精品解析：浙江省宁波中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

宁波中学2024学年度第二学期期中高二数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式得：，则， 因，则有， 所以. 故选：B 2. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果. 【详解】当时，；当时，； 若存在最小值，只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 4. 2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（ ） A. 该样本相关系数在内 B. 当时，残差为 C. 点在经验回归直线上 D. 第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，即可判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出时的预测值，求得残差，即可判断B；看是否满足回归直线方程，即可判断C；将代入回归直线方程，求出预测值，即可判断D. 【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故A正确； 根据题意得， 故，解得， 故当时，，残差为，故B错误； 点即点，当时，， 即点在经验回归直线上，故C正确； 当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，故D正确, 故选：B. 5. 已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以，且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，，然后利用换底公式和对数运算性质得，进而利用对数函数的单调性性得，即可得解． 【详解】，， 可知，． 故选：B 7. 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，，则在的条件下，恰有2个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出所有的情况，利用缩小样本空间法求解条件概率即可. 【详解】的非空子集有 共31个， 其中满足情况有： 当集合A只有一个元素时，比如，集合或， 此时共有种情况， 当集合A有两个元素时，比如，集合可取，此时共有种情况， 当集合A有三个元素时，比如， 集合可取， 此时共有种情况， 当集合A有四个元素时，比如， 集合可取 ，此时共有种情况， 当集合A有五个元素时，，集合可取除之外的集合， 有种情况， 综上，满足的共有种情况； 恰有2个元素情况有： 当集合A有两个元素时，比如，集合可取， 此时共有种情况， 当集合A有三个元素时，比如，集合可取， 此时共有种情况， 当集合A有四个元素时，比如， 集合可取，此时共有种情况， 当集合A有五个元素时，， 集合可取，有种情况， 综上，满足的共有种情况； 所以在的条件下，恰有2个元素的概率为. 故选：B 8. 四位同学坐到二排五列的10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（ ） A. 384 B. 360 C. 216 D. 408 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况分析：①，一排坐1人，另一排坐3人，②，两排各坐2人，结合排列数和组合数公式，由分类计数原理计算即可得答案. 【详解】依根据题意，分2种情况分析： ①，一排坐1人，另一排坐3人； 先选一排坐三人不相邻（只能排第一列、第三列、第五列）， 再把另外一人安排另一排的符合题意（第二列、第4列）的位置：有种情况， ②，两排各坐2人，先确定这两排不相邻位置，再安排人， 记第一排五个位置为，第二排五个位置为，则符合题意的位置有 ，共12种，再让四位同学坐有， 此时有种情况， 综上共有种排法. 故选：A． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相同函数的条件可判断A，根据抽象函数定义域的求法可判断B，根据复合函数求值域的方法可判断C，根据求函数解析式的方程组法可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为或， 定义域不同，所以和不是同一个函数，故A错误； 对于B，对函数，令，则，得到， 所以，即的定义域为，故B正确； 对于C，因为，所以，即函数的值域为，故C正确； 对于D，由，可得， 由，解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（ ） A. 若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 B. 若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则 C. 若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D. 若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件概率乘法公式求解判断A，利用超几何分布列的概率求解判断B，由二项分布的方差公式及方差性质求解判断C；求出的所有可能取值并求出概率，再由公式求得即可判断D. 【详解】对选项A，若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数， 则，故A正确； 对选项B，若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数， 则，故B正确； 对选项C，若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，记摸到红球次数为X， 则，摸到黄球次数为，则， 所以，故C错误； 对选项D，若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数， 则的可能取值为3，4，5，6，7， 则，，，，， 则，故D正确； 故选：ABD 11. 已知函数定义域为，则下列选项中的等式不可能在时恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A令，即可判断；B证明为偶函数，为偶函数且在上单调递增，则根据可求出；C令，即可判断；D假设存在函数使得，推出矛盾即可. 