期末考试数学B卷解答题之几何综合压轴题专项训练（三）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都八年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期末考试数学B卷解答题之几何综合压轴题专项训练（三） 【本地期末精选】 1．（青羊区）【问题背景】 （1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程． 【迁移应用】 （2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值． 2．（金牛区）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 3．（成华区）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，，连接． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长． (2)如图，连接交于点，求证：点是的中点； (3)在旋转过程中，图中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？ 4．（西川中学）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，，当时，求的长． 【全国各地期末精练】 1．【提出问题】 （1）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”，如图1，四边形ABCD的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为_________． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图3，在等腰与等腰中，，，，点在的上方，连接，点分别是的中点，连接，则的面积为 ． 2．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 3．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 4．综合与实践 【问题背景】 如图1，与如图放置，，探究与的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 如图2，，在线段上任意取一点E，连接，在． 内部作射线，使，在射线上取一点F，使，连结，经过操作探究发现与之间是可以互相计算的．若，求的长；（按要求补全图形并完成计算） 【变式提升】 如图3，，在线段上任意取一点E ，连接，在内部作射线，使，在射线上取一点F，使 ，连接，分别取中点G、H，连接，若，则的长为 ． 5．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 6．如图，和为等腰直角三角形，． (1)如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度； (2)如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究和的数量关系并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，将绕着点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 7．阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长． 8．【问题初探】 （1）数学活动课上，老师给出了一个问题：如图1，在和中，，，，，求证：． ①如图2，小林同学从条件入手，发现，结合，以为目标三角形，在上裁取，使得，通过证明三角形全等和等腰三角形，从而得出结论． ②如图3，小强同学从结论入手，分别过点和点向边和边作垂线段，将和转化为两个全等的直角三角形的对应边，从而得出结论． 请你选择其中一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）老师发现这两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段相等转化为证明两个三角形全等，为了帮助学生更好地感悟转化思想，赵老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点，在边上，且，连接，过点作，垂足为点，交于点，连接，直接写出，，的数量关系________________； 【学以致用】 （3）如图5，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转120°得到，连接，取中点，连接，若，求的长． 9．【结论探究】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②如图2，若M为的中点，延长至点F，使，连接，试判断的形状，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接，．若，，，求的长． 10．【问题提出】 （1）已知：如图①，中，，，中，，，连接，．可以得到线段，的关系为______； 【问题探究】 （2）已知：如图②，中，，，中，，，连接，．并延长到F，使得，连接．求证：，且； 【问题解决】 （3）如图③，与【问题探究】条件一致，若，，连接、，若，请直接写出所有满足条件的的值为_____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试数学B卷解答题之几何综合压轴题专项训练（三） 【本地期末精选】 1．（青羊区）【问题背景】 （1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程． 【迁移应用】 （2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），且，证明见解析；（3）． 【分析】（1）先证明得到，，然后利用勾股定理的逆定理证得，再利用勾股定理求得即可； （2）延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T．证明四边形是平行四边形得到，，然后证明得到，，进而证明是等边三角形．利用等边三角形的三线合一性质和含30度角的直角三角形的性质求解即可； （3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S．先证明得到且，进而可证明为等腰直角三角形，，则当时，最小值为的长，则最小值为，根据含30度角的直角三角形的性质求得，，，利用等面积法求得即可求解． 【详解】（1）解：延长至E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴（勾股定理逆定理） ∴， ∴． （2），且． 证明： 延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，（也可证得，）， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴（三线合一）且， ∴， ∴． （3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S． ∵，，， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，． ∴当时，最小值为的长，则最小值为， ∵，，， ∴，，， 根据得， ∴最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，在（3）中得到当时，最小值为的长，则最小值为是解答的关键． 2．（金牛区）平行四边形中，是对角线，过点作、的垂线，垂足点在边上，垂足点在延长线上，，，． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，连接，点是的中点，求的长； (3)如图3，与交点为，，的两边，分别与，所在直线交于点、，绕点逆时针旋转，当点从点运动到点时，求线段中点的运动路径长． 【答案】(1)8 (2) (3)8 【分析】（1）根据平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得到，再结合三角形面积公式求解即可； （2）过点作于点，交于点，与延长线交于点，根据等腰直角三角形的性质，得到，，结合平行四边形的性质，易证是等腰直角三角形，得出，进而得到，证，得出，，再由勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长、交于点，取、的中点、，连接，当点在点位置时，点与点重合，中点与中点重合，当点运动到点位置时，点与点重合，中点与中点重合，从而得出中点的运动路径长为的长，证明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形中位线定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2，过点作于点，交于点，与延长线交于点， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如图3，延长、交于点，取、的中点、，连接， ，， ， 当点在点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 当点运动到点位置时， ， 点与点重合，中点与中点重合， 中点的运动路径长为的长， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 由（2）可知，， ， 、为、的中点， 是的中位线， ， 即线段中点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，正确作辅助线，推出中点的运动路径长为的长是解题关键． 