第02讲集合的表示（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第02讲集合的表示（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 自然语言表示集合 典型例题二 描述法表示集合 典型例题三 列举法表示集合 典型例题四 列举法求集合中的元素的个数 典型例题五 区间的定义与表示 典型例题六 区间的关系与运算 知识点01：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点02 ：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【典型例题一 自然语言表示集合】 【例1】．下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】（1）由集合元素的确定性特征判断；（2）由数集和点集判断；（3）由集合元素的互异性判断；（4）由x，y可以为0判断. 【详解】（1）很小的实数不确定，不能构成集合，故错误； （2）集合表示二次函数的值域，是数集， 集合是二次函数图象上的点构成的集合，是点集，故不同一个集合，故错误； （3），，，0.5，这些数组成的集合有，，，是3个元素，故错误； （4）集合是指第二和第四象限内及坐标轴上的点集，故错误. 故选：A 【例2】．下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 【答案】C 【分析】根据常用数集的字母表示即可选出答案. 【详解】表示：自然数集，表示：全体实数集，表示：有理数集，表示整数集. 故选：C 【点睛】本题主要考查常用数集的字母表示，属于简单题. 1．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 【详解】对于①，，，结论①正确； 对于②，，，结论②错误； 对于③，对于任意一个整数，它除以的余数可能是、、、、，，结论③正确； 对于④，整数、属于同一“类”，设、，、、、、，则存在、，使得，，，结论④正确.故选C. 【点睛】本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题. 2．下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】D 【分析】x3=x的解为-1，0，1，因为x∈N从而可知①错误；实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；集合{x=1，y=2}表示x=1与y=2两条直线，故③错误． 【详解】∵x3=x的解为-1，0，1， ∴集合{x∈Z|x3=x}用列举法表示为{-1，0，1}，故①正确； 实数集可以表示为{x|x为实数}或R，故②错误；方程组的解集为{（1，2）}，集合{x=1，y=2}中的元素是x=1，y=2；故③错误；故选D． 【点睛】本题考查了元素与集合的关系的判断及集合的表示法的应用，属于基础题． 3．（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：根据“影子关系”集合概念，举反例说明即可；对于D：根据“影子关系”集合概念，分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 4．已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，解得或， 所以不等式的解集是或. 故选：D. 6．集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由已知可得或，集合元素是点集，再结合点的坐标的特点即可判断． 【详解】因为，所以或， 所以集合表示第二象限和第四象限内的所有点，以及在轴上的点， 即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D. 7．集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 8．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意分情况计算集合中的元素，从而可求得结果. 【详解】由题意，当时，； 当时，； 当时，， 即中有三个元素， 故选：C． 【典型例题二 描述法表示集合】 【例1】．现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所得结果列举出来即可. 【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 【例2】．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【详解】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 1．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【详解】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D 2．已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程，即可求出集合. 【详解】由，解得，，故. 故选：C． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素特征可得出集合. 【详解】因为，，则， 故选：B. 4．集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念确定集合的所有元素，求和即可. 【详解】集合的所有元素是，故所有元素的和为. 故选：C. 5．已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合即可. 【详解】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C 6．已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 7．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 8．已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合描述法用列举法求出集合中元素得解. 【详解】因为集合，， 所以, 故选：D 【典型例题三 列举法表示集合】 【例1】．集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举法表示集合，可得解. 【详解】，该集合中的元素有个， 故选：B. 【例2】．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【详解】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 1．定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【答案】D 【分析】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【详解】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 2．若，，则中元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】将符合题意的集合的元素一一列举出来即可. 【详解】由题意，集合所含元素为：，共10 个. 故选：D 3．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 4．集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间表示集合的形式，即可求解. 【详解】集合用区间可表示为. 故选：C 5．已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用区间表示集合的交集. 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 6．