【详解】对于A，当时，，当时，，与函数的定义矛盾， 则不可能在时恒成立，故A正确； 对于B，令， 则，则为上的偶函数， 令，则， 则为上的偶函数， 任取，则 ， 因，则，则， 则在上单调递增， 不妨设，则有或，则，则符合函数定义， 则可能在时恒成立，故B错误； 对于C，令，则， 令，则，与函数的定义矛盾， 则不可能在时恒成立，故C正确； 对于D， 假设存在函数使得成立， 令，则的根为， 令，则可变形为， 则，，，， 则， ， 则（否则会有）， ，， 则，则，同理， 若，则，矛盾； 若，则，矛盾； 若，则，矛盾； 若，则，与，推出矛盾； 综上可知，，推出矛盾，故满足的函数不存在，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得只需即可，再由分类讨论即可. 【详解】根据题意可得只需即可， 由题可知为对数底数且或， 当时，此时在各自定义域内都有意义， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以， 即，无解， 所以不符合题意； 当时， 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知事件，满足，，，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】化简题干信息得出，再设，，进而得出，构造关于的函数求值域即可. 【详解】因 ， 则，即， 设，， 则，， 则 ， 令，， 此为开口朝下的一元二次函数， 则当上单调递增，在上单调递减， （） 因，，， 则，故的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图： （1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率； （2）若抽取了100名学生，完成下列列联表，并依据小概率值独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由． 参加社团 未参加社团 合计 男生 女生 合计 附：， 临界值表： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）：（2）填表见解析；性别与参加社团无关；答案见解析． 【解析】 【分析】（1）首先设出事件，方法一，利用条件概率公式求解；方法二，利用公式求解；（2）首先根据数据补全列联表，再根据公式求，最后再与临界值比较大小，作出判断. 【详解】（1）方法（1）设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事件、 设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件 则， 则． 方法（2）用第（2）问的列联表中的条件频数直接求解 设高一和高二的所有学生中任选一人是男生为事件 设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件 则． （2）列联表如下： 参加社团 未参加社团 合计 男生 6 54 60 女生 8 32 40 合计 14 86 100 零假设为：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关． 根据列联表中的数据，经计算得到：， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为成立，即性别与参加社团无关． 已知函数是奇函数. 16. 求的值; 17. 求解不等式; 18. 当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】16. 17 18. 【解析】 【分析】(1)根据奇函数的性质求解即可； (2)结合的解析式可将化为，解不等式即可得出答案； (3)利用函数的单调性以及奇偶性将化为或，分离参数结合二次函数的性质得出实数的取值范围. 【16题详解】 根据题意，函数 解得.经验证满足题意 【17题详解】 ，即，即 即，解得：，所以. 【18题详解】 ，即 所以或， 又，，故 综上. 19. 已知，，，. （1）若，，求的展开式（合并同类项之后）中系数最大的项； （2）若的展开式（合并同类项之后）中的系数为25，那么. ①满足条件的有多少种可能？ ②求展开式中的系数的最大可能值与最小可能值之和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先分析二项式系数的增减性，展开式系数由二项式系数决定，通过比较、、展开式中项对应二项式系数，确定展开式里项系数最大，合并可得答案； （2）①围绕且的正整数解计数，解法一用分类（等与不等）结合排列组合关系计算，解法二通过确定范围，按取值分类，用取整函数与求和计算，殊途同归得结果；②用组合数公式，把“系数”转化为“的表达式”，用“调整法”分析的取值，找到使最小、最大的情况，代入计算系数的最值，再求和得最终结果. 【小问1详解】 ， 注意到， 所以的展开式中的系数最大，最大系数为， 即的展开式中系数最大项为． 【小问2详解】 ①不妨设，则只需求方程满足的正整数解的个数， 解法一： 首先，去除条件的话，的正整数解的个数为， 其次，将满足的正整数解分为两类： ．中恰有2个相等的正整数解有12个； ．设两两不等正整数解有个， 则有，解得， 故满足条件的共有种可能． 解法二： ，所以， 当时，设表示小于等于的最大整数，则， 即此时有种可能， 当遍历1到8时，亦如是， 故满足条件的共有 种． ②系数为，而的系数为 。（最好说明一下若中有1，此公式 依然成立，其实是广义组合数的性质，下标小于上标时其值为0） 不妨设． ．若，则将调整为，则 ， 故最小时，有，即， 因此的最小值为209． ．若，则将调整为，则 ， 故最大时，有，即， 因此的最大值为531． 综上，的系数的最大可能值与最小可能值之和为． 20. 嘟嘟玩一个游戏：一开始她准备了个罐子，，每个罐子里都放着红、黄、蓝三种颜色的球各一个.然后她在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机地取出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. （1）求经过轮交换后罐子里红球有个的概率； （2）经过轮交换后： ①求两个罐子里仍然是红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有个黄球个蓝球的概率. 