期末考试数学B卷解答题之全等三角形压轴题专项训练（四）-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学下册题型全攻略（北师大版）

期末考试数学B卷解答题之全等三角形压轴题专项训练（四） 【本地期末精选】 1．（天府七中）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． (1)如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； (3)如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 2．（龙泉区）和均为等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？ (2)如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？ 3．（金牛区）在中，，，线段、交于． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数； (2)如图2，若点在线段的延长线上，且，，，求的长； (3)如图3，若点在内部，且，，求的度数 4．（成华区）已知是等边三角形． (1)如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； (2)如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 【全国各地期末精练】 1．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 2．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 3．如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，请直接写出的度数； (3)连接，过点A作于点，求证：平分； (4)线段，与之间的数量关系是：________． 4．如图，在中，是的中线，延长点，使，．    (1)求证：； (2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由． 5．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，．    （1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点．    （2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________； （3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明； （4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________． 6．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．    (1)如图1，若，则　 　． (2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证： (3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围． 7．阅读理解 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法． 如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______； 类比应用 如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由； 拓展创新 如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论． 8．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 9．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 10．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得． 请结合上述结论解决如下问题： 已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．    (1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________． (2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明． (3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试数学B卷解答题之全等三角形压轴题专项训练（四） 【本地期末精选】 1．（天府七中）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足． (1)如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：； (3)如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，，可知为等边三角形，利用公共角，证得，再证，得到，，由此可得度数， ，即得解； （2）在上取点，使得，连接、、，证明，再证，最后证明为等边三角形，即得证； （3）以为边向下作等边三角形，连接，证明，得到，即得当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，由此得到当时，线段最短．要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化．以点B为顶点，作，且，连接，证明，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可； 【详解】（1）解：如图， ，， 为等边三角形， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故． （2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示， F为边的中点 ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，即； （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点B为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小， 此时， ， 为等腰三角形，又， ， 在中，， ， 在中，， ， 又 ， ， 在中，， 在中，， ， 故当的值最小，． 【点睛】本题是一道有关三角形的动点问题，综合考查了三角形全等判定与性质，等边三角形性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和，两点之间线段最短求最值．当看到要证明线段相等的时候，可以考虑“截长补短法”，当看到动点问题时，考虑首先证明动点的运动轨迹，当求线段的最值问题考虑利用“两点之间线段最短”的原理，其中作出恰当的辅助线，构造三角形证明全等是解决本题的关键． 2．（龙泉区）和均为等腰直角三角形，． (1)如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？ (2)如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】(1)且，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）设与交于点，根据等腰直角三角形性质得，，，由此可依据“”判定和全等，则，，再由，得，则由此得，据此可得，的数量和位置关系； （2）过点作，交延长线于点，先证明和全等得，再证明，进而可依据“”判定和全等，则，然后根据得，则，进而得，据此可得与的位置关系． 【详解】（1）解：且， 理由如下： 设与交于点，如图1所示： 和为等腰直角三角形，且， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即； （2）解：， 理由如下： 过点作，交延长线于点，如图2所示： ，，， 是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 和为等腰直角三角形，且， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，中点定义，垂直判定等知识，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 3．（金牛区）在中，，，线段、交于． (1)如图1，若点在线段上，，，求的度数； (2)如图2，若点在线段的延长线上，且，，，求的长； (3)如图3，若点在内部，且，，求的度数 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形得判定和性质、三角形内角和、等腰三角形的性质； （1）证得，再利用等腰三角形求出的度数即可； （2）由题干条件可猜测，这样就转化成截长补短证三角形全等了，，且，连接交于点，交于点，先证，得到，再证，得出，即可证出，即可得证； （3）延长交于点，交于点，构造全等三角形，可证得即可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图作，且，连接交于点，交于点， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，，且， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ． （3）， 理由：延长交于点，交于点， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 4．（成华区）已知是等边三角形． (1)如图1，点、分别为，边上的点，，连接，相交于点．求的度数； (2)如图2，，点在边上，点在射线上，与相交于点，且． ①求证：； ②作于点，当点在边上移动时，请同学们探究线段，，之间的数量关系，并对结论加以证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由等边三角形的性质证明，可得，再结合三角形的外角的平分线可得结论； （2）①如图，过作，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得； ②延长过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，证明得出，证明得出，证明为等边三角形，得出，证明得出，根据线段间的关系，即可得出结论； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①如图，过作交于T， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； ②；理由如下； 延长，过点F作于点G，连接，过点D作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了三角形全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 【全国各地期末精练】 1．