第01讲集合（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（沪教版2020必修第一册）

第01讲集合（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断元素是否构成集合 典型例题二 判断是否为同一个集合 典型例题三 根据集合相等关系进行计算 典型例题四 判断元素和集合的关系及求参数 典型例题五 根据集合元素的性质求参数 典型例题六 集合互异性的应用 典型例题七 空集的概念及判断 典型例题八 空集的性质及应用 典型例题九 判断两个集合是否相等 典型例题十 根据两个集合相等求参数 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【典型例题一 判断元素是否构成集合】 【例1】．以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【例2】．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 1．给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 2．在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 3．已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 4．下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 5．下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 6．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 7．以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 8．下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【典型例题二 判断是否为同一个集合】 【例1】．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 1．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 2．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 4．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 5．已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 6．集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 7．下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 8．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典型例题三 根据集合相等关系进行计算】 【例1】．设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 2．已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 6．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 8．已知集合A中的四个元素，，，是某四边形的四条边的边长，则该四边形可能是（    ） A．正方形 B．长方形 C．直角梯形 D．菱形 【典型例题四 判断元素和集合的关系及求参数】 【例1】．若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【例2】．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤10}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（   ） A．30 B．28 C．26 D．24 1．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 2．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 4．若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 6．下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．给出下列关系： （1）；（2）；（3）；（4）．其中不正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典型例题五 根据集合元素的性质求参数】 【例1】．下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 1．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，．则（    ） A． B．是的真子集 C． D． 3．若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 4．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 8．已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【典型例题六 集合互异性的应用】 【例1】．已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【例2】．已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 1．（多选题）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．； B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 3．（多选题）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）下列说法正确的有（　　） A．N与N*是同一个集合 B．N中的元素都是Z中的元素 C．Q中的元素都是Z中的元素 D．Q中的元素都是R中的元素 5．（多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 6．（多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【典型例题七 空集的概念及判断】 【例1】．下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【例2】．下列说法中错误的是（    ） A． B．与{0}表示同一个集合 C．集合与表示同一个集合 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为{-1，1，4} 1．（多选题）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 3．集合：把一些 组成的总体叫做集合，简称为 ，常用大写拉丁字母 表示． 4．下列说法中，正确的有 （填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． 5．已知，则实数的取值范围是 ． 6．，则 ． 7．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 8．设a，，若集合，则 . 【典型例题八 空集的性质及应用】 【例1】．设，集合，若，则 . 【例2】．已知集合，则实数a的值为 ． 故答案为：或5． 1．已知集合，且，则实数的值为 ． 2．设集合，，若，则 . 3．已知集合，则 . 4．已知集合，，且，则集合 ． 5．如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 6．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则 . 7．若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 8．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【典型例题九 判断两个集合是否相等】 【例1】．下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【例2】．若集合，则实数的取值范围是 . 1．若集合，则实数a的值的集合为 ． 2．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 3．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 4．下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 5．已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 6．，若，则+= . 7．已知，若，则 ． 8．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【典型例题十 根据两个集合相等求参数】 【例1】．已知集合，若，则 . 【例2】．已知集合，，且，则集合 . 1． 集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 2． 2．已知集合，且，求x的值. 3．设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 3． 设，已知，求x的值. 5．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 6．已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 7．判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 8．．( ) 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是空集 B．不是空集 C．集合与是同一个集合 D．集合中元素的个数是有限的 2．下列关系中，正确的个数是（    ）. ①；②，；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A．12 B．21 C．102 D．201 4．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 二、填空题 5．集合，，若，则 ． 6．如果是集合中的元素，那么就记为 ；如果不是集合中的元素，那么就记为 . 7．若集合{={，则 ， ． 8．含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ． 9．集合的分类 （1）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记为 . （2）有限集与无限集：如果一个集合中有有限个元素，则称该集合为有限集，否则称为无限集. 10．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”.已知集合T＝{1，2，3，5}，则T的“孤立元”是 ；对给定集合S＝{1，2，3，4，5，6}，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有 个. 11．已知集合，.若，则实数 . 12．集合，，若，则 ． 13．已知集合． （1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为 ； （2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是 ． 14．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1 B(填“∈”或“∉”)． 15．用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 . 16．设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为 . 三、解答题 17．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值与集合中的所有元素. 18．设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 19．已知集合． (1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 20．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 21．已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲集合（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断元素是否构成集合 典型例题二 判断是否为同一个集合 典型例题三 根据集合相等关系进行计算 典型例题四 判断元素和集合的关系及求参数 典型例题五 根据集合元素的性质求参数 典型例题六 集合互异性的应用 典型例题七 空集的概念及判断 典型例题八 空集的性质及应用 典型例题九 判断两个集合是否相等 典型例题十 根据两个集合相等求参数 知识点01：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 知识点02：元素与集合 1元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【典型例题一 判断元素是否构成集合】 【例1】．以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 【例2】．下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 1．给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 2．在“①难解的题目；②方程在实数集内的解；③直角坐标平面上第四象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是（   ） A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据集合中元素的确定性可判断各选项. 【详解】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程无解，即方程在实数集内的解组成的集合为； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合； 故选：A. 3．已知关于x，y的方程组，对于它的解的说法，错误的是（   ） A．存在无数个实数k，使得方程组的解集是单元素集； B．有且仅有一个实数k，使得方程组的解集为空集； C．至少存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集； D．如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集 【答案】C 【分析】分析和两种情况解方程组，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】由方程组可得：，即， 若，则，不成立，方程组无解； 若，则，可得，即方程组只有一组解. 对于A：存在无数个实数k（），使得方程组的解集是单元素集，故A正确； 对于B：有且仅有一个实数，使得方程组的解集为空集，故B正确； 对于C：不存在一个实数k，使得方程组的解集为无限集，故C错误； 对于D：如果该方程组的解集是有限集，则解集必定为单元素集，故D正确； 故选：C. 4．下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 5．下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【分析】根据集合中元素的特性即可判断. 【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合． 故选：. 6．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 7．以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 8．下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 【典型例题二 判断是否为同一个集合】 【例1】．下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【例2】．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 1．给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 2．已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 3．若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 4．下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 5．已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 6．集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【详解】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 7．下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 8．已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 【典型例题三 根据集合相等关系进行计算】 【例1】．设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 【例2】．设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 1．已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 2．已知实数集合，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可． 【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）； 当，时，，，不符集合元素的互异性， 所以，，． 故选：A． 3．下列集合中有限集的个数为（   ） （1）二次方程的实数解组成的集合； （2）能被3整除的整数组成的集合； （3）一年之中四个季节的名称组成的集合； （4）偶数组成的集合； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由集合的性质逐个判断即可； 【详解】二次方程的实数解组成的集合，有一个，两个或无，所以为有限集； 能被3整除的整数有无穷多个，所以组成的集合为无限集； 一年之中四个季节的名称为春季，夏季，秋季，冬季，所以组成的集合为有限集； 偶数组成的集合为无限集合； 所以有限集合共有2个， 故选：C. 4．已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【详解】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 5．关于方程的解集T说法正确的是（    ）． A．T一定为单元素集 B．T一定为空集 C．T为空集当且仅当 D．T可能有无穷多个元素 【答案】C 【分析】分类讨论的值，即可得方程组解的情况. 【详解】由题意可知，即， 当时，不成立，方程组无解， 当时，，方程组有唯一解. 故选：. 6．若以方程和的解为元素组成集合，则中元素的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解出方程的根，再根据集合元素互异性可求得集合元素个数即可得解. 【详解】因为，解之可得或， ，解之可得或， 根据集合元素的互异性可知集合一共有3个元素. 故选：C 7．有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 8．已知集合A中的四个元素，，，是某四边形的四条边的边长，则该四边形可能是（    ） A．正方形 B．长方形 C．直角梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】分析可知，，，互不相等，即四边形的四条边互不相等，结合选项分析判断. 【详解】根据集合中元素的互异性，可知，，，互不相等，即四边形的四条边互不相等， 所以A，B，D错误，C正确． 故选：C. 【典型例题四 判断元素和集合的关系及求参数】 【例1】．若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 【例2】．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤10}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为（   ） A．30 B．28 C．26 D．24 【答案】B 【详解】P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤10}＝{1，3，5，7，9，11，13，15，17，19}，Q＝{2，3，5}，T＝{xy|x∈P，y∈Q}，当x∈P，y＝2时，xy为偶数，有10个；当x∈P，y＝3时，xy为奇数，有10个；当x∈P，y＝5时，xy为奇数，有10个．在满足条件的奇数中，重复的有15，45，共2个，故集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为30－2＝28，故选B. 1．若，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等列出方程组，求出，检验是否满足元素互异性，最后代入求解. 【详解】因为，所以①或②， 由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去， 符合题意， 由②得，符合题意， 两种情况代入，答案相同. 故选：B 2．下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空集的定义，逐项判别，可得答案. 【详解】对于A，集合存在一个元素为，故A不符合题意； 对于B，集合存在一个元素为，故B不符合题意； 对于C，由，则，即该方程存在两个不相等的实数根， 所以集合存在两个元素，故C不符合题意； 对于D，由，则，即该方程不存在实数根， 所以集合无元素，故D符合题意. 故选：D. 3．已知集合，下列选项中为的元素的是（    ） ①    ②    ③    ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】由集合即可直接判断； 【详解】集合有两个元素：和. 故选：B 4．若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 5．下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 6．下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 7．下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 8．给出下列关系： （1）；（2）；（3）；（4）．其中不正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的性质，逐项分析，即可. 【详解】解：空集是任何集合的子集，故（1）正确， 是一个点集,而0是一个数，所以（2）错误， ，所以（3）正确 ，所以（4）错误. 故选：B. 【典型例题五 根据集合元素的性质求参数】 【例1】．下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空集的定义和性质判断即可. 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 【例2】．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合元素的特征和属性进行判断. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：中的元素为点中的元素为实数，故B错误； C选项：,，故C选项正确； D选项：中的元素为点，而中的元素为点，故D错误． 故选：C. 1．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合相同概念逐个判断即可. 【详解】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误； 选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确； 选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 故选：C 2．已知集合，．则（    ） A． B．是的真子集 C． D． 【答案】C 【分析】由集合相等的概念，说明，同时即可； 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以， 从中任取一个元素，，所以, 所以， 故选：C 3．若集合是与的公倍数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】C 【分析】根据是的倍数，，即可求解. 【详解】由于是与的公倍数,， 故是的倍数,， ,故， 故选：C 4．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合常用数集、元素与集合的关系、相等集合的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，与是不同的有序数对，B错误； 对于C，中不含任何元素，C错误； 对于D，是无理数，D错误. 故选：A 5．下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的性质逐个判断即可. 【详解】对①，正确； 对②，空集是集合，故正确； 对③，是无理数，故错误； 对④，两集合中元素不一样，故，故④错误. 综上①②正确. 故选：B 6．设集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令或分类讨论即可． 【分析】因为集合，， 若，由集合的互异性知，则或． 当时，， ，有，得， 所以； 当时，集合，，有， 又，所以，得，不满足题意． 综上． 故选：C． 7．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1或2 B．或0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等有求参数，结合集合元素的互异性确定参数值. 【详解】由题设，可得或， 当时，，满足题设； 当时，，不符合集合元素的互异性； 所以. 故选：C 8．已知，若集合，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由集合相等的定义建立方程求得结果. 【详解】∵， ∴，解得， 故选：B 【典型例题六 集合互异性的应用】 【例1】．已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 【例2】．已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 1．（多选题）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 2．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．； B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合； C．集合有两个元素； D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合. 【答案】BC 【分析】区分0，的含义判断A；根据集合的定义判断B；根据一元二次方程有两个不相等的实数根判断C；根据集合元素的无序性判断D． 【详解】对于A，0是一个数，是一个集合，二者不相等，A错误； 对于B，根据集合定义知，某中学新高一全体学生可以构成一个集合，B正确； 对于C，由于方程的判别式，故方程有两个不相等的实数根，故集合有两个元素，C正确； 对于D，集合的元素具有无序性，故小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到的两个集合是同一个集合，D错误， 故选：BC． 3．（多选题）已知集合，集合，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系. 【详解】点在函数图像上，有，A选项正确； 集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误； 函数的值域为，则，，C选项正确； 集合B为点集，，D选项错误. 故选：AC. 4．（多选题）下列说法正确的有（　　） A．N与N*是同一个集合 B．N中的元素都是Z中的元素 C．Q中的元素都是Z中的元素 D．Q中的元素都是R中的元素 【答案】BD 【分析】根据常用数集表示的含义，即可根据选项逐一判断. 【详解】因为N*表示正整数集，N表示自然数集，不是同一个集合， Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集， 所以A、C中的说法不正确，B、D中的说法正确． 故选：BD. 5．（多选题）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 6．（多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 7．（多选题）已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可. 【详解】当时，有，这与矛盾，故A不正确； 因为， 当时，有，都是有理数，所以B正确； 因为，当时，有都是有理数，所以C正确； 因为， 当时，有或，与矛盾，所以D不正确． 故选：BC. 8．（多选题）下列说法正确的有（ ） A．方程的解集是 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．9以内的素数组成的集合是 D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【答案】BD 【分析】由集合元素的互异性可得A错误，D正确；无序性可得B正确，由0不是素数可得C错误； 【详解】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，由集合中元素的无序性可得B正确，故B正确； 对于C，9以内的素数组成的集合是，故C错误； 对于D，由集合中元素的互异性可得均不相等，故D正确； 故选：BD. 【典型例题七 空集的概念及判断】 【例1】．下列表述正确的有（    ） A． B． C． D．表示没有任何元素的集合 【答案】BD 【分析】根据元素和集合的关系判断AB选项，根据空集的定义判断CD选项. 【详解】A选项，是元素，是集合，之间不能用符号连接，A选项错误； B选项，集合中确实含有元素，即，B选项正确； C，D选项，根据空集的定义，表示没有任何元素的集合，D选项正确， 而是包含一个元素的单元素集合，，C选项错误. 故选：BD 【例2】．下列说法中错误的是（    ） A． B．与{0}表示同一个集合 C．集合与表示同一个集合 D．已知集合，且，则m的取值构成的集合为{-1，1，4} 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合集合的相关概念逐项判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，表示无任何元素的集合，而{0}有一个元素0，它们表示不同集合，B错误； 对于C，由集合元素的无序性知，与表示同一集合，C正确； 对于D，在中，，， 由，得或，则或，D错误. 故选：ABD 1．（多选题）下列表述正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义和性质即可求解. 【详解】，故A错误，B正确 空集是不含任何元素的集合，且空集是任何集合的子集，故C错误，D正确， 故选：BD 2．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．集合 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合间的基本关系逐一判定即可. 【详解】解：对于A，，故A错误； 对于B，由，可得x为偶数，所以集合，故B正确； 对于C，集合，故C正确； 对于D，集合，，故D错误. 故选：BC. 3．集合：把一些 组成的总体叫做集合，简称为 ，常用大写拉丁字母 表示． 【答案】 元素 集 A，B，C， 【分析】略 【详解】略 4．下列说法中，正确的有 （填序号） ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素：a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列，可分别构成不同的两个集合； ④集合与表示同一个集合． 【答案】② 【分析】利用集合的定义和性质逐项分析可得. 【详解】①不正确．单词book中的字母o有重复，共有3个不同字母，因此单词book的所有字母组成的集合的元素个数是3． ②正确．因为a，b，c是集合M中的3个元素，所以a，b，c互不相等，因此的三边长互不相等，故不可能是等腰三角形. ③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，构成的集合里面的元素都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，集合是相同的． ④不正确．集合表示数3，4构成的集合，集合中有两个元素，集合表示点集，集合中有一个元素，故集合M与N不是同一个集合． 故答案为：② 5．已知，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程无实根，结合，即可求解. 【详解】由，可得方程无实根， 则满足，解得，所以实数的取值范围. 故答案为：. 6．，则 ． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 7．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 8．设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【典型例题八 空集的性质及应用】 【例1】．设，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 【例2】．