3．（成华区）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，，连接． (1)如图，当点落在的延长线上时，求的长． (2)如图，连接交于点，求证：点是的中点； (3)在旋转过程中，图中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？ 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)能形成平行四边形， 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理， （）由勾股定理的逆定理可得，再证明即可求解， （2）作，交的延长线于点F，利用旋转的性质得出相对应的边角关系，利用证明，即可求解； （3）先证明四边形为矩形，得出，过点作，由面积法求出，进而由勾股定理求出，由此可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∵，即 ∴， 又由旋转可得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：在的延长线取点F，使，如图所示： ， 由旋转性质可知：，，， ，，， ， 在和中， 点是的中点； （3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示∶ 当将绕点顺时针旋转度数时，得到，此时四边形能形成平行四边形， 由旋转可知：，，， ∴， ， 由（2）可知：， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∴ 又∵ ∴四边形，四边形是平行四边形， 又 四边形为矩形， ，， 过点作， ∵， ∴， ，即 ∴ 在中，由勾股定理得： 4．（西川中学）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，．若，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由得出，由三角形内角和定理得出，即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，由题意得，证明得出，即可得证； （3）连接，证明为等边三角形，设与交于点，得出为的垂直平分线，且，推出，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，，设与交于，求出，作交于，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，作于，则，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 设与交于点， ∵， ∴为的垂直平分线，且， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设与交于， ∴， ∵， ∴， ∴， 作交于， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， 作于， ∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【全国各地期末精练】 1．【提出问题】 （1）将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”，如图1，四边形ABCD的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为_________． 【解决问题】 （2）如图，在等边与等边中，点在的延长线上，点在的同侧，连接，点，分别是，的中点，连接，若，，求的长． （3）如图3，在等腰与等腰中，，，，点在的上方，连接，点分别是的中点，连接，则的面积为 ． 【答案】（1）4；（2）；（3）． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据中位线定理可得，，进而证明四边形，四边形是平行四边形，可得是等边三角形，，由此即可解答， （）连接，取中点，连接，过作，交延长线于点，由等边三角形的性质可得，，，再根据中位线定理可得，，，，然后求出，则，根据所对直角边是斜边的一半得到，最后由勾股定理即可求解； （）连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点，由中位线定理可得，，，，则四边形是平行四边形，故有，再证明，得，，则有是等腰三角形，在根据三角形内角和定理，通过勾股定理得出，，然后过作于点，则，根据直角三角形的性质和面积公式即可求解． 【详解】解：（）∵点，，，，分别是边，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形，四边形是平行四边形， 又∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴该四边形较短的“中对线”的长为4； （）如图，连接，取中点，连接，过作，交延长线于点， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵点，分别是，的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴； （）如图，连接，与交于点，交于点，交于点，过作交延长线于点， ∵点，，分别是，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，是等腰三角形， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 2．已知，等腰中，，，的边经过点，点是线段上一动点，连接． (1)如图1，若点是的中点，，求的长； (2)如图2，连接，当时，求证：； (3)如图3，等腰中，，连接，若，，当点在运动过程中，请直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点是的中点，得出，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）延长、，交于，延长交于，先证明，证明，进而证明，得出，进而即可得证； （3）过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于，勾股定理求得，，证明得出点在与成的直线上运动，当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为，进而证明，得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， 点是的中点， ， 在中，， ， ； （2）证明：延长、，交于点，延长交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ；． （3）解：如图3，过点作于，作，且，连接，作点关于的对称点，交于，连接交于， 则， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在与成的直线上运动， ， 当、、三点共线时，的周长最小，此时点与点重合，最小值为， 在和中， ， ， ，， ，， ， 周长的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，熟练运用相关知识是解题关键． 3．定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是______； (2)如图2，中，，P为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点E在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)垂直平分 (2)四边形是筝形，理由见解析， (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握新定义，合理添加辅助线是解题的关键． 4．综合与实践 【问题背景】 如图1，与如图放置，，探究与的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 如图2，，在线段上任意取一点E，连接，在． 内部作射线，使，在射线上取一点F，使，连结，经过操作探究发现与之间是可以互相计算的．若，求的长；（按要求补全图形并完成计算） 【变式提升】 如图3，，在线段上任意取一点E ，连接，在内部作射线，使，在射线上取一点F，使 ，连接，分别取中点G、H，连接，若，则的长为 ． 【答案】问题背景：，理由见解析；类比迁移：；变式提升： 【分析】问题背景：先证明，可得，根据可得，则可得出结论； 类比迁移：如图2，过点F作于点G，证明，则，根据勾股定理即可解答； 变式提升：设，如图3，连接并延长交的延长线于点M，连接，延至点N，使，连接，过点F作于点P，证明，根据三角形的中位线定理可得，证明四边形是矩形，证明，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：问题背景：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 类比迁移：如图2，过点F作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 变式提升：设， 如图3，连接并延长交的延长线于点M，连接，延至点N，使，连接，过点F作于点P， ∵点G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质，平行四边形和矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，含角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 5．