第01讲：集合的概念（7大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第01讲：集合的概念 【考点梳理】 · 题型一、集合的概念 · 题型二、元素与集合 · 题型三：元素与集合的关系求参数 · 题型四、集合中元素的特性 · 题型五、集合的表示方法 · 题型六：集合相等问题 · 题型七：集合概念的综合问题 【知识梳理】 知识点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四　列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 知识点五　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}， 这种表示集合的方法称为描述法． 【例题详解】 题型一、集合的概念 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 3．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、元素与集合 4．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·期中）若集合，且，则（　　） A． B． C． D． 题型三：元素与集合的关系求参数 7．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 8．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四、集合中元素的特性 10．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 11．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 12．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 题型五、集合的表示方法 13．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 14．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 15．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 题型六：集合相等问题 16．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①；②； ③；④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 18．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ①②③④ A．0 B．1 C．2 D．3 题型七：集合概念的综合问题 19．（24-25高一上·上海·假期作业）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 20．（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 21．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【专项训练】 22．（23-24高一上·新疆）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 23．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 24．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则；②集合有两个元素；③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 27．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 28．（23-24高一上·北京·期中）若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 29．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 30．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 二、多选题 31．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 32．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 33．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（    ） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 三、填空题 35．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 36．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 37．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 38．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 四、解答题 39．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 40．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 41．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 42．（23-24高一上·上海奉贤）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)已知集合A具有性质，求证：； (3)证明：是无理数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：集合的概念 【考点梳理】 · 题型一、集合的概念 · 题型二、元素与集合 · 题型三：元素与集合的关系求参数 · 题型四、集合中元素的特性 · 题型五、集合的表示方法 · 题型六：集合相等问题 · 题型七：集合概念的综合问题 【知识梳理】 知识点一　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 知识点二　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四　列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 知识点五　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}， 这种表示集合的方法称为描述法． 【例题详解】 题型一、集合的概念 1．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3．（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）给出下列说法：①在一个集合中可以找到两个相同的元素；②好听的歌能组成一个集合；③高一（1）班所有姓氏能构成集合；④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个.其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性、无序性和定义逐一判断即可. 【详解】①集合中的元素不能相同，所以在一个集合中不可以找到两个相同的元素，因此本序号说法不正确； ②因为好听的歌标准不确定， 所以好听的歌不能组成一个集合，因此本序号的说法不正确； ③因为高一（1）班所有姓氏是确定的， 所以可以构成一个集合，因此本序号的说法是正确的； ④根据集合元素的无序性，由这三个数组成的集合只有一个，因此本序号说法不正确， 因此正确的个数为1， 故选：B 题型二、元素与集合 4．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 5．（23-24高一上·福建三明·期中）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 6．（23-24高一上·重庆·期中）若集合，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系逐项分析判断. 【详解】因为，可知，故A正确，B错误； 子集关系是集合与集合之间的关系，故C、D错误. 故选：A. 题型三：元素与集合的关系求参数 7．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【分析】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 8．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用元素与集合的关系，列式求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 9．（23-24高一下·安徽滁州·阶段练习）若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合元素个数转换为不等式整数解的个数进而即可得解. 【详解】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 题型四、集合中元素的特性 10．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 11．（23-24高一上·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 12．（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）若集合,集合,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为,根据题意,故, 所以, 则,即, 当时,与集合的互异性矛盾,故舍去; 当,时,,符合题意, 所以. 故选：B. 题型五、集合的表示方法 13．（23-24高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 14．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 15．（22-23高一下·江苏苏州·开学考试）集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，分别代入即可求得结果. 【详解】，故有个元素， 故选：D． 题型六：集合相等问题 16．（2024高一上·全国·专题练习）下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 18．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 题型七：集合概念的综合问题 19．（24-25高一上·上海·假期作业）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过10的全体偶数组成的集合； (2)被3除余2的自然数全体组成的集合； (3)直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合集合的表示方法分别求解（1）（2）（3）即可． 