不等式的所有解组成的集合表示成区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求解不等式，结果写成区间即可. 【详解】不等式的所有解组成的集合为，表示成区间为. 答案：B 【点睛】本题考查集合的区间表示，属于基础题. 7．已知集合，，则写成区间形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出，，即可求出. 【详解】由题：将集合写成区间形式：，， 所以. 故选：C 【点睛】此题考查集合的基本运算，求两个数集的并集，可以考虑在数轴上表示集合的关系，数形结合便于解题. 8．（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 【典型例题四 列举法求集合中的元素的个数】 【例1】．（多选题）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 【例2】．给出下列集合： ①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠－3}；②{(x，y)| 且}；③{(x，y)|或}； ④{(x，y)|[(x－1)2＋(y－1)2]·[(x－2)2＋(y＋3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有 ． 【答案】①③ 【分析】根据所给集合中元素的特征对给出的四个集合分别进行分析、判断可得正确的结果． 【详解】对于①，由题意可得直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝－3上的所有点都不是所给集合的元素，所以①不符合题意； 对于②，该集合表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”，所以②符合题意； 对于③，由题意该集合表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)之外所有点的集合”或“在直角坐标系xOy平面内，除去点(2，－3)之外所有点的集合”或“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”，所以③不符合题意； 对于④，由题意该集合表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”，所以④符合题意． 综上可得答案为①③. 【点睛】本题考查集合的表示形式，对于同一集合来说它的表现形式是多样的，但不论用哪种方法、形式表示集合时，一定要把握好集合元素的特征，选择合适的表示方法． 1．两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 【答案】 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 2．常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【分析】略 【详解】略 3．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 【答案】，且 【分析】根据图形结合描述法即可得到答案. 【详解】设集合中的代表元素是． 由题意，，且， 因此所求集合，且． 故答案为：，且. 4．关于的方程的解集为 ． 【答案】 【分析】分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，即，恒成立； 当时，方程为，解得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 5．不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】先解出不等式，进而写出解集. 【详解】由，即或， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 6．用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【详解】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 7．已知集合，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【分析】根据集合的描述法写出集合的元素即可得解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 由集合C中元素满足互异性，所以． 故答案为：4 8．集合的元素个数为 . 【答案】4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】由题意，将满足的自然数全部列举出来， 则集合，所以集合中的元素个数为4. 故答案为：4. 【典型例题五 区间的定义与表示】 【例1】．将数集用区间表示为 ． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【详解】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 【例2】．区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 【答案】 【分析】略 【详解】略 1．无穷概念及无穷区间表示 定义 符号 【答案】 【分析】略 【详解】略 2．且解集的区间表示为 ． 【答案】 【分析】且解集，即为不等式组的解集，求解并将解集写成区间即可. 【详解】由，解得，∴不等式组的解集为. 即且解集为. 故答案为：. 3．已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得区间长度为，然后分，以及讨论，分别计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，且区间中有4个整数， 易知任意区间的区间长度为， 当时，的区间长度为， 此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或. 故答案为：. 4．用区间或集合表示下列数集： （1） ； （2）＝ ． 【答案】 【分析】根据集合与区间的关系写出结论即得. 【详解】（1）；（2）。 故答案为：； 5．已知集合，，则 【答案】 【分析】根据交集的定义直接可得解. 【详解】由已知集合，， 则， 故答案为：. 6．用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】根据区间的定义逐个分析可得结果. 【详解】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 7．设集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 8．设集合，，则 【答案】 【分析】利用数轴分析可得. 【详解】因为，， 所以，由数轴可知， 故答案为： 【典型例题六 区间的关系与运算】 【例1】．已知区间，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据区间的概念，得到不等式，即可求解． 【详解】由题意，区间，则满足，解得， 即的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题考查了区间的概念及其应用，其中解答中熟记区间的概念，列出不等式是解答的关键，属于容易题． 【例2】．用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 1．用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的表示方法进行回答. 【详解】①这是用自然语言法表示的集合； ②我们可以把所有男生的名字写出来，或者把所有男生的学号一一写出． 2．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 【答案】(1){且} (2) (3) 【分析】利用集合列举法、描述法、自然语言的转化表示即可. 【详解】（1）可以表示成{且}； （2）根据题意可列举得； （3）易知. 3．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 4．