【答案】（1） （2）① ; ② 【解析】 【分析】(1)经过两轮交换后,A罐子有红球个,需要两轮都交换红色球,或一轮交换红球,另一轮交换非红球,计算概率;(2)①经过轮交换后,两个罐子仍然是红,黄,蓝三种颜色的球各一个的概率为,构造等式进行求解; ②A罐子里有2个黄球1个蓝球的概率,,利用公式进行求解 【小问1详解】 经过两轮交换后,A罐子有红球个,需要两轮都交换红色球,或一轮交换红球,另一轮交换非红球, 设一轮交换后, A罐子有红球个,记作, 则,,, 两轮都交换后A罐子里有红球记作的概率 , 故. 【小问2详解】 ①经过轮交换后,两个罐子仍然是红,黄,蓝三种颜色的球各一个的概率为, 当时, ,则,而, 则, ②由对称性可得，. 21. 已知函数. （1）若函数有4个零点，，，（），求与； （2）是否存在非零实数和闭区间，使得函数在上的值域为？若存在，求出的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2）存在，实数的取值范围是 【解析】 【分析】（1）由题意得到方程有4个不同的解，即方程各有两个实数根，根据韦达定理即可得解； （2）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，利用根的分布情况求解即可. 【小问1详解】 因为函数有4个零点， 所以方程有4个不同的解， 于是方程都各有两个不同的解， 即方程各有两个实数根， 所以，； 【小问2详解】 因为函数在上都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，， 则当时，，当时，， 故， 所以在上单调递减，在上单调递增， ①函数在上不单调，则有，且， 由于，所以，与假设矛盾； ②时，则函数在上单调递增， 有，即， 所以， 所以是一元二次方程的两个不相等的实数根， 记， 有，所以； ③当时，则函数在上单调递减， 应有，即， 两式相减整理得，所以； 两式相加得， 整理得， 又， 所以 所以， 所以， 所以，与矛盾，满足条件的实数不存在. 综上所述，实数的取值范围是， 所以存在，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波中学2024学年度第二学期期中高二数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4. 2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天流感就诊人数与第天的数据如表所示. 1 2 3 4 5 21 95 109 根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（ ） A. 该样本相关系数在内 B. 当时，残差为 C. 点在经验回归直线上 D. 第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130 5. 已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合，，则在的条件下，恰有2个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 四位同学坐到二排五列10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（ ） A. 384 B. 360 C. 216 D. 408 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（ ） A. 若从袋子中有放回地依次随机摸球，为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 B. 若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球，为摸出的球中红球的个数，则 C. 若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球，为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 D. 若从袋子中不放回地依次随机摸球，为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 11. 已知函数定义域为，则下列选项中的等式不可能在时恒成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 已知函数，，若，，使得成立，则实数的取值范围是_____. 14. 已知事件，满足，，，则的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度大型学生社团文化节，吸引了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图： （1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率； （2）若抽取了100名学生，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由． 参加社团 未参加社团 合计 男生 女生 合计 附：， 临界值表： 0.1 0.05 001 2.706 3.841 6.635 已知函数是奇函数. 16. 求的值; 17. 求解不等式; 18. 当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知，，，. （1）若，，求的展开式（合并同类项之后）中系数最大的项； （2）若展开式（合并同类项之后）中的系数为25，那么. ①满足条件的有多少种可能？ ②求展开式中的系数的最大可能值与最小可能值之和. 20. 嘟嘟玩一个游戏：一开始她准备了个罐子，，每个罐子里都放着红、黄、蓝三种颜色的球各一个.然后她在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机地取出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色. （1）求经过轮交换后罐子里红球有个的概率； （2）经过轮交换后： ①求两个罐子里仍然是红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率； ②请直接写出罐子里有个黄球个蓝球的概率. 21. 已知函数. （1）若函数有4个零点，，，（），求与； （2）是否存在非零实数和闭区间，使得函数在上的值域为？若存在，求出的取值范围.若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $