解求参数的值】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，直接把x，y的值代入进而计算得出答案，正确代入计算是解题关键． 【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 【答案】1 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故答案为：1． 2.（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：是使二元一次方程两边值相等的一对未知数的值；把解代入二元一次方程中，得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：因为是二元一次方程的一组解， 所以， 解得：； 故答案为：4． 3.（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如果关于x，y的二元一次方程的一组解为，那么m的值为 ． 【答案】/ 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型6 已知二元一次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题要求二元一次方程的解及代数式求值，将代入方程，得到，由整体代入，即可解答． 【详解】解：将代入方程，得到， ， 故答案为：3． 2.（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2024 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 故答案为：2024 ． 3.（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和运用平方差公式进行计算．利用平方差公式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型7 判断是否是二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解定义中的“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程”是解答的关键．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，符合题意； C、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：B． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解；A、方程组中的一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 2.（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 3.（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键． 利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的定义； ②，符合二元一次方程组的定义； ③，含有三个未知数； ④，符合二元一次方程组的定义； ⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次． 所以是二元一次方程组的有3个． 故选：B． 【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】 例题：（23-24七年级下·四川内江·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 2.（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故答案选B． 3.（23-24七年级下·北京海淀·期末）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可． 【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和， 二元一次方程组的解是． 故选：D． 【题型9 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将代入方程，然后解关于x的方程即可． （2）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将y=x=2代入“雅系二元一次方程” 中，即可求得m的值． 【详解】（1）根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”， ∴化为：． 解得：． 即“雅系二元一次方程”的“完美值”是． （2）根据题意，将代入“雅系二元一次方程”中得， ． ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义及解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的概念正确求解． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出m即可； （3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，进而求出完美值． 【详解】（1）∵有“完美值”， ∴， 解得， ∴二元一次方程的“完美值”为； （2）∵是二元一次方程的“完美值”， ∴， 解得； （3）存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ∴， 解得， ∴， ∴“完美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2.（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【分析】 本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可； （3）先根据“友好”方程组的定义求出的值，再根据方程组的解的定义，得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中， ∴方程是友好方程； 故答案为：是； （2）因为关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，所以， 解得，所以k的值是3； （3）因为方程组是“友好”方程组， 所以，， 所以，， 所以原方程组为， 因为是方程组的解， 所以，①+②得，； ∴的值为3． 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）在方程中，二元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解含有两个未知数且未知数的次数是1次的整式方程是二元一次方程是解答关键． 根据二元一次方程的定义来进行判定求解． 【详解】解：中未知数在分母，它不是整式方程，不是二元一次方程，含有三个未知数，它不是二元一次方程， 中的次数是2，它不是二元一次方程， 二元一次方程的有：，，共3个． 故选：C． 2．（23-24七年级下·北京密云·期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程的一个解， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·北京顺义·阶段练习）下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义逐项分析判断即可，二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：①是三元一次方程组，故不符合题意， ②中的第一个方程不是整式方程，故不符合题意， ③是二元一次方程组，故符合题意， 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，解题的关键是将各选项中的值代入方程，看等式是否成立． 依次把每个选项中的值代入方程，判断等式左右两边是否相等． 【详解】A、把代入方程的左边，可得，右边，左边=右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； B、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； C、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项是方程的解，不符合题意； D、把代入方程的左边，可得，右边，左边右边，所以该选项不是方程的解，符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B．0或2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程、二元一次方程组的解，掌握相关定义是解题的关键． 根据二元一次方程组的解是两个方程公共的解即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解， 二元一次方程组的解是， 故答案为：A． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 8．（2025年湖南省中考数学模拟试题（二））某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 【答案】3 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，解题关键是列出二元一次方程． 先设可再买笔记本本，钢笔支，再列出二元一次方程，然后求出它的非负整数解即可． 【详解】解：∵至少买4支钢笔，个笔记本， ∴设可再买笔记本本，钢笔支， 则， 解得：， 当时，； 当时，； 当时，； ∴购买方式有3种， 故答案为：3． 9．（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的定义 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且， ，， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，求整式的值；由二元一次方程的解得，整体代入整式，即可求解；理解二元一次方程的解，会用整体代入法求整式的值是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ； 故答案为：． 11．（2025七年级下·河南·专题练习） 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则在平面直角坐标系中的第 象限． 【答案】四 【知识点】二元一次方程的解、判断点所在的象限 【分析】本题考查了二元一次方程的解．把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程转化为以m为未知数的方程，然后解此方程． 【详解】解：把代入二元一次方程， 得， 解得， 则点P的坐标为，在平面直角坐标系中的第四象限． 故答案为：四． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 【答案】(1)①②③ (2)①④ (3)① 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程组的解． （1）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （2）分别将四对数代入方程，验证左边是否等于右边即可得解； （3）结合（1）（2）的结果，同时满足（1）（2）数组即为方程组的解． 【详解】（1）解：将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①②③是方程的解； （2）解：将①代入得：，左边右边； 将①代入得：，左边右边； 将②代入得：，左边右边； 将③代入得：，左边右边； 将④代入得：，左边右边； ∴①④是方程的解； （3）解：由（1）（2），得①是方程组的解． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当时，，点的坐标为；当时，，点的坐标为． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了坐标系与图形的性质，理解新定义“神秘点”是解题的关键． （1）根据题意得到，然后求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）根据定义可得， 得； （2）根据题意得， 化简，得． 均为正整数， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为． 16．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知二元一次方程（m，n均为常数，且）． (1)当时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解； ①探索m与n关系，并说明理由； ②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②． 【知识点】二元一次方程的解、代入消元法、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，“有根必代”是解题的关键． （1）把代入方程，得出，再根据等式的性质，得出用含x的代数式表示y即可； （2）①把代入方程，整理即可得出； ②由①得出，得出，代入方程变形，然后根据方程组的解与m，n的取值无关，进行计算即可． 【详解】（1）解：（1）把代入方程， ∴， ∴； （2）解：①．理由如下： 把代入方程，得， 解得：； ②由①得，则， 把代入方程， ∴， ∴， ∵该方程有一个解与m，n的取值无关， ∴， ∴， ∴这个解为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 认识二元一次方程组 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 二元一次方程的概念 二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 知识点02 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 知识点03 二元一次方程的解的概念 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点04 二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 【题型1 判断是否是二元一次方程】 例题：（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列各式中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林松原·阶段练习）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·天津·阶段练习）下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【题型2 利用二元一次方程的定义求参数】 例题：（23-24七年级下·全国·期中）若方程是二元一次方程，则 ， ． 【变式训练】 1.（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）如果方程是关于x、y的二元一次方程，则 ． 2.（23-24七年级上·重庆·期末）已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ． 3.（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ， ． 【题型3 判断是否是二元一次方程的解】 例题：（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·广西贵港·期中）方程的解不可能是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）下列二元一次方程组的解是的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 写出二元一次方程的正整数解】 例题：（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）二元一次方程的正整数解为 ． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程共有 组正整数解． 2.（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 3.（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）二元一次方程的所有正整数解为 ． 【题型5 已知二元一次方程的解求参数的值】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·期末）已知是方程的一个解，那么k的值是 ． 2.（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 3.（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）如果关于x，y的二元一次方程的一组解为，那么m的值为 ． 【题型6 已知二元一次方程的解求代数式的值】 例题：（23-24七年级下·全国·期末）已知是关于，的方程的一组解，则 ． 【变式训练】 1.（24-25八年级上·重庆铜梁·开学考试）已知是方程的解，则代数式的值为 ． 2.（23-24七年级下·湖南岳阳·阶段练习）若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 3.（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ． 【题型7 判断是否是二元一次方程组】 例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·全国·单元测试）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3.（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】 例题：（23-24七年级下·四川内江·期中）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南周口·期末）解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·北京海淀·期末）已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【题型9 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题】 例题：（23-24七年级下·河南漯河·阶段练习）把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 2.（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）在方程中，二元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·北京密云·期末）若关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值为（    ） A． B． C． D．3 3．（23-24七年级下·北京顺义·阶段练习）下列方程组：①②，③，其中是二元一次方程组的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．③ 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）下列四对数值中，不是二元一次方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知方程是关于的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B．0或2 C．1 D．0 6．（24-25七年级下·福建厦门·期中）已知是二元一次方程的两个解，是二元一次方程的两个解，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 8．（2025年湖南省中考数学模拟试题（二））某文具店购买笔记本和钢笔预算元．笔记本5元/本，钢笔元/支，至少买4支钢笔，个笔记本，则购买方式有 种． 9．（24-25六年级下·上海·阶段练习）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 11．（2025七年级下·河南·专题练习） 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则在平面直角坐标系中的第 象限． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知下列四对数值： ①②③④ (1)哪几对数值是方程的解？ (2)哪几对数值是方程的解？ (3)写出方程组的解． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 15．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”． (1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值． (2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标． 16．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知二元一次方程（m，n均为常数，且）． (1)当时，用x的代数式表示y； (2)若是该二元一次方程的一个解； ①探索m与n关系，并说明理由； ②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$null