第1章 集合与逻辑（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第1章 集合与逻辑（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 1.解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 2.处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 3.充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 题型一：数形结合思想 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 二、填空题 4．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知全集，若，，，则 ． 5．（23-24高一上·上海长宁·期中）如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为 （用区间表示）    题型二：分类讨论思想 7．（2022秋•宝山区校级月考）集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 9.集合是单元素集合，则实数________ 10.已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 11.集合且，用列举法表示集合________ 题型三：补集思想（逆向思维） 12.设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 13.已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 题型四：转化与划归思想 一、填空题 14．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 二、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 考点一：集合的含义与表示 1．（广东）在集合，，，上定义两种运算⊕和如下： 那么⊕　　 A． B． C． D． 2．（北京）设，，，，．记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为　　 A．，10， B．，10， C．，11， D．，11， 考点二：集合间的基本关系 一．选择题（共4小题） 3．（2023•上海）已知，，，，若，，则　　 A． B． C． D．，2， 4．（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 5．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 二．填空题（共2小题） 7．（2019•上海）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　 　． 8．（2020•上海）集合，，，2，，若，则　　． 考点三：集合的基本运算 一．选择题（共4小题） 9．（2024•天津）集合，2，3，，，3，4，，则　　 A．，2，3， B．，3， C．， D． 10．（2022•上海）若集合，，，则　　 A．，，0， B．，0， C．， D． 11．（2024•北京）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 12．（2024•回忆版）集合，2，3，4，5，，，则　　 A．，4， B．，4， C．，2， D．，3， 二．填空题（共4小题） 13．（2022•上海）已知集合，，集合，，则　　． 14．（2024•上海）设全集，2，3，4，，集合，，则　 　． 15．（2021•上海）已知，，0，，则　 　． 16．（2020•上海）已知集合，2，，集合，4，，则　 　． 考点四：充分条件与必要条件的判断 一．选择题（共5小题） 17．（2022•天津）“为整数”是“为整数”的　　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 18．（2024•天津）设，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2023•天津）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2023•北京）若，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2020•天津）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型一：新定义中的概念问题 1．（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型二：新定义中的运算问题 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 6．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 个． 7．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 8．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 题型三：逻辑推理 9．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）某校高中部先后举行了数理化三科竞赛，参赛学生中至少参加一科竞赛的有：数学807人，物理738人，化学437人，至少参加其中两科的有：数学与物理593人，数学与化学371人，物理与化学267人，三科都参加的有213人，则该校参加竞赛的学生总数为 . 10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 一．填空题（共12小题） 1．若且，则的取值范围是 　　． 2．已知全集，，若，，4，，，2，4，6，7，，则　　． 3．对于集合，，定义差集且，设集合，，，，则　　． 4．已知集合，，若，则实数的值为 　　． 5．若集合，，则　　（用符号“”“ ”或“”连接）． 6．若，，，则整数　　． 7．已知集合，，非空，则集合中所有元素的和为　　． 8．若，，则实数的取值集合为　　． 9．设全集，，，若，则实数的取值范围是 　　． 10．已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 　　． 11．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　　个． 12．集合有子集 　　个，，有子集 　　个，，，有子集 　　个；一般地，集合，，，，，共有 　　个子集，　　个真子集，　　个非空真子集． 二．选择题（共4小题） 13．