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 2．综合与实践： 在中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D． (1)问题情境：如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是_________________，此时之间的数量关系是_________________． (2)探究证明：如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：在直线l上任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作于点N，请直接写出在图3、图4中之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键． （1）根据证明，得，，进而可证； （2）过点B作于点H，根据证明，得，由三线合一得，进而可得； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E，可证四边形和四边形都是矩形，从而，．结合，可证；如图4，作于点H，由，，得，，进而可证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：，； （2） 理由如下：过点B作于点H，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，作于点H，作，作于点F，作于点E， ∴四边形和四边形都是长方形， ∴，． 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图4，作于点H， 由（1）知，，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，请直接写出的度数； (3)连接，过点A作于点，求证：平分； (4)线段，与之间的数量关系是：________． 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3)证明详见解析 (4) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据“边角边”证明三角形全等即可； （2）根据，得到，再利用，将代入，即得答案； （3）过点A作于点，利用面积法证明，再根据角平分线的判定定理，即可证明结果； （4）先证明，得到，再证明，得到，即可证得答案． 【详解】（1）， ， 又，， ； （2）； 理由如下： ， ， ， ， ； （3）过点A作于点， ， ，， ， ， ， 平分； （4）； 理由如下： ， ， 又，， ， ， ， ，，， ， ， ． 4．如图，在中，是的中线，延长点，使，．    (1)求证：； (2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明解析； (2)，理由见解析． 【分析】()延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案； ()如图所示，作，可证，由全等三角形的性质对应角相等角从而得出，进而得出，故可证，得到，等量转化即可求得； 本题考查了全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）如图所示，延长至点，使，    在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分，， ， ∴，， ∴， 作，如图，    在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．【模型呈现】如图（1）和（2）所示，，，直线经过点（不与，重合），过点作的垂线，垂足分别为，则有，．    （1）请你针对图（1）给出证明． 【模型应用】在图（1）的基础上，在射线上取一点，把线段绕点逆时针转得到，连接，交直线于点．    （2）如图（3），当点与点重合时，与的数量关系为___________； （3）如图（4），当点在的延长线上时，请判断与的数量关系，并给出证明； （4）如图（5），当点在线段上时，的值为___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， （1）根据题意得到，然后证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用全等三角形的性质求解即可； （3）过点N作交于点H，首先根据题意证明出，进而得到，然后证明出，进而求解即可； （4）过点N作交于点E，根据全等三角形的性质和判定得到，，然后利用等量代换求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴，； （2）∵把线段绕点逆时针转得到， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （3）过点N作交于点H，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴； （4）如图所示，过点N作交于点E，    同理可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 同理可得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 6．中，，过点A作．连接，M为平面内一动点．    (1)如图1，若，则　 　． (2)如图2，点M在上，且于M，过点A作于F，D为中点，连接并延长，交于点；求证： (3)如图3，连接，过点B作于点B，且满足，连接，过点B作于点G，若，求线段的长度的取值范围． 【答案】(1)8 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行线的性质可得，即可求解； （2）由“”可证，利用全等三角形的性质可得，由“”可证，利用全等三角形的性质可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，由三角形的三边关系定理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，如图，   ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴当点E，点M，点，三点共线时，最大值为12，最小值为6， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 7．阅读理解 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法． 如图1，是的中线，，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是______； 类比应用 如图2，在四边形中，，点是的中点．若是的平分线，试判断，，之间的等量关系，并说明理由； 拓展创新 如图3，在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论． 【答案】阅读理解： 类比应用： 拓展创新： 【分析】阅读理解：由全等的性质推出，再根据，可得结论． 类比应用：延长，交于点F，先证得，再由是的平分线知，从而得，据此知，结合可得答案． 拓展创新：延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】阅读理解：由题可知，， ∴． ∵，． ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类比应用：．理由如下： 如图1，延长，交于点． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 拓展创新：如图2，延长，交于点． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，三角形三边关系等知识点，综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线，倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 8．【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解答过程；（3）．理由见解答过程． 证明见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 9．在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得． 请结合上述结论解决如下问题： 已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．    (1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________． (2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明． (3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】（1）根据得到，得到、，根据内错角相等两直线平行，得到； （2）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可； （3）延长交于，求出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可 【详解】（1）如图1，    当点与点重合时，与的位置关系是，与的数量关系是， 理由： 为的中点， ， ，， ，， 在和中 ， ， ， 故答案为：；； （2） 证明：延长交于， ,    （3）当点在线段延长线上时，此时（）中结论成立 证明：延长交的延长于 ∵， ∴    【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法：，平行线的性质，根据点位置不同，画出正确的图形，找到的条件是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$