已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【详解】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 1．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 2．设集合，，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出. 【详解】在中，，则且， 而，，显然，因此，解得， 所以. 故答案为： 3．已知集合，则 . 【答案】-1 【分析】根据相等集合的概念以及集合中元素的互异性可得，从而求解. 【详解】由题意得，，解得或， 当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去， 当时，集合为，满足题意， 故答案为：-1. 4．已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 5．如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为 . 【答案】6 【分析】画出等效图形，分和两种情况由勾股定理求出对应值即可； 【详解】 如图， 因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 当，可分为 ，解得； ，解得； ，解得； 所以x的取值个数为6， 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答. 6．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则 . 【答案】521 【分析】根据题意以及集合元素的互异性和集合相等的概念可知，对的所有可能取值分类讨论即可得符合题意，代入计算即可得出结果. 【详解】根据题意可知， ①若正确，则，不合题意； ②若正确，则，不合题意； ③若正确，则，符合题意， 所以. 故答案为： 7．若集合是空集，则的取值范围是 ．（用区间表示） 【答案】 【分析】分和讨论方程解的情况，可得答案. 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 8．关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 【典型例题九 判断两个集合是否相等】 【例1】．下列集合：①；②；③；④；⑤；⑥方程的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为 . 【答案】②④⑥ 【分析】根据空集的定义逐项判断即可. 【详解】①集合中含有一个元素，故不是空集； ②因为，，故是空集； ③集合中含有一个元素，故不是空集； ④是空集； ⑤集合中含有一个元素，故不是空集； ⑥因为方程没有实数解，故是空集； 故答案为：②④⑥. 【例2】．若集合，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 1．若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 2．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 3．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 4．下列各组数据中，集合P与Q表示同一个集合的是 ． ①P是由元素1，，构成的集合，Q是由元素，1，构成的集合； ②P是由构成的集合，Q是由3.14159构成的集合； ③P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对构成的集合； ④P是由和1构成的集合，Q是方程的解集． 【答案】①④ 【分析】根据相等集合的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，，所以； 对于②，，所以； 对于③，，所以； 对于④，由，得， 则，所以. 故答案为：①④. 5．已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究为奇数、为偶数可计算③，由N的定义可得④，依次判断即可求得结果． 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 6．，若，则+= . 【答案】 【分析】根据集合相等求出的值，计算即得结果. 【详解】∵集合， ∴ ∴+=+=2. 故答案为：. 7．已知，若，则 ． 【答案】1 【分析】先根据分式有意义可得到的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到的值，即可求得结果. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 8．已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 【典型例题十 根据两个集合相等求参数】 【例1】．已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 【例2】．已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 1．集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 2．已知集合，且，求x的值. 【答案】或 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案. 【详解】∵，∴或，∴或. 当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意. 综上，x的值为或. 3．设数集A由实数构成，且满足：若且，则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. （提示：） 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据集合的性质代入3计算可得集合中还含有两个元素； （2）根据集合中元素的互异性，易证明集合中至少含有三个元素； （3）利用（2）中的结论可知集合中的元素个数需为3的倍数，再由元素个数不超过8个以及所有元素的积可确定A中的元素个数必为6个，再由所有元素的和为即可得出结论. 【详解】（1）证明：根据题意若，则， 若，则， 若，则， 因此可得集合， 即可知集合中除了含有3之外，还含有两个元素. （2）由且，可得， 由可得， 由可得，且，易知方程均无解； 所以； 即可得集合中至少含有3个元素， 所以集合A不可能为只含有两个元素的集合. （3）由（2）可知，若，则， 易知集合中的元素个数需为3的倍数， 若A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 由可知集合A中不可能只有3个元素，则集合A中的元素个数必为6个； 因此6个元素的积必为1，不妨取，解得或(舍)； 可知， 又所有元素的和为，不妨设， 根据提供解析式可解得或或, 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据集合A中的元素性质，证明得出集合A中的元素个数必是3的倍数，再由元素个数以及所有元素的和及其积的性质计算即可得出集合A. 