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 5．将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    6．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 7．已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 8．已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式；    （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据得出二次函数对称轴，再设函数，即可求解； （2）区间要有意义，在区间上是单调函数，则对称轴在区间左侧或者右侧，列不等式组即可求解. 【详解】（1）由题意可设， 由，得， 故． （2）区间要有意义则， 要使函数在区间是单调函数， 则或 即或 解得或 所以实数的取值范围是或. 【点睛】此题考查根据题意求解二次函数解析式，以及根据函数在某一区间的单调性求参数范围，易错点在于漏掉考虑区间有意义. 一、单选题 1．已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求解集合B中的不等式，用列举法表示集合B，再根据并集的定义求出即可. 【详解】由集合，化简可得， 由， . 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的不同表示方法，考查了并集的定义及其运算，考查了转化能力，属于基础题. 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分别用列举法表示A、B两个集合，再计算即可. 【详解】由题得，， 则. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的补集运算，属于基础题. 4．已知集合，2，，集合，则集合中元素的个数为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据条件列举出符合题意的元素即可． 【详解】，2，， 集合，，，2， 集合中元素的个数为5个， 故选：． 【点睛】本题考查了集合与元素，还考查了列举法应用，属于基础题． 二、填空题 5．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】进行并集的运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 6．用列举法表示 ． 【答案】 【分析】根据且求出的值，即可求出，从而列举即可. 【详解】解：因为且，所以或或或， 解得或或或， 所以对应的分别为、、、， 即； 故答案为： 7．若实数满足则点构成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题中条件，分别令、和，分析即可得答案. 【详解】适合条件的所有正整数解是： 令，可得； 令，可得； 令，可得． 综上可得所有正整数解是． 故答案为： 8．已知集合，则 . 【答案】 【解析】将中元素逐个代入判断是否成立即可得解. 【详解】将中元素逐个代入，符合的有、，即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题. 9．定义集合A、B的一种运算：.若，，则A*B中的所有元素数字之和为 . 【答案】14. 【详解】A*B中元素为2，3，4，5，故其所有元素数字之和为14. 故答案为14 10．设集合其中均为整数}，则集合 .. 【答案】M={0，1，3，4}. 【分析】根据2x+2y＝2t，进行提取2x，得到x，y的关系，根据整数关系进行推理即可得到结论． 【详解】由得，则，且指数均为整数，因此右边一定为偶数，则左边即，且即. 为整数，则为2的约数，则，.故M={0，1，3，4}. 故答案为M={0，1，3，4}. 【点睛】本题主要考查元素和集合的关系，结合集合元素是整数的关系进行推理是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 11．中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 【答案】{红,黄}； 【分析】根据集合的定义即可求解. 【详解】中国国旗上所有颜色组成的集合为红,黄． 故答案为：红，黄． 12．已知集合，则集合U中的元素的个数为 .（用数字填写） 【答案】5 【分析】利用列举法得到集合中的元素即可 【详解】∵＝{（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0）}， ∴集合U中的元素的个数为5个 【点睛】本题考查集合的表示，涉及描述法与列举法，属于基础题. 13． 【答案】/ 【分析】用列举法表示即可. 【详解】. 故答案为： 14．设集合，，则 . 【答案】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故答案为：. 15．已知集合，若，则实数 . 【答案】 【分析】根据得或，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】由，可得或， 当时，集合不满足集合的互异性； 当时，或1（舍去），集合，符合题意. 综上，. 故答案为：. 16．已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 三、解答题 17．数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合. (1)分别求和； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，分别求出和上位于第一象限连同边界上的点，得到和； （2）在第一问的基础上求出并集. 【详解】（1），令，解得：， 令，解得：， 故， ，令，解得：， 令，解得：， 故， （2）. 18．已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由空集定义结合一元二次方程根的判别式计算即可得； （2）由集合A中的元素至少有一个结合一元二次方程根的判别式计算即可得. 【详解】（1）若，则有，解得； （2）若集合A中的元素至少有一个， 则有，解得. 19．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. 【详解】（1）解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： （2）解：不等式的解集，用描述法可表示为：. （3）解：方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. （4）解：抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. （5）解：集合，用描述法可表示为：且. 20．已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)求证：，并指出取等条件． 【答案】(1)； (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）由题意得和全都互质，所以，则答案可求； （3）分， 和三种情况讨论即可. 【详解】（1）， ； （2），要使得最小，就得使和全都互质， 当中所有元素互质的时候，， 即， 解得：就是所求的最小值； （3）当时，取等号 当时，取等号 当时不妨令，则 有 其中中元素的个数为个， 即， 当且仅当，此时中只有个元素．（或指出为等比数列）. 21．已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1350. 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲集合的表示（2大知识点+6大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 自然语言表示集合 典型例题二 描述法表示集合 典型例题三 列举法表示集合 典型例题四 列举法求集合中的元素的个数 典型例题五 区间的定义与表示 典型例题六 区间的关系与运算 知识点01：集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点02 ：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 【典型例题一 自然语言表示集合】 【例1】．