下列命题为真命题的是　　 A．若，，则 B．若集合，，则， C．任何集合都有真子集 D．若，则，至少有一个为空集 14．“、都不为0”的充分非必要条件是　　 A． B． C． D． 15．“”是“”成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，，，对于下面给出的四个集合 ①，，，，，； ②，，，，，，，； ③，，，，，，，，； ④，，，，，． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是　　 A．② B．①③ C．②④ D．②③ 三．解答题（共5小题） 17．（1）已知，，，证明：若，则，，中至少有一个小于； （2）已知，，，判断“”是“，，中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由． 18．已知集合，． （1）若，求实数，的值及集合，； （2）若且，求实数和满足的关系式． 19．（1）设，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围； （2）设集合，集合，若，求实数的取值范围． 20．已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 21．定义：若任意，，可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． （1）求集合，的生成集； （2）若集合，，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合，的生成集为，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 1.解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 2.处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏． 3.充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 题型一：数形结合思想 1．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集，集合，那么如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算即可结合图形求解. 【详解】阴影部分所表示的集合是 由得, 所以, 故选:C 2．（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足“是B的元素且C的元素，或是A的元素”，由韦恩图与集合之间的关系可得答案． 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 3．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于， 故两个阴影部分均为， 于是， （1）若，则，， 而， 成立； （2）反之，若， 则由于，， ， ， ， 故选：A    【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题. 二、填空题 4．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）已知全集，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由题意作出Venn图，由图即可求得答案. 【详解】由题意作出Venn图，如图， 填入相应集合中的元素，由图可知， 故答案为： 5．（23-24高一上·上海长宁·期中）如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 【答案】3 【分析】根据题意作出维恩图，由维恩图可求得结果. 【详解】因为全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素， 所以作出维恩图如图所示，则，得， 所以集合中含有的元素个数为个， 故答案为：3 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设全集，集合，集合，则如图阴影部分表示的集合为 （用区间表示）    【答案】 【分析】根据图形知所求集合，再由交集、补集运算求解. 【详解】由图形可知，阴影部分表示的集合为， 因为集合，集合， 所以， 故答案为： 题型二：分类讨论思想 7．（2022秋•宝山区校级月考）集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】讨论m＝1，2，3，4及m≥5，求出满足条件的n，从而可求解． 【解答】解：依题意m，n是正整数，x≤30， 当m＝1时，由21+3n≤30，可得3n≤28，可得n＝1，2，3； 当m＝2时，由22+3n≤30，可得3n≤26，可得n＝1，2； 当m＝3时，由23+3n≤30，可得3n≤22，可得n＝1，2； 当m＝4时，由24+3n≤30，可得3n≤14，可得n＝1，2； 当m≥5时，由2m+3n≥25+3n＞30，不符合题意． 又因为m＝1，n＝2时，x＝11， m＝3，n＝1时，x＝11， 故集合{x|x＝2m+3n，m、n是正整数，x≤30}中的元素个数为9． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的元素个数，属于中档题． 8．已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，， 因此，若都为正数，则； 若两正一负，则； 若一正两负，则； 若都为负数，则. 所以代数式表示的所有的值的集合是. 9.集合是单元素集合，则实数________ 【答案】0，2或18 【详解】当时，，符合题意； 当时，令，即，解得或 10.已知集合各元素之和等于3，则实数___________. 【答案】或 【详解】由题意知：中元素，即为的解， ∴或，可知：或 ∴当时，；当时，， ∴或， 11.集合且，用列举法表示集合________ 【答案】 【详解】由题意，集合且，可得，则， 解得且， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，此时分母为零，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意； 综上可得，集合. 故答案为：. 题型三：补集思想（逆向思维） 12.设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 【详解】当A∩B＝∅时，如图所示， 则解得－1≤a≤1. 即A∩B＝∅时， 实数a的取值范围为M＝{a|－1≤a≤1}． 而A∩B≠∅时，实数a的取值范围显然是集合M在R中的补集，故实数a的取值范围为{a|a＜－1，或a＞1}． 13.已知集合A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围． 