4．设，已知，求x的值. 【答案】 【分析】由题意可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】（i）若，解得， 则，此时，不成立； （ⅱ）若，整理得，解得或， ①当时，则，此时，符合题意； ②当时，则，此时，不成立； 综上所述：. 5．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 6．已知集合，求： (1)当时，中至多只有个子集，求的取值范围； (2)当、满足什么条件时，集合为空集. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分析可知，方程至多一个实根，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，可得出，综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，方程无实解，分、两种情况讨论，综合可得出、所满足的条件. 【详解】（1）解：由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时，因为中至多只有一个元素，所以，解得， 综上所述，的取值范围为或. （2）解：①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时，因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集. 7．判断下列命题是否正确． （1）集合与集合表示同一集合；( ) （2）集合与集合表示同一集合；( ) （3）集合与集合不表示同一集合；( ) （4）集合与集合表示同一集合．( ) 【答案】 正确 错误 错误 错误 【分析】（1）根据集合元素的无序性可知两个集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 【详解】（1）集合元素具有无序性，集合与集合元素相同，故表示同一集合，正确； （2）两集合为点集，和表示的点不同，所以集合与集合表示两个不同的集合，错误； （3）集合与集合均表示大于3的所有实数的集合，所以集合与集合表示同一集合，错误； （4）集合为数集，集合为点集，不是同一集合，错误； 故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误. 8．．( ) 【答案】错误 【分析】根据元素不同可知集合不相等. 【详解】，， 是点集，所以三个集合均不相等. 故答案为：错误. 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是空集 B．不是空集 C．集合与是同一个集合 D．集合中元素的个数是有限的 【答案】C 【分析】对A：由是以0为元素的集合即可判断；对B：由方程无解即可判断；对C：由集合A与集合B都是大于或等于0的所有实数构成的集合即可判断；对D：由，0.1，0.01，…时，即可判断. 【详解】解：对A：∵是以0为元素的集合， ∴不是空集，故选项A错误； 对B：∵， ∴方程无解，集合是空集，故选项B错误； 对C：∵集合A与集合B都是大于或等于0的所有实数构成的集合， ∴，故选项C正确； 对D：∵当，0.1，0.01，…时，， ∴集合中的元素有无限个，故选项D错误. 故选：C. 2．下列关系中，正确的个数是（    ）. ①；②，；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系符号表示、集合与集合之间的关系符号表示即可判断. 【详解】对于①，是集合中的元素，即，故正确； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故，故正确； 对于③，集合中的元素为，，集合中的元素为，故错误； 对于④，集合中的元素为，集合中的元素为，故错误. 故选：B 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合的符号表示，考查了集合中的基本知识，属于基础题. 3．已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A．12 B．21 C．102 D．201 【答案】D 【分析】根据集合相等的条件，列出所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出的值后代入求值. 【详解】由得的取值情况如下： 当时，，或，，此时不满足条件； 当时，或此时不满足条件； 当时，此时不满足条件； 当时，此时满足条件； 综上得，代入. 【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏. 4．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为(　　) A．-1 B．1 C．0 D．±1 【答案】B 【分析】根据题意，令代入进行求解，依次赋值代入进行化简，把集合A中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可. 【详解】由题意，当时，， 令替换中的a，则， 则，则， 即，所以，故选B. 【点睛】 本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 二、填空题 5．集合，，若，则 ． 【答案】 【解析】根据集合的互异性原则,可知.令,再由集合的互异性及可得,即可解方程求得的值,进而求得的值. 【详解】因为,,且 因为在集合A与集合B中,是等价的 所以由可知, 不妨设 则, 而由可知 由集合互异性和集合可知 所以 而 所以解得,,或 根据集合互异性可知或符合要求 即此时 故答案为: 【点睛】本题考查了集合互异性原则的应用,属于基础题. 6．如果是集合中的元素，那么就记为 ；如果不是集合中的元素，那么就记为 . 【答案】 【解析】略 7．若集合{={，则 ， ． 【答案】 ， 【详解】由，及集合中元素的特征，知该集合为，所以.因为，所以． 8．含有三个实数的集合既可表示为，也可表示为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据集合相等和元素的互异性，即可求解得值，得到答案. 【详解】由题意，可得， 根据集合相等和元素的互异性，可得且，解得， 此时集合 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了集合相等和运算的互异性的应用，其中解答中熟记集合相等的条件，合理应用元素的互异性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．集合的分类 （1）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记为 . （2）有限集与无限集：如果一个集合中有有限个元素，则称该集合为有限集，否则称为无限集. 【答案】 【分析】根据空集表示方法填空 【详解】根据空集表示方法填空 故答案为： 10．设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”.已知集合T＝{1，2，3，5}，则T的“孤立元”是 ；对给定集合S＝{1，2，3，4，5，6}，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有 个. 