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，利用同角的余角相等可得，同理（1）证明，可得，进而得到，易证，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．如图，和为等腰直角三角形，． (1)如图1，点、点分别在、上，连接，若，求的长度； (2)如图2，连接，点为上一点，连接、，满足，，请探究和的数量关系并证明； (3)如图3，在（1）的条件下，将绕着点旋转得到，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，取的中点，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）作于点，求得，，，利用勾股定理即可求解； （2）延长至点，使，连接，，延长和交于点，先后证明、、都是等腰直角三角形，证明，得到，再证明，推出，即可证明； （3）延长至点，使，取的中点，连接，，，，同理证明，求得，得到是的中位线，求得，，当点在线段上时，有最小值，最小值为，如图，作于点，据此求解即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 延长至点，使，连接，，延长和交于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：延长至点，使，取的中点，连接，，，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 同理，为等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，有最小值，最小值为， 如图，作于点， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴的最小值， ∴的面积 ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质．正确引出辅助线证明三角形全等解决问题是解题的关键． 7．阅读与理解： 我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 （）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由； （）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长． 【拓展提高】 （）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长． 【答案】（），理由见解析；（）；（） 【分析】（）在上截取，连接，可证，得到，，即得，再根据直角三角形的性质即可求证； （）在上截取，连接，同理（）得，即得，，进而由得，过点作于，则，设，则，利用勾股定理得，求出的值即可求解； （）分别沿着和折叠得到，，可证四边形为平行四边形，得到，，进而得，再利用勾股定理得，由平行四边形的面积得，即可得，即得，最后根据线段的和差关系计算即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴； （）如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 过点作于，则， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， 解得， ∴， ∴； （）分别沿着和折叠得到，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8．【问题初探】 （1）数学活动课上，老师给出了一个问题：如图1，在和中，，，，，求证：． ①如图2，小林同学从条件入手，发现，结合，以为目标三角形，在上裁取，使得，通过证明三角形全等和等腰三角形，从而得出结论． ②如图3，小强同学从结论入手，分别过点和点向边和边作垂线段，将和转化为两个全等的直角三角形的对应边，从而得出结论． 请你选择其中一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）老师发现这两名同学都运用了转化思想，将证明两条线段相等转化为证明两个三角形全等，为了帮助学生更好地感悟转化思想，赵老师又提出下面的问题，请你解答． 如图4，在中，，，点，在边上，且，连接，过点作，垂足为点，交于点，连接，直接写出，，的数量关系________________； 【学以致用】 （3）如图5，已知等边中，为边上一动点，连接，将绕若顺时针旋转120°得到，连接，取中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①小林同学，证明得出，，进而证明得出，等量代换得出； ②小强同学，分别过点和点向边和边作垂线段， （2）过点作交的延长线于点，证明，进而证明得出，结合图形，即可得证； （3）延长至，使得，得出是等边三角形，证明，则，进而根据中位线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）①小林同学，如图2，在上截取，使得， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②小强同学，如图3，分别过点和点向边和边作垂线段， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）； 证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）如图，延长至，使得， ∵绕若顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，中位线的性质，熟练掌握以上知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 9．【结论探究】 （1）如图1，在中，，，点D是上一点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，连接． ①求证：； ②如图2，若M为的中点，延长至点F，使，连接，试判断的形状，并证明你的结论； 【拓展应用】 （2）如图3，在等边中，D是内一点，将绕点D逆时针旋转得到，取的中点M，连接，．若，，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析；（2）． 【分析】（1）①由旋转性质可知，，则，证明即可得到； ②先证明四边形是平行四边形，由，求得，得到，推出平行四边形是矩形，即可得到是等腰直角三角形； （2）延长至，使，先求得是等边三角形，求得，，，在中，由勾股定理求得的长，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）①证明：由旋转性质可知，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下， 连接， ∵M为的中点，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）延长至，使， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边，， ∴， ∴， 记与的交点为， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点M是的中点，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 10．【问题提出】 （1）已知：如图①，中，，，中，，，连接，．可以得到线段，的关系为______； 【问题探究】 （2）已知：如图②，中，，，中，，，连接，．并延长到F，使得，连接．求证：，且； 【问题解决】 （3）如图③，与【问题探究】条件一致，若，，连接、，若，请直接写出所有满足条件的的值为_____． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）延长交于点，交于点，证明，推出，，利用三角形内角和定理求得，即可得到结论； （2）延长至，使，连接和，推出，，证明，推出，，证得，再证明，据此即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，点或在同一直线上，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 故答案为：，； （2）证明：延长至，使，连接和， ∵，， ∴，，， ∴， 延长交的延长线于点，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在点的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 点在同一直线上， 在中，，， ∴， ∴； 当点在点的上方时，如图， 同理，求得点在同一直线上， 在中，，， ∴， ∴； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$