解　若A∩B＝A，则A⊆B. 又A＝{x|2≤x＜3}，B＝{x|k－1≤x＜2k－1}， 所以解得2≤k≤3. 又k∈R，所以当A∩B≠A时， 实数k的取值范围为集合{k|2≤k≤3}在R中的补集，即k的取值范围为(－∞，2)∪(3，＋∞)． 题型四：转化与划归思想 一、填空题 14．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【点睛】由是的充分非必要条件，集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 二、解答题 15．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用给定条件将问题转化为子集问题求解即可. 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以， 所以，即. 16．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或解得． 即实数的取值范围是． 17．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用作差法的方法比较大小； （2）由题意是的充分条件，，考虑和两类情况进行讨论.. 【详解】（1）， 所以； （2）因为是的充分条件，设, 则是的充分条件，即 若，当，即时，满足条件, 若，要使, 则,即 , 综上，实数的范围是. 考点一：集合的含义与表示 1．（广东）在集合，，，上定义两种运算⊕和如下： 那么⊕　　 A． B． C． D． 【分析】先计算⊕的结果，再计算⊕的值． 【解答】解：由上表可知：⊕， 故⊕， 故选：． 【点评】本题考查集合的含义、新定义，正确理解2种运算⊕和，是解题的关键，属于基础题． 2．（北京）设，，，，．记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为　　 A．，10， B．，10， C．，11， D．，11， 【分析】分别由，1，2求出，排除错误选项，，，从而得到正确选项． 【解答】解：当时，的四个顶点是，，，， 符合条件的点有，，，，，，，，，共九个，，故选项不正确． 当时，的四个顶点是，，，， 同理知，故选项不正确． 当时，的四个顶点是，，，， 同理知，故选项不正确． 故选：． 【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点，常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横坐标，以确定点的个数，如果从图形上看，就是看直线是整数）上有几个整点在四边形内． 考点二：集合间的基本关系 一．选择题（共4小题） 3．（2023•上海）已知，，，，若，，则　　 A． B． C． D．，2， 【分析】根据题意及集合的概念，即可得解． 【解答】解：，，，，，， ． 故选：． 【点评】本题考查集合的基本概念，属基础题． 4．（2020•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满足： ①对于任意的，，若，则； ②对于任意的，，若，则．下列命题正确的是　　 A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素 【分析】利用特殊集合排除选项，推出结果即可． 【解答】解：取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，排除． ，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，排除； ，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，排除； 故选：． 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，集合的基本运算，利用特殊集合排除选项是选择题常用方法，难度比较大． 5．（2021•上海）已知集合，，，，则下列关系中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可． 【解答】解：已知集合，，，， 解得或，， ，，； 则，， 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 6．（2023•新高考Ⅱ）设集合，，，，，若，则　　 A．2 B．1 C． D． 【分析】根据题意可得或，然后讨论求得的值，再验证即可． 【解答】解：依题意，或， 当时，解得， 此时，，，0，，不符合题意； 当时，解得， 此时，，，，，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础题． 二．填空题（共2小题） 7．（2019•上海）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　 　． 【分析】时，当时，；当时，；当时，，当时，，从而，解得；当时，当，时，则，．当，，当时，，当时，，即，当时，，当时，，从而，解得．当时，无解． 【解答】解：当时，当，时，则，， 当，时，则，， 即当时，；当时，，即； 当时，，当时，，即， ，解得． 当时，当，时，则，． 当，，则，， 即当时，，当时，，即， 即当时，，当时，，即， ，解得． 当时，同理可得无解． 综上，的值为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 8．（2020•上海）集合，，，2，，若，则　3　． 【分析】利用集合的包含关系即可求出的值． 【解答】解：，且，，， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题． 考点三：集合的基本运算 一．选择题（共4小题） 9．（2024•天津）集合，2，3，，，3，4，，则　　 A．，2，3， B．，3， C．， D． 【分析】利用交集的运算法则求解即可． 【解答】解：集合，2，3，，，3，4，，则，3，． 故选：． 【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题． 10．（2022•上海）若集合，，，则　　 A．，，0， B．，0， C．， D． 【分析】根据集合的运算性质计算即可． 【解答】解：，，， ，0，， 故选：． 【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题． 11．（2024•北京）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【分析】结合并集的定义，即可求解． 【解答】解：集合，， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题． 12．（2024•回忆版）集合，2，3，4，5，，，则　　 A．，4， B．，4， C．，2， D．，3， 【分析】先求出集合，再结合集合的运算，即可求解． 