下列命题正确的有（    ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合与集合是同一个集合； （3），，，0.5，这些数组成的集合有5个元素； （4）集合是指第二和第四象限内的点集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例2】．下列字母中表示有理数集合的是（    ） A．N B．R C．Q D．Z 1．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为，即，、、、、，给出如下四个结论：①；②；②；④若整数、属于同一“类”，则“”，其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解集为{x＝1，y＝2}． 其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 6．集合是指（   ） A．第一象限内的所有点组成的集合 B．第三象限内的所有点组成的集合 C．第一象限和第三象限内的所有点组成的集合 D．不在第一象限也不在第三象限内的所有点组成的集合 7．集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典型例题二 描述法表示集合】 【例1】．现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【例2】．集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 1．集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知集合，则集合（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．集合中所有元素的和为（  ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 7．已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 8．已知集合，则集合中所含元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典型例题三 列举法表示集合】 【例1】．集合中的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【例2】．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 2．若，，则中元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．集合用区间可表示为（   ） A． B． C． D． 5．已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．不等式的所有解组成的集合表示成区间是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，则写成区间形式为（     ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【典型例题四 列举法求集合中的元素的个数】 【例1】．（多选题）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【例2】．给出下列集合： ①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠－3}；②{(x，y)| 且}；③{(x，y)|或}； ④{(x，y)|[(x－1)2＋(y－1)2]·[(x－2)2＋(y＋3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点(1,1)、(2，－3)之外所有点的集合”的序号有 ． 1．两条平行直线的交点组成的集合是 ．（用符号表示） 2．常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 3．图中阴影部分（含边界）的点组成的集合用描述法表示为 ． 4．关于的方程的解集为 ． 5．不等式的解集为 ． 6．用列举法表示集合为 ． 7．已知集合，则中的元素个数为 ． 8．集合的元素个数为 . 【典型例题五 区间的定义与表示】 【例1】．将数集用区间表示为 ． 【例2】．区间定义及表示 设a，b是两个实数，而且. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 1．无穷概念及无穷区间表示 定义 符号 2．且解集的区间表示为 ． 3．已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为 . 4．用区间或集合表示下列数集： （1） ； （2）＝ ． 5．已知集合，，则 6．用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 7．设集合，，则 . 8．设集合，，则 【典型例题六 区间的关系与运算】 【例1】．已知区间，则的取值范围为 ． 【例2】．用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 1．用A表示“本班所有的男生”组成的集合，这是利用的哪种方法表示的集合？你能把集合A中的所有元素逐一列举出来吗？ 2．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； 3．已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 4．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 5．将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4).             6．用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 7．已知全集，集合，，求，，． 8．已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式；    （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围． 一、单选题 1．已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，2，，集合，则集合中元素的个数为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 5．已知集合，则 ． 6．用列举法表示 ． 7．若实数满足则点构成的集合为 ． 8．已知集合，则 . 9．定义集合A、B的一种运算：.若，，则A*B中的所有元素数字之和为 . 10．设集合其中均为整数}，则集合 .. 11．中国国旗上所有颜色组成的集合为 ． 12．已知集合，则集合U中的元素的个数为 .（用数字填写） 13． 14．设集合，，则 . 15．已知集合，若，则实数 . 16．已知集合，，则集合的元素个数为 ． 三、解答题 17．数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合. (1)分别求和； (2)求. 18．已知集合 (1)若，求实数k的取值范围； (2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围. 19．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 20．已知正实数集，定义：称为的平方集.记为集合中的元素个数. (1)若，求集合和； (2)若，求； (3)求证：，并指出取等条件． 21．已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$