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）因为第二象限中所有点具有的特征是且， 而第四象限中所有点具有的特征是且， 所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为， 故用描述法：. 20．（23-24高一下·浙江·期中）设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数． (1)若，求集合； (2)若，求的所有可能的值组成的集合； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义直接求解B,C; （2）令，由和集合得到数的大小关系，再讨论大小关系分类求解； （3）记集合为，且，由和集合得到数的大小关系，求出B有两种可能，当得，由及数的大小关系分别讨论和，讨论五种情况即可求解. 【详解】（1）（1）由，则， ． （2）当，不妨记集合为， 且令， 则必有， 和中剩下的满足， 并且，下列有四种可能： 一是，则； 二是与与与三对数有两对相等， 另一对不相等，则； 三是与与与三对数有一对相等， 其它两对不相等，则； 四是与与与三对数全不相等，则； 综上述，的所有可能的值组成的集合为. （3）当，不妨记集合为，且， 则必有， 和中剩下的元素为，满足， 所以有两种可能，当，；当，； ⅰ）当，不妨记这6个元素为，且让， 则必有，所以； ⅱ）当，， 不妨记，，，，， 则，则必有， 积中剩下的满足，则， 下面先证明． 假设，由，则， 即，所以， 令，由，则， 所以，则，与事实不符，所以． 下面再证明． 由上述分析知：要使，积中剩下的满足， 必有两对积与七对中的两对相等，有如下五种情况： 一是，则可推得，令其比值为，则， 于是，由， 则，则，显然无解，故此情况不能； 二是，则可推得，令， 显然，由，则， 所以，而显然，故此情况不可能； 三是，则可推得，令其比值为，则，由， 又，则，这与矛盾，故此情况不可能； 四是，可推得，令其比值为，则， 于是，，，， 于是由，则， 所以，代入得，推得，所以， 所以，有，所以，这与是有理数相矛盾，所以此情况不能； 五是，可推得，令其比值为，则，于是， 由，则，则， 显然无解，故此情况不可能．所以． 综上，所以． 【点睛】关键点点睛:本题考查集合新定义，关键是对集合元素数的大小关系进行讨论，推出矛盾证明第三问. 21．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 【专项训练】 22．（23-24高一上·新疆）下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【分析】根据集合的性质判断各项描述是否能构成集合即可. 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 23．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 24．（2024高一上·全国·专题练习）有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】①特殊值判断；②由方程根判断；③列举出集合中元素，结合有限集定义判断. 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 25．（23-24高一上·河南郑州·期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 26．（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】集合，且. ①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去； ②当时，（舍）或. 若，则，此时集合，符合题意， 综上所述，. 故选：A. 27．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①； ②； ③若，则； ④若且，则； ⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确，例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，，， 若，则， 故，⑤正确. ①②③⑤正确. 故选：C. 28．（23-24高一上·北京·期中）若关于的一元二次方程的解集为单元素集合，则（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】B 【分析】利用一元二次方程的解法，分类讨论运算即可得解. 【详解】解：当时，方程不是一元二次方程，舍去； 当时，方程的解集为单元素集合， 即方程有两个相等的实根， ∴，解得：； 综上，. 故选：B. 29．（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）设是整数集的一个非空子集，对于，如果，且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有（    ）个. A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】我们用列举法列出满足条件的所有集合，即可得到答案． 【详解】若不是孤立元，. 设另一元素为， 假设，此时，不合题意，故. 据此分析满足条件的集合为，共有6个. 故选：D 30．（2022高一上·全国·专题练习）下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【答案】C 【分析】根据集合的定义和表示方法分别进行判断． 【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错． 故选：C 二、多选题 31．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 32．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 33．（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对非零实数的符号分情况进行讨论即可求得所有可能的取值为，即可得出结论. 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 34．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（    ） A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素 B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素 C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个 D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个 【答案】ABD 【分析】由定义可得“孤立元素不相邻”可判断A项，结合逆否命题可判断B项，对于C项、D项分别依次列举即可. 【详解】对于A项，由题意，孤立元素不相邻，集合中最多同时找出3个孤立元素，故A项正确； 对于B项，若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B项正确； 对于C项，易知这样的集合A有，，，， ，，，，，共10个，故C项错误； 对于D项，不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有，共6个，故D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 35．（23-24高二下·浙江宁波·期中）用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可. 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 36．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 37．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解. 【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 38．（23-24高一上·上海青浦·期中）已知非空数集满足：对任意给定的（可以相同），有且.若集合中最小的正数为6，则集合 . 【答案】 【分析】应用定义，推导出集合中的数是6的倍数. 【详解】由对任意给定的（可以相同），有且， 又6是集合中的最小正整数，则也在集合里， 假设里有形如，那么， 与6是集合中的最小正整数矛盾， 故答案为： 四、解答题 39．（2024高一上·全国·专题练习）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)所有能被3整除的数的集合； (4)方程的解集； (5)不等式的解集； (6)抛物线上的点组成的集合． 【答案】(1)月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用列举法表示集合； （2）利用列举法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用列举法表示集合； （5）利用描述法表示集合； （6）利用描述法表示点集合. 【详解】（1）月，3月，5月，7月，8月，10月，12月． （2）． （3） （4）. （5）. （6）. 40．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)0或 (3)且 【分析】（1）将代入方程解得答案. （2）考虑和两种情况，根据得到答案. （3）考虑且，计算得到答案. 【详解】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 41．（23-24高一上·北京顺义·阶段练习）已知，． (1)判断3，5是否在集合A中，并说明理由； (2)判断是否在集合B中，并说明理由； (3)若，，判断是否属于集合B，并说明理由． 【答案】(1)3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析 (2)在集合B中，理由见解析 (3)属于集合，理由见解析 【分析】（1）根据集合A中元素的特征判断求解； （2）根据集合中元素的特征判断求解； （3）设，，进而根据集合中元素的特征判断求解. 【详解】（1）∵，∴3在集合A中， 令，则，故5不在集合A中. （2），且，故在集合B中. （3）设，， 则， 所以属于集合. 42．（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质． (1)判断集合是否具有性质； (2)已知集合A具有性质，求证：； (3)证明：是无理数． 【答案】(1)具有 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解； （2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解； （3）根据无理数和有理数的定义利用反证法分析说明. 【详解】（1）由题意可得：， 所以集合具有性质. （2）因为，则有： 当时，，符合题意； 当时，因为，且， 所以，可得：， 所以， 即； 综上所述：. （3）反证：假设是有理数，则（为互质的正整数）， 可得，即， 可知为3的倍数，设， 即，可得，可知为3的倍数， 这与为互质相矛盾，故是无理数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$