【解答】解：因为，2，3，4，5，，，4，9，16，25，， 所以，3，． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 二．填空题（共4小题） 13．（2022•上海）已知集合，，集合，，则　　． 【分析】利用交集定义直接求解． 【解答】解：集合，，集合，， ，，，． 故答案为：． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（2024•上海）设全集，2，3，4，，集合，，则　 　． 【分析】结合补集的定义，即可求解． 【解答】解：全集，2，3，4，，集合，， 则，3，． 故答案为：，3，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 15．（2021•上海）已知，，0，，则　 　． 【分析】直接根据交集的运算性质，求出即可． 【解答】解：因为，，0，， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题． 16．（2020•上海）已知集合，2，，集合，4，，则　 　． 【分析】由交集的定义可得出结论． 【解答】解：因为，2，，，4，， 则，． 故答案为：，． 【点评】本题考查交集的定义，属于基础题． 考点四：充分条件与必要条件的判断 一．选择题（共5小题） 17．（2022•天津）“为整数”是“为整数”的　　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可． 【解答】解：为整数时，也是整数，充分性成立； 为整数时，不一定是整数，如时，所以必要性不成立，是充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了充分必要条件的判断问题，是基础题． 18．（2024•天津）设，，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】判断两个等式的、关系，利用充要条件判断即可． 【解答】解：，，则“”可得； “”可得；所以，，则“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查充要条件的应用，是基础题． 19．（2023•天津）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据已知条件，先对原等式变形，再结合充分条件、必要条件的定义，即可求解． 【解答】解：，即，解得或， ，即，解得， 故“”不能推出“”，充分性不成立， “”能推出“”，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件定义，属于基础题． 20．（2023•北京）若，则“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由，，可得，进而判断出是否成立；反之，若，，令，可得，通过换元代入解出，即可判断出结论． 【解答】解：由，， ， ， 反之，若，， 令，则， 于是， 化为，解得， 即， ，则“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查了充要条件的判定方法、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 21．（2020•天津）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】解得的范围，即可判断出结论． 【解答】解：由，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：． 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 题型一：新定义中的概念问题 1．（22-23高一上·上海·期末）若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【分析】根据题意，得到伙伴关系集合为，共有4组，结合组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可. 【详解】对于①，因为，而， 所以集合不是好集，故①错误； 对于②，因为集合为“好集”， 所以， 所以，故②正确， 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D. 2．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）已知是非空数集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集.给出两个命题：命题：若非空集合，是封闭集，则是封闭集；命题：若非空集合，是封闭集，且，则是封闭集.则（    ） A．命题真命题真 B．命题真命题假 C．命题假命题真 D．命题假命题假 【答案】C 【分析】对命题举反例说明即可；对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； 【详解】对命题：令，则集合是封闭集， 故， 但，故不是封闭集，故命题假； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故命题真； 故选：C 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. 题型二：新定义中的运算问题 5．（23-24高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正整数m、n，定义运算“*”：当m、n都是偶数或奇数时，；当m、n中一个为偶数、另一个为奇数时，.在此定义下，集合中的元素个数是 【答案】17 【分析】从定义出发，抓住a，b的奇偶性对16进行分拆，当a，b同是奇数或偶时，将16分拆为两个同奇偶数的和；若a，b一奇一偶时，将16分拆为一个奇数与一个偶数的积，再计算组数即可. 【详解】当a，b都是偶数或奇数时，因为1+15=16，2+14=16，3+13=16，4+12=16，5+11=16，6+10=16，7+9=16，8+8=16； 当a，b一奇一偶时，1×16=16； 集合M中的元素是有序数对，所以集合M中的元素共有8×2+1=17个. 故答案为：17. 6．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 个． 【答案】7 【分析】根据集合新定义判断中各元素为孤立元时对应哪些元素不在集合内，再确定M中的3个元素组成的所有集合中不含有“孤立元”的集合即可. 【详解】由题意，若是由M中的3个元素组成的集合， 当且1为孤立元，则；当且2为孤立元，则； 当且3为孤立元，则；当且4为孤立元，则； 当且5为孤立元，则；当且6为孤立元，则； 当且7为孤立元，则；当且8为孤立元，则； 当且9为孤立元，则； 要使不含有“孤立元”：若，则，进而有，即满足； 若且，则，进而有，即满足； 若且，则，进而有，即满足； 依次类推，都满足， 综上，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有7个. 