【答案】 5 16 【分析】根据题意，结合“孤立元”的定义，逐个元素判定，再根据集合S中3个元素构成的所有集合有20个，求得不含“孤立元”的集合的个数，即可得到答案. 【详解】集合T＝{1，2，3，5}，依次判断每个元素是否为“孤立元”： 对于1，其中2∈T，不是“孤立元”； 对于2，其中1∈T，3∈T，不是“孤立元”； 对于3，其中2∈T，不是“孤立元”； 对于5，满足，是“孤立元”， 所以T的“孤立元”是5. 由集合S中3个元素构成的所有集合有20个， 不含孤立元的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，共4个， 故含“孤立元”的集合有16个. 故答案为：5；16. 11．已知集合，.若，则实数 . 【答案】0 【分析】由集合相等的性质，有m=2m，由此能求出m的值． 【详解】∵集合A={2，m}，B={2m，2}．A=B， ∴由集合相等的性质，有m=2m， 解得m=0． 故答案为0． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 12．集合，，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】由元素互异性可得，即且，可得，再由可得，，在讨论、时，根据元素的确定性列方程组可得的值即可求解. 【详解】因为，所以即， 所以且，可得， 因为，所以，， 当时，，， 当时，可得：， 当时，，可得：， 所以或， 故答案为：或. 13．已知集合． （1）若集合中只有一个元素，则实数的值及该元素分别为 ； （2）若集合中至多有一个元素，则的取值范围是 ． 【答案】 或 或 【分析】（1）、根据集合中只有一个元素对分类讨论，当时验证是否只有一个元素；当时，则；即可求出实数的值及相对应的元素； （2）、根据题意可知或集合中只有一个元素，当时，则；结合（1）即可求出的取值范围. 【详解】（1）、 当时，集合中只有一个元素，符合题意； 当，因为A中只有一个元素，则方程有两个相等的实根．，得，此时，集合A中只有一个元素，符合题意； 综上所述，当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素． （2）、若集合，则方程无解，． 由（1）可知当时，集合A中只有一个元素；当时，集合A中只有一个元素． 综上所述：的取值范围是或． 故答案为：或；或. 14．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1 B(填“∈”或“∉”)． 【答案】∈ 【详解】　由集合相等的定义可知，1∈B. 15．用表示非空集合中元素的个数，若，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出或，分、、三种情况 进行分类讨论，结合题意可得出方程根的个数，由此可解得实数的值，进而可得出集合. 【详解】由于，则，由，则或. ①当时，则，此时，合乎题意； ②当时，由，可得或，且， 所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得； ③当时，由，可得或，且， 所以，则关于的方程有两个相等的实根，则，解得. 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】本题考查集合的新定义，考查利用集合的元素个数求参数值，考查计算能力，属于中等题. 16．设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为 . 【答案】2 【解析】由已知中集合，，，，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，，1，2，3，分别分析取，，，时，式子的值，并与进行比照，即可得到答案． 【详解】当时， 当时， 当时， 当时， 则满足关系式的的个数为：2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对取值进行分类讨论是解答本题的关键.属于中档题. 三、解答题 17．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值与集合中的所有元素. 【答案】p＝2；集合中的所有元素为：﹣3，1. 【解析】由于1是集合中的元素，所以把1代入方程中求出p的值，再解方程可求出集合中的元素即可 【详解】解：∵x＝1是集合{x|x2+px﹣3＝0}中的元素， ∴当x＝1时，x2+px﹣3＝0，故p＝2； 当p＝2时，集合{x|x2+px﹣3＝0}＝{x|x2+2x﹣3＝0}＝{﹣3，1}. 综上所述，p＝2，集合中的所有元素为：﹣3，1. 18．设关于的方程的解集为． （1）求证：中至少有2个元素； （2）若中有3个元素，求的值及中3个元素之和． 【答案】（1）证明见解析；（2）；当时，中3个元素之和为；当时，中3个元素之和为3． 【分析】（1）将方程去绝对值，进而通过判别式法判定方程根的个数，最后解决问题； （2）结合（1），根据题意再利用判别式法求出a，进而解得答案. 【详解】（1）方程等价于或． 记方程的解集为， 因为，所以中含有2个元素． 又因为，所以中至少有2个元素． （2）记方程的解集为，由（1）知，中恰有1个元素． 所以，因此，． 当时，，中2个元素之和为-2，所以中3个元素之和为； 当时，，中2个元素之和为2，所以中3个元素之和为3． 19．已知集合． (1)若A中只有一个元素，求实数a的值，并把这个元素写出来； (2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）分集合中没有元素和只有一个元素两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，解得，此时中仅有一个元素，符合题意， 当时，，解得，此时方程为， 即，此时集合中仅有一个元素． 综上可知，时，集合中只有一个元素， 时，集合A中只有一个元素． （2）若集合中没有元素，即，则，解得， 结合（1）知，当或时， 集合中至多只有一个元素． 因此实数的取值范围是或. 20．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 【答案】(1) (2) 【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解， 则，且， 所以，实数m的取值范围是； （2）若A恰有一个元素， 所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意； 当时，，所以． 综上所述，m的取值范围为． 21．已知集合． (1)若，则是否存在，使成立？ (2)对于任意，是否一定存在，使，证明你的结论． 【答案】(1)存在 (2)不一定存在，证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征即可求解， （2）根据集合中元素的特征，结合集合的运算即可求解. 【详解】（1）设， 令，，则. 故若，则存在a∈Ab∈B，使成立． （2）不一定存在，使，证明如下： 设，则， 当时，，此时存在，使； 当时，，此时不存在，使成立． 故对于任意，不一定存在，使. 学科网（北京）股份有限公司 $$