故答案为：7 7．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为 ． 【答案】 【分析】根据题意写出的所有非空子集，结合“容量”的定义求S的所有非空子集的“容量”之和. 【详解】由题设，的非空子集有 ， 含一个元素的子集“容量”之和为， 含两个元素的子集“容量”之和为， 含三个元素的子集“容量”之和为， 含四个元素的子集“容量”之和为， 含五个元素的子集“容量”之和为， 所以S的所有非空子集的“容量”之和为. 故答案为： 8．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若集合的两个非空子集A，B满足，则称为集合U的一组“互斥子集”，与视为同一组互斥子集，则U共有互斥子集 组． 【答案】90 【分析】由题意，任意一个元素只能在集合之一中，求出这5个元素在集合中的个数，再求出分别为空集的种数，从而即可得解． 【详解】任意一个元素只能在集合之一中， 则这5个元素在集合中，共有种； 其中为空集的种数为，为空集的种数为， ∴均为非空子集的种数为， 又与视为同一组互斥子集， U共有互斥子集种. 故答案为：90． 题型三：逻辑推理 9．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）某校高中部先后举行了数理化三科竞赛，参赛学生中至少参加一科竞赛的有：数学807人，物理738人，化学437人，至少参加其中两科的有：数学与物理593人，数学与化学371人，物理与化学267人，三科都参加的有213人，则该校参加竞赛的学生总数为 . 【答案】 【分析】根据题意，分列出作出如图所示的韦恩图，结合韦恩图，即可求解. 【详解】根据题意，作出如图所示的韦恩图，可得 只参加物理和数学的人数为人， 只参加数学和化学的人数为 只参加物理和化学的人数为人， 所以参加的总人数为人. 故答案为：人.    10．（23-24高一上·上海浦东新·期中）某学校举办秋季运动会时，高一某班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田赛，有人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有人，同时参加游泳比赛和径赛的有人，没有人同时参加三项比赛，借助文氏图（Venndiagram），可知同时参加田赛和径赛的有 人． 【答案】 【分析】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，作出韦恩图，根据题意可得出关于的等式，即可解出的值. 【详解】设同时参加田赛和径赛的学生人数为，如下图所示： 由韦恩图可的，解得. 因此，同时参加田赛和径赛的有人. 故答案为：. 一．填空题（共12小题） 1．若且，则的取值范围是 　，　． 【分析】根据题意，将不等式与等价变形，再相加，可得的取值范围． 【解答】解：且， 且，相加得． 的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查不等式的基本性质及其应用，考查了计算能力，属于基础题． 2．已知全集，，若，，4，，，2，4，6，7，，则　，5，6，7，　． 【分析】结合条件，利用图法即可得解． 【解答】解：全集，， 又，，4，，，2，4，6，7，， 作出图如下： 则，5，6，7，． 故答案为：，5，6，7，． 【点评】本题考查集合的基本运算和图法，属基础题． 3．对于集合，，定义差集且，设集合，，，，则　　． 【分析】分别把两个函数的值域确定下来，按照新定义计算即可． 【解答】解：因为 ，所以，又当时，，所以，故． 故答案为：． 【点评】本题考查集合的新定义运算，属于基础题． 4．已知集合，，若，则实数的值为 　2　． 【分析】集合中元素应满足互异性、无序性、确定性． 【解答】解：，， 当时，，不满足元素的互异性， 当，即或时（其中舍去），，满足元素的三个性质． 故答案为：2 【点评】本题考查了集合中元素的互异性，属于易做题． 5．若集合，，则　　（用符号“”“ ”或“”连接）． 【分析】由题意解出集合，，再根据集合之间的关系判断即可． 【解答】解：，，， 所以有， 故答案为：． 【点评】本题考查了集合之间的关系，是基础题． 6．若，，，则整数　3　． 【分析】由两个集合相等且为整数，可知也为整数，且，进而求出的值． 【解答】解：，，，且为整数， 也为整数，，即， ，， 故答案为：3． 【点评】本题考查集合相等的条件，考查了集合中元素的特性，是基础题． 7．已知集合，，非空，则集合中所有元素的和为　1或2　． 【分析】按照判别式等于0，和大于0这两种情况讨论，求出一元二次方程的解，再相加即可． 【解答】解：因为集合非空，所以一元二次方程有解， 当△，即时，，元素和为1，； 当△，即时，一元二次方程有两个不同实数解，设为，， 由韦达定理得：， 故答案为：1或2． 【点评】本题考查了集合的表示法．属基础题． 8．若，，则实数的取值集合为　，　． 【分析】由题意可知，，即可解出的值 【解答】解：由题意可知，，解得或1， 实数的取值集合为，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，是基础题． 9．设全集，，，若，则实数的取值范围是 　　． 【分析】先求出集合，再根据即可求出的取值范围． 【解答】解：，， 又，， ， 解得， 即实数的取值范围是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题． 10．已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 　　． 【分析】直接利用集合间的关系和充分性及必要性的应用求出结果． 【解答】解：已知，，若是的充分不必要条件， 故，，， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：不等式的解法，集合间的关系，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 11．设集合是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称为集合的一个“孤立元”，给定集合，，由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有 　7　个． 【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解． 【解答】解：由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”， 则集合中的三个数必须连在一起， 所以符合题意的集合是，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，共7个． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查集合的新定义的应用，其中解答中正确理解新定义，合理转化求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属基础题． 12．集合有子集 　2　个，，有子集 　　个，，，有子集 　　个；一般地，集合，，，，，共有 　　个子集，　　个真子集，　　个非空真子集． 【分析】利用子集、真子集的定义直接求解． 【解答】解：集合有子集2个， ，有子集4个， ，，有子集8个； 一般地，集合，，，，，共有个子集，个真子集，个非空真子集． 故答案为：2；4；8；；；． 【点评】本题考查子集、真子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二．选择题（共4小题） 13．下列命题为真命题的是　　 A．若，，则 B．若集合，，则， C．任何集合都有真子集 D．若，则，至少有一个为空集 【分析】利用函数的定义域与值域，判断包含关系判断；求出集合的交集判断，真子集的定义判断；交集的含义判断． 【解答】解：，，，则，所以正确； 若集合，，则，，所以不正确； 任何集合都有真子集，错误，空集没有真子集，所以不正确； 若，则，至少有一个为空集，两个集合可以不是空集，两个集合没有相同的元素，就满足题意，所以不正确． 故选：． 【点评】本题考查命题的真假的判断，考查集合的基本知识的应用，是基础题． 14．“、都不为0”的充分非必要条件是　　 A． B． C． D． 【分析】利用充分非必要条件的定义即可判断；利用充分必要条件的定义即可判断；通过反例可判断、． 【解答】解：对于，，即，同号，为充分非必要条件，故正确； 对于，，可得且，为充要条件，故错误； 对于，，不能推出，都不为0，如，，故错误； 对于，，不能推出，都不为0，如，，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键． 15．“”是“”成立的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【解答】解：由，可知，充分性不成立； 由，必要性成立； 即“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 16．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中有限个元素的交集属于．则称是集合上的一个拓扑．已知集合，，，对于下面给出的四个集合 ①，，，，，； ②，，，，，，，； ③，，，，，，，，； ④，，，，，． 其中是集合上的拓扑的集合的序号是　　 A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【分析】利用集合上的拓扑的3个要求，依次判断即可． 【解答】解：①中由于，，，，，故①不是集合上的一个拓扑； ②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合上的一个拓扑； ③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合上的一个拓扑； ④中，，故④不是集合上的一个拓扑； 因此集合上的拓扑的集合的序号是②③， 故选：． 【点评】本题考查了集合新定义的应用，属于基础题． 三．解答题（共5小题） 17．（1）已知，，，证明：若，则，，中至少有一个小于； （2）已知，，，判断“”是“，，中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由． 【分析】（1）利用反证法即可证明； （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果． 【解答】解：（1）证明：假设， 则，这与矛盾， 所以，，中至少有一个小于； （2）由（1）可得，，中至少有一个小于， 反之不一定成立，例如：，，，则， 所以“”是“，，中至少有一个小于“”的充分非必要条件． 【点评】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题． 18．已知集合，． （1）若，求实数，的值及集合，； （2）若且，求实数和满足的关系式． 【分析】（1）直接将代入集合，，能求出结果； （2）求出集合中元素，代入集合，能求出结果． 【解答】解：（1）集合，，， ，解得，， ， ，． （2）， ， ，， ， ， 实数和满足的关系式为． 【点评】本题考查交集、并集定义、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19．（1）设，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围； （2）设集合，集合，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）先根据是的充分不必要条件分析集合之间的关系，再分别讨论集合为空集和不为空集两种情况分别求解即可； （2）先分析集合之间的关系，再分别讨论集合为空集和不为空集两种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）因为是的充分非必要条件，所以． ①当时，，，满足题意； ②当时，，即，解得， 综上所述，，． （2）因为，所以分如下两种情况： ①当时，即时，解得，满足题意， ②当时，即，解得， 综上所述，． 【点评】本题考查了充分必要条件与集合的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．已知集合，． （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得，从而建立方程组即可求解； （2）由是的子集，可得或或或，，再分类讨论建立方程即可求解． 【解答】解：（1），，，又， ，，； （2）是的子集， 或或或，， ①时，△，； ②时，，； ③时，，； ④，时，由（1）知， 综合可得实数的取值范围为，． 【点评】本题考查集合间的关系，方程思想，分类讨论思想，属中档题． 21．定义：若任意，，可以相等），都有，则集合称为集合的生成集． （1）求集合，的生成集； （2）若集合，，的生成集为，的子集个数为4个，求实数的值； （3）若集合，的生成集为，求． 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）的子集个数为4个，转化为中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明结论． 【解答】解：（1）由题可知 ①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 所以，，； （2）①当时，， ②当时，， ③当，或，时，， 的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或或， 解得或或舍去）； （3）证明：，， ， ， ，即 ， 又， ， ． 【点评】本题考查合情推理